精品解析：江西南昌市2025-2026学年上学期九年级数学12月学业调研

2025-2026学年上学期2023级12月学业调研 数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B选项不是轴对称图形而是中心对称图形，不符合题意； C选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； D选项是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 同时掷2枚相同的质地均匀的硬币，出现一正一反的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：设硬币出现正面为，出现反面为， 列表如下： 由表格可得，共有4种等可能的结果，其中出现一正一反的情况有2种， 出现一正一反的概率． 故选：A． 3. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线的顶点坐标为，则抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的解析式为． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握利用顶点的平移解决二次函数的平移问题． 4. 如图，将沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦，那么的半径长度为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，先作于D，连接，先根据勾股定理列方程可解答． 【详解】解：作于D，连接． ∵，， ∴. 由折叠得：. 设，则. 在中，， 即， 解得 ∴. 即的半径是4. 故选：B． 5. 如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转60°，得到，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转得到与点B重合，过点B作于点C，利用等边三角形的性质求出OC和BC的长，得到坐标． 【详解】解：如图，绕着点O顺时针旋转得到，此时与点B重合， 过点B作于点C， ∵△OAB 是边长为4的等边三角形， ∴AB=BO，， ∴AC=OC=2， 根据勾股定理，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查图形的旋转和等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质． 6. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与轴、轴的交点，综合判断即可．掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向上，则，对称轴，则，， ∴，所以①正确； 抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为， 于是有，联立，解得， ∴，所以②正确； 当图象在对称轴右侧，开口向上，随的增大而增大，所以③错误； 若关于的一元二次方程没有实数根， 即：，亦即， ∴，即：，亦即：， ∵， ∴，所以④正确； 对于任意实数，总有 ， 故⑤正确．综上所述，正确的结论有：①②④⑤． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∵该方程一个根为，令， ∴，解得：． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，． 8. 在国家宏观调控下，某市商品房成交价由今年9月份的14000元/m2下降到11月份的11340元/m2．则今年10、11两月平均每月降价的百分率是____． 【答案】10％ 【解析】 【分析】设10、11两月平均每月降价的百分率是x，那么10月份商品房成交价为14000（1-x），11月份商品房成交均价为14000（1-x）2，然后根据11月份的商品房成交价为11340元/m2即可列出方程解决问题． 【详解】设10、11两月平均每月降价的百分率是x， 依题意有14000（1-x）2=11340， 即（1-x）2=0.81， 解得x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）． 故答案为：10% 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，此题和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 9. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球 _____个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查的是频率估计概率的知识，根据绿球个数除以总个数即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到绿球的频率稳定在， ∴摸到绿球的概率是， 设有x个绿球， ∵口袋中有9个红球，3个白球， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的根， 故答案为：8． 10. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为所求． 【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D， 则AB=2AD， ∵钢珠的直径是10mm， ∴钢珠的半径是5mm． ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OD=3mm． 在Rt△AOD中，∵mm， ∴AB=2AD=2×4=8mm 故答案为8 【点睛】本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键． 11. 圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，圆锥底圆半径为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥底圆半径为， 根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥底圆半径为， 根据题意得， 解得， 故答案为：2． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、、的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，抛物线图象与系数的关系，抛物线开口向上，因此大于，越大抛物线开口越小，越小抛物线开口越大，因此抛物线经过点时，取最大值，经过点时，取最小值，由此可解． 【详解】解：正方形的顶点、、的坐标分别为、、， 点的坐标为． 抛物线开口向上， ， 当抛物线经过点时，取最大值，经过点时，取最小值． 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， ∴若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ，； （2） ， ． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）用公式法解此方程即可； （2）用因式分解法解此方程即可． 【小问1详解】 解：根据方程知，，． ∴． ∴． ∴，； 【小问2详解】 解：移项，得． 因式分解，得， 即． ∴，． 解得，． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）若是这个方程的一个根，求的值和它的另一根； （2）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． 【答案】（1）1； （2） 证明：， 对于任意实数，原方程一定有实数根； 【解析】 【分析】（1）把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值；然后根据根与系数的关系来求方程的另一根； （2）根据根的判别式的符号进行论证； 【小问1详解】 解：把代入，得 ， 解得． 设方程的另一根为，根据方程根与系数的关系则 ． 即的值为1，方程的另一根为2； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了根与系数的关系，完全平方式的非负性，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的知识是解题的关键． 15. 如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论． 【答案】等边三角形， 证明如下： 由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC ∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°． ∴△ABC是等边三角形． 【解析】 【分析】利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°． 16. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加羽毛球单打比赛． （1）若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，则恰好选中乙的概率是______； （2）任意选取2名学生参加比赛，求选中丙的概率．（用树状图或列表的方法求解） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是利用例举法，列表法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用． （1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可； （2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种， ∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁 丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁 丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙 所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种， 所以选中丙的概率为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，1)，B(－1，3)，C(0，1)． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出A1，B1的坐标； （2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(－5，－3)，画出平移后的△A2B2C2，并写出B2，C2的坐标； （3）若△A2B2C2和△A1B1C1关于点P中心对称，请直接写出对称中心P的坐标． 【答案】 (1)如图所示，△A1B1C1为所作三角形，A1(3，1)，B1(1，－1)． (2)如图所示，△A2B2C2为所作三角形，B2(－3，－1)，C2(－2，－3)． (3)对称中心P的坐标为(－1，－1)． 【解析】 【分析】（1）依据以点C为旋转中心旋转180°，即可画出旋转后的△A1B1C1； （2）依据点A的对应点A2的坐标为（−5，−3），即可画出平移后的△A2B2C2； （3）依据中心对称的性质，即可得到对称中心P的坐标． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商店销售一种进价100元/件的商品，且规定售价不得超过进价的倍，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价（元/件） 130 140 销售量（件/天） 140 120 （1）直接写出关于售价的函数关系式； （2）设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为140时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大为4800元 【解析】 【分析】（1）根据题意，设y关于售价x的函数关系式为，利用待定系数法求解即可得到答案； （2）根据每天获得的利润＝每件商品的利润×销售量列出W与x之间的函数关系式，再由二次函数性质求出最值． 本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 【小问1详解】 设y关于售价x的函数关系式为， 将、代入得， 解得， ∴y关于售价x的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得：， ∵，， ∴当时，W有最大值，最大值为4800， 答：当销售单价定为140时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大为4800元． 19. 为了丰富学生课余生活，某区教育部门准备在七年级开设兴趣课堂．为了了解学生对音乐、书法、球类、绘画这四个兴趣小组的喜爱情况，在全区进行随机抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅统计图(信息不完整)，请根据图中提供的信息，解答下面的问题： 此次共调查了多少名学生? 将条形图补充完整； 计算扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数； 小华和小红想报名参加兴趣课堂，现从音乐、书法、球类、绘画四种兴趣课堂中随机选择一种，用列表法或树状图法求出他们选中同一种兴趣课堂的概率． 【答案】（1）300； （2）补全条形图如下： （3）96°； （4） 【解析】 【分析】（1）根据球类人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各组人数之和等于总人数求得音乐人数，据此可补全条形图； （3）用360°乘以音乐人数所占比例可得； （4）利用树形图即可得出结论 【详解】解：（1）此次共调查了120÷40%=300（名）， 答此次共调查了300名； （2）音乐的人数为=； （3）扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数为: （4）设小音乐、绘画、球类、书法四种兴趣班分别为画树状图如图所示： 共有个等可能的结果，小华和小红选中同一种乐器的结果有个， 选中同一种乐器的概率为 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图以及树形图等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）15 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理的应用等，掌握切线的判定定理，圆周角定理的应用是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得，再由角平分线得定义和同圆半径相等，等腰三角形及等量代换可得即可得到结论． （2）如图，设半径为x，则有，根据勾股定理即可求出x的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为x，则有， 在中， ， ∴， 解得． ∴的半径为15． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． （1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称； （2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°． ①求证：△BCE是等边三角形； ②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可； (2)①证明：∵△ABC≌△DBE， ∴BC=BE， ∵∠CBE=60°， ∴△BCE是等边三角形； ②证明：∵△ABC≌△DBE， ∴BE=BC，AC=ED； ∴△BCE为等边三角形， ∴BC=CE，∠BCE=60°， ∵∠DCB=30°， ∴∠DCE=90°， 在Rt△DCE中， DC2+CE2=DE2， ∴DC2+BC2=AC2． 【解析】 【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形； （2）①首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形； ②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解． 【详解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可； （2）①略 ②略 考点：四边形综合题． 22. 如图，是的弦，是直径，连接，，，其中，平分，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的周长之和． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆中半径相等以及等边对等角得出，结合角平分线得出，推出，根据平行线的性质得出，即可证明是的切线． （2）如图，连接，．证明，都是等边三角形．得出，求出．再根据直角三角形的性质得出，解直角三角形得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵． ∴， ∴． ∴，都是等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴图中阴影部分的周长之和为． 【点睛】本题主要考查了角平分线，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，圆的切线，圆周角定理，解直角三角形，直角三角形的性质，弧长公式等，解决问题的关键是熟练掌握以上知识点． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，． （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍． ①求点P的坐标． ②抛物线的对称轴上有一动点Q，求的周长最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点P作轴于E，则，根据，即可求出；②先求出，抛物线的对称轴为直线，可得A点与B点关于对称轴对称，由题意得直线与对称轴交点为Q，此时最小，求出，，，，，即可解答． 【小问1详解】 解：∵二次函数过，两点，则， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①过点P作垂直x轴于E，则， ∵． ∴，即， ∵， ∴， 令， 解得，（P在第二象限舍去）， ∴； ②∵抛物线与x轴相交于A、B两点， ∴令， 解得，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴A点与B点关于对称轴对称， ∵点Q在对称轴上运动， ∴直线与对称轴交点为Q，此时最小； ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期2023级12月学业调研 数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 同时掷2枚相同的质地均匀的硬币，出现一正一反的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为(　　) A. B. C. D. 4. 如图，将沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦，那么的半径长度为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 5. 如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转60°，得到，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________． 8. 在国家宏观调控下，某市商品房成交价由今年9月份的14000元/m2下降到11月份的11340元/m2．则今年10、11两月平均每月降价的百分率是____． 9. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球 _____个． 10. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm． 11. 圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，圆锥底圆半径为_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、、的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）若是这个方程的一个根，求的值和它的另一根； （2）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． 15. 如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论． 16. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加羽毛球单打比赛． （1）若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，则恰好选中乙的概率是______； （2）任意选取2名学生参加比赛，求选中丙的概率．（用树状图或列表的方法求解） 17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，1)，B(－1，3)，C(0，1)． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出A1，B1的坐标； （2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(－5，－3)，画出平移后的△A2B2C2，并写出B2，C2的坐标； （3）若△A2B2C2和△A1B1C1关于点P中心对称，请直接写出对称中心P的坐标． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商店销售一种进价100元/件的商品，且规定售价不得超过进价的倍，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价（元/件） 130 140 销售量（件/天） 140 120 （1）直接写出关于售价的函数关系式； （2）设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 19. 为了丰富学生课余生活，某区教育部门准备在七年级开设兴趣课堂．为了了解学生对音乐、书法、球类、绘画这四个兴趣小组的喜爱情况，在全区进行随机抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅统计图(信息不完整)，请根据图中提供的信息，解答下面的问题： 此次共调查了多少名学生? 将条形图补充完整； 计算扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数； 小华和小红想报名参加兴趣课堂，现从音乐、书法、球类、绘画四种兴趣课堂中随机选择一种，用列表法或树状图法求出他们选中同一种兴趣课堂的概率． 20. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． （1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称； （2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°． ①求证：△BCE是等边三角形； ②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 22. 如图，是的弦，是直径，连接，，，其中，平分，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的周长之和． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，． （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍． ①求点P的坐标． ②抛物线的对称轴上有一动点Q，求的周长最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $