江西南昌市第二十八中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

南昌二十八中教育集团26—27学年上学期第一次素养评估 九年级数学 一．选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的选项中只有一项是最符合题目要求，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选，多选或漏选均不得分． 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A． B． C． D． 3．把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 4．某公司今年销售一种产品，月份获得利润万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利万元，已知月份和月份利润的月增长率相同．设月份和月份利润的月增长率为，那么满足的方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为、，点是其对称轴直线上的动点，根据图中提供的信息，得出以下结论： ①； ②是方程的一个根； ③周长的最小值是； ④． ⑤若，则或 其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是________． 8．我们定义一种新运算：对于任意实数，，规定，若关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，则的值为________． 9．已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是________（填“＜”“＞”或“”）． 10．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表所示： … … … … 则当时，的值是________； 11．小明在与对话中输入如表所示的文字，经过秒的深度思考和验证， 给出的这个数应该是________ 有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的倍后再加上，结果等于这个数． 已深度思考（用时秒） 12．抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在抛物线上， 且点的横坐标为，若点为轴上非原点的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为________． 三．解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分） 13．用适当的方法解方程： （1） （2） 14．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边为 （Ⅰ）用含有的式子表示，并写出的取值范围； （Ⅱ）若苗圃园的面积为平方米，求的长度． 15．已知关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根． （2）设方程的两根分别是，，若满足，求的值． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，经过，两点的抛物线交轴于另一点，连接．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图中的抛物线上找出点，使； （2）在图中的抛物线上作出该抛物线的顶点． 17．在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）； （2）如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式； 四．解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，与轴交于点． （1）求和的值． （2）若点在该二次函数图象上，且，求点的坐标． 19．观察下列一组方程：①；②；③；④…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”． （1）若也是“连根一元二次方程”，求出实数的值． （2）请写出第个方程和它的根． 20．年月日晚上，南昌秋水广场举办“星河万里 遇见南昌”无人机灯光展演．在招商阶段，某无人机服务商报价：出动架无人机时，每架无人机综合展演费用为元；在此基础上，无人机数量每增加架，单架展演费用下降元，且单架展演费用不能低于元． （1）若增加个架无人机，此时一共有________架无人机，每架无人机展演费用为________元； （2）设增加个架无人机，请用含的代数式表示：无人机总数________架，单架展演费用________元． （3）若本次展演总花费为元，并且在符合单价下限的前提下，尽可能多安排无人机，求本次出动无人机的数量． 五．解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21．解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的．例如：解方程，如果设，，，用表示后代入得． 应用：请用换元法解下列各题： （1）已知，则的值； （2）解方程：； 22．关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： （1）表格中的值为________； （2）观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为________； （3）记的两个变形为和，求的值． 六．解答题（本大题共12分） 23．已知抛物线（为常数，） （1）若该抛物线经过点，求抛物线的表达式． （2）若，求出当时该函数的最大值与最小值的差． （3）已知点和均在该抛物线上，若，请求出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $