精品解析：江西南昌市第二十八中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

南昌二十八中教育集团26—27学年上学期第一次素养评估 九年级数学 一．选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的选项中只有一项是最符合题目要求，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选，多选或漏选均不得分． 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. 2x﹣3y+1 B. 3x+y＝z C. x2﹣5x＝1 D. x2﹣+2＝0 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．逐一判断即可． 【详解】解：A、它不是方程，故此选项不符合题意； B、该方程是三元一次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 故选：D． 3. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换．本题考查抛物线平移的规律，掌握“左加右减，上加下减”是关键． 【详解】解：原抛物线为． ∵向左平移2个单位， ∴，得． ∵向上平移3个单位， ∴整体加3，得． ∴得到的抛物线是． 故选：C． 4. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ） A. B. C. 10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】等量关系为：一月份利润+一月份的利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2=36.4，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设二、三月份的月增长率是x， 依题意有：， 故选D． 【点睛】主要考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 5. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 6. 已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与轴的交点分别为，点是其对称轴直线上的动点，根据图中提供的信息，得出以下结论： ①； ②是方程的一个根； ③周长的最小值是； ④． ⑤若，则或 其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，轴对称求最短路径，坐标两点距离公式等，利用数形结合的思想解决问题是关键．由抛物线的对称轴得到，可判断①结论；根据抛物线的对称轴得到与轴的另一个交点坐标，可判断②结论；令抛物线与轴的另一个交点为，连接、，则，先求出，由抛物线的对称性可，，则当、、三点共线时，有最小值为5，可判断③结论；由图象可知，当时，，可判断④结论；当时，；当时，，由抛物线的对称性可知，当时，，再结合图象可判断⑤结论． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ， ，①结论正确； 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 是方程的一个根，②结论正确； 如图，令抛物线与轴的另一个交点为，连接、，则 令，则， ， ， 由抛物线的对称性可知，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， ， 的最小值为5， 周长的最小值是，③结论正确； 由图象可知，当时，， ， ，④结论正确； 当时，；当时，， 由抛物线的对称性可知，和的函数值相等，即当时，； 若，则， 或，⑤结论正确； 正确的有①②③④⑤，共5个， 故选：D． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不等于0． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数，即． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，同时二次项系数不为0．注意“关于的方程”中为未知数，为字母系数，需保证含项的系数不为0． 8. 我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】5或1 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据新运算将方程转化为标准一元二次方程，再利用判别式求解． 先根据新运算定义将方程转化为一元二次方程，再利用一元二次方程有两个相等实数根时判别式为0的性质求解的值． 【详解】根据新运算， 将方程转化为， 整理得， 此方程的判别式， 因方程有两个相等实数根，故， 即， 提取公因式得， 解得或， 验证可知或均满足条件． 故答案为：1或5． 9. 已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．分别求出，的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表所示： … … … … 则当时，的值是________； 【答案】 【解析】 【分析】由表中三对对应值，用待定系数法求出解析式，再代入求值． 【详解】解：把、、代入，得 解得， ∴． 当时，． 检验：当时，；当时，，与表中数据一致． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，也可以利用对称性求解：对称轴为，与关于对称轴对称，函数值相等，直接得． 11. 小明在与对话中输入如图所示的文字，经过秒的深度思考和验证，给出的这个数应该是___________． 有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数 已深度思考（用时秒） 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据题意列一元二次方程并求解是解题的关键．设这个数为x，根据题目描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为x， 由题意得， 整理得． 则 解得， 故答案为：2． 12. 抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在抛物线上，且点的横坐标为2，若点为轴上非原点的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．令，求得点的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用为等腰三角形和等腰三角形的性质进行分类讨论，解答即可得出结论． 【详解】解：令，则， 解得：或． 抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧， ， 点的横坐标为2， ， ； ①当时，如图， 过点作于点， ，， ，，， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ， ； 结合是等腰三角形，且， ； ②当时，如图， 过点作轴于点， ，， ，，， 设点， 点为轴的正半轴上的一点， ，， ， ， ， ， 解得：， ； ③当时，如图 此时点P与O重合，与题意不符合，故舍去． 综上，当为等腰三角形，则点的坐标为或或． 故答案为：或或． 三．解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）提公因式，用因式分解法解方程． （2）移项、配方后直接开平方求根． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ，即， ， ∴，． 【点睛】解一元二次方程应根据方程的特点选择适当方法：方程一边为0且能提公因式时，优先用因式分解法；二次项系数为1、一次项系数为偶数时，用配方法较为简便；也可以用公式法求解． 14. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为40m的篱笆围成．已知墙长为18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边AB为xm （1）用含有x的式子表示AD，并写出x的取值范围； （2）若苗圃园的面积为192m2平方米，求AB的长度． 【答案】（1）AD=40-2x．11≤x＜20．（2）若苗圃园的面积为192平方米，则AB的长度为12米． 【解析】 【分析】(1)由矩形的周长公式求得AD的长度；由AD长度意义求得x的取值范围； (2)根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再由(1)中x的取值范围即可确定x的值． 【详解】(1)AD=40-2x， ∵0＜40-2x≤18， ∴x的取值范围为：11≤x＜20； (2)根据题意得：x(40-2x)=192， 整理，得x2-20x+96=0， 解得：x1=8，x2=12， ∵11≤x＜20， 当x=8时，40-2x=40-16=24＞18， ∴不合题意，舍去； ∴x=12，即AB的长度为12， 答：若苗圃园的面积为192平方米，则AB的长度为12米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、矩形的面积以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据篱笆长度得出用含有x的式子表示BC的式子；(2)利用矩形的面积公式，找出关于x的一元二次方程． 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根． （2）设方程的两根分别是，，若满足，求m的值． 【答案】（1） 证明： ， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了根的判别式． （1）计算判别式的值得到△，利用非负数的意义得到△，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，，再根据列出方程，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意得，， ， ， 解得， 的值为2． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的抛物线上找出点E，使． （2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点F． 【答案】（1）如图1，延长BA交抛物线于点E，点E即为所求； （2）如图2，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求． 【解析】 【分析】（1）延长BA交抛物线于点E，则A、E两点的纵坐标相等，根据抛物线的对称性即可解答； （2）由（1）知AE∥CD、AC=DE知四边形ACDE是等腰梯形，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求． 【详解】略 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、等腰梯形、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握抛物线、等腰梯形及等腰三角形的轴对称性是解答本题的关键． 17. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）； （2）如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式； 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）把表达式化为顶点式即可得到答案； （2）在x轴上的点的纵坐标为0，据此求出a的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵该抛物线的顶点恰好在轴上， ∴， ∴， ∴该抛物线的表达式为． 四．解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点和，与轴交于点． （1）求和的值． （2）若点在该二次函数图像上，且，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由（）可求出二次函数解析式，得到点坐标，即可得的面积，得出的面积，进而求出点的纵坐标，再求出点的横坐标即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把点和代入得， ， 解得，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴二次函数， ∴， ∵点和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为或， 当时，， 解得，， ∴或； 当时，，方程无解； 综上，点的坐标为或． 19. 观察下列一组方程：①；②；③；④…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”． （1）若也是“连根一元二次方程”，求出实数的值． （2）请写出第个方程和它的根． 【答案】（1） （2）；或 【解析】 【分析】（1）根据“连根一元二次方程”可设两个实数根分别为，且t为自然数，根据根与系数的关系可得，解方程即可得到答案； （2）解前面4个方程可推出第n个方程的解为或，再由根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：∵是“连根一元二次方程”， ∴可设方程的两个实数根分别为，且t为自然数， 由根与系数的关系可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：解方程得或， 解方程得或， 解方程得或， 解方程得或， ， 以此类推可知，解第n个方程得或， 设第个方程为， ∴由根与系数的关系可得， ∴， ∴第个方程为． 20. 年月日，南昌秋水广场举办“星河万里 遇见南昌”无人机灯光展演．在招商阶段，某无人机服务商报价：出动架无人机时，每架无人机综合展演费用为元；在此基础上，无人机数量每增加架，单架展演费用下降元，且单架展演费用不能低于元． （1）若增加个架无人机，此时一共有________架无人机，每架无人机展演费用为________元； （2）设增加个架无人机，请用含的代数式表示：无人机总数为________架，单架展演费用为________元． （3）若本次展演总花费为元，并且在符合单价下限的前提下，尽可能多安排无人机，求本次出动无人机的数量． 【答案】（1）3000； （2）； （3）5000架 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意可求出，再根据题意列式求解即可； （3）根据总花费单架展演费用无人机总数建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：（架）， 则若增加个架无人机，此时一共有3000架无人机， 故每架无人机展演费用为元； 【小问2详解】 解：，则 当时，无人机总数为架，单架展演费用为元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或， 由（2）得， 又∵尽可能多安排无人机， ∴， ∴， 答：本次出动无人机的数量为5000架． 五．解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的． 例如：解方程， 如果设，∵，∴，用y表示x后代入得：． 应用：请用换元法解下列各题 （1）已知 ，则的值； （2）解方程：； 【答案】（1）的值为1 （2）的解为 【解析】 【分析】（1）令，通过换元将原式变形，再解一元二次方程即可； （2）令，通过换元将原方程变形为一元二次方程，先求出解，再解分式方程即可． 【小问1详解】 解：令，则，原方程可化为， 即， ， 解得或， 又∵， ∴， ∴的值为1； 【小问2详解】 解：令，则， 原方程可化为， 即， 解得或， 当时，即， ，即， 解得， 经检验，是分式方程的解； 当时，，， 判别式，方程无解， 综上所述，的解为． 【点睛】本题考查解一元二次方程、解分式方程，掌握换元法是解题的关键． 22. 关于x的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： （1）表格中t的值为______； （2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； （3）记的两个变形为和，则的值______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）把展开得到，据此得到，解方程即可得到答案； （2）利用表中的数据可得到为一次项系数的相反数，由此即可得到答案； （3）由（2）的结论可得：，，从而得到，代入进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵是变形得到的， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，，，， 为一次项系数的相反数， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）的结论可得：，， ， ， ． 故答案为：． 六．解答题（本大题共12分） 23. 已知抛物线（为常数，）． （1）若该抛物线经过点，求抛物线的表达式； （2）若，求出当时该函数的最大值与最小值的差； （3）已知点和均在该抛物线上，若，直接写出的取值范围_________． 【答案】（1）（或） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式性质，考查待定系数法求解析式，指定自变量范围的最值计算，根据函数值大小关系求参数范围．利用二次函数对称轴和开口方向对函数值的影响，分情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：已知抛物线经过点 将代入解析式得 得， 解得 因此抛物线的表达式为，展开可得 【小问2详解】 解：当时，抛物线解析式为 抛物线开口向上，对称轴为直线 在范围内，当时，取得最小值，最小值为 当时， 当时， 因此在范围内的最大值为 最大值与最小值的差为 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为 当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大 ∵，则 ∵ 解得： ∴ 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小 ∴ 解得： 综上所述，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二十八中教育集团26—27学年上学期第一次素养评估 九年级数学 一．选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的选项中只有一项是最符合题目要求，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选，多选或漏选均不得分． 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. 2x﹣3y+1 B. 3x+y＝z C. x2﹣5x＝1 D. x2﹣+2＝0 2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ） A. B. C. 10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D. 5. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与轴的交点分别为，点是其对称轴直线上的动点，根据图中提供的信息，得出以下结论： ①； ②是方程的一个根； ③周长的最小值是； ④． ⑤若，则或 其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是________． 8. 我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为______． 9. 已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是______（填“”、“”或“”）． 10. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表所示： … … … … 则当时，的值是________； 11. 小明在与对话中输入如图所示的文字，经过秒的深度思考和验证，给出的这个数应该是___________． 有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数 已深度思考（用时秒） 12. 抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在抛物线上，且点的横坐标为2，若点为轴上非原点的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为______． 三．解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解方程： （1） （2） 14. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为40m的篱笆围成．已知墙长为18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边AB为xm （1）用含有x的式子表示AD，并写出x的取值范围； （2）若苗圃园的面积为192m2平方米，求AB的长度． 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根． （2）设方程的两根分别是，，若满足，求m的值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的抛物线上找出点E，使． （2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点F． 17. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）； （2）如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式； 四．解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点和，与轴交于点． （1）求和的值． （2）若点在该二次函数图像上，且，求点的坐标． 19. 观察下列一组方程：①；②；③；④…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”． （1）若也是“连根一元二次方程”，求出实数的值． （2）请写出第个方程和它的根． 20. 年月日，南昌秋水广场举办“星河万里 遇见南昌”无人机灯光展演．在招商阶段，某无人机服务商报价：出动架无人机时，每架无人机综合展演费用为元；在此基础上，无人机数量每增加架，单架展演费用下降元，且单架展演费用不能低于元． （1）若增加个架无人机，此时一共有________架无人机，每架无人机展演费用为________元； （2）设增加个架无人机，请用含的代数式表示：无人机总数为________架，单架展演费用为________元． （3）若本次展演总花费为元，并且在符合单价下限的前提下，尽可能多安排无人机，求本次出动无人机的数量． 五．解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的． 例如：解方程， 如果设，∵，∴，用y表示x后代入得：． 应用：请用换元法解下列各题 （1）已知 ，则的值； （2）解方程：； 22. 关于x的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： （1）表格中t的值为______； （2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； （3）记的两个变形为和，则的值______． 六．解答题（本大题共12分） 23. 已知抛物线（为常数，）． （1）若该抛物线经过点，求抛物线的表达式； （2）若，求出当时该函数的最大值与最小值的差； （3）已知点和均在该抛物线上，若，直接写出的取值范围_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $