精品解析：北京市八一学校2026-2027学年高三第一学期10月月考数学试题

北京市八一学校2026-2027学年度第一学期10月月考 高三数学 2026.10 注意：本试卷共4页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题共10小题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中，在区间上不是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间是（  ） A. B. C. D. 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“为第一或第三象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表．根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（ ） 0 0 5 0 A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 9. 已知．若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 设函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，，规定为线段AB的长度叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题，其中错误的是（ ）. A. 函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和，则； B. 存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； C. 设A，B是抛物线上不同的两点，则； D. 设A，B是曲线是自然对数的底数上不同的两点，则 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是_______． 12. 已知奇函数的定义域为，当时，，则________． 13. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则________． 14. 函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于､两点，且在轴上，圆的半径为，则___________. 15. 已知函数其中表示不超过x的最大整数.例如： 给出以下四个结论： ① ②集合的元素个数为; ③存在，对任意的，有; ④对任意都成立，则实数的取值范围是 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间及对称轴方程． 17. 已知函数. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）求证：直线是曲线的切线； （Ⅲ）写出的一个值，使得函数有三个不同零点（只需直接写出数值） 18. 已知函数． （1）若，求的值； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出、的值，并证明：当时，． 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称． 19. 已知函数（）图象在点处的切线与直线垂直． （1）求实数a的值； （2）若存在，使得恒成立，求实数k的最大值． 20. 已知函数． （1）求在区间上的最大值和最小值； （2）若是函数的极值点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求在区间上的零点个数． 21. 已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”. （1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值； （3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市八一学校2026-2027学年度第一学期10月月考 高三数学 2026.10 注意：本试卷共4页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题共10小题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求得集合，由并集定义可得结果. 【详解】，， . 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，结合“改量词，否结论”得到答案. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：B. 3. 下列函数中，在区间上不是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的图象即可判断A；根据复合函数的单调性及导数，即可判断B；根据幂函数的图象即可判断C；根据正切函数的图象即可判断D． 【详解】对于A，由对数函数的图象得，在上单调递增，故A不合题意； 对于B，设，则在上单调递增， 所以，，，令，得， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以在单调递减，在单调递增，故B不合题意； 对于C，因为和在单调递增，所以在单调递增，故C不合题意； 对于D，因为的定义域为，故D符合题设要求， 故选：D． 4. 函数的零点所在的区间是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性，求，，，，结合零点存在性定理确定零点所在的区间. 【详解】因为函数和函数在上都单调递增， 所以函数为增函数， 又，，，， 由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是. 故选：C. 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 又，所以，所以，即. 所以. 6. 如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，以及诱导公式可求得的值． 【详解】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为， 所以，因为的终边在第一象限， 所以， 所以. 故选：A． 7. “”是“为第一或第三象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解. 【详解】因为时，则， 所以为第一或第三象限角， 反之，当为第一或第三象限角时，，所以， 综上，“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件， 故选：C 8. 某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表．根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（ ） 0 0 5 0 A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【详解】由，则. 由，可得. 又，所以. 所以将函数的图象向左平移，可得的图象. 9. 已知．若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解. 【详解】解：由题意，不妨令，；，， ①当时，在上单调递减， 在上单调递减，易知在上的值域为， 又因为存在最小值，只需，解得， 又由，从而； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 又因为存在最小值，故， 即，解得，，这与矛盾； ③当时，，易知的值域为，显然无最小值； ④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 10. 设函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，，规定为线段AB的长度叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题，其中错误的是（ ）. A. 函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和，则； B. 存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； C. 设A，B是抛物线上不同的两点，则； D. 设A，B是曲线是自然对数的底数上不同的两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】由新定义，利用导数求出函数,在点A与点B之间的“弯曲度”判断A,C正确；举例说明B是正确的；求出曲线上不同两点，之间的“弯曲度”，判断D错误． 【详解】对于A，由，得， ，，则，A正确； 对于B，例如，，即曲线上任意一点，都有 ，从而为常数，所以B正确； 对于C，，，设，，则， 所以，所以C正确； 对于D，，，因为，，为曲线上不同的两点， 所以 ，所以D不正确. 故选：D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是_______． 【答案】. 【解析】 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果. 【详解】由题意得， 解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 12. 已知奇函数的定义域为，当时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】 由于为奇函数，所以，然后代入解析式中可得结果 【详解】解：因为奇函数的定义域为，当时，， 所以， 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得. 【详解】由三角函数的定义可知, 所以 故答案为：. 14. 函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于､两点，且在轴上，圆的半径为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合图像求出周期，进而可得的值，再代点分别求出和的值，即可得到函数的解析式，进而可得. 【详解】由图可知，点，故，即，因，所以. 由，得，又因，所以， 故. 由图可知，又因且圆的半径为，所以， 因此，即，所以. 因此. 故答案为：. 15. 已知函数其中表示不超过x的最大整数.例如： 给出以下四个结论： ① ②集合的元素个数为; ③存在，对任意的，有; ④对任意都成立，则实数的取值范围是 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①④ 【解析】 【详解】对于①，由知，，故①正确， 对于②，由周期性可知，的周期为，故讨论即可， 易得当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，故该集合元素个数为6，故②错误， 对于③，显然在时，的值域不关于对称， 故不关于对称，即，故③错误， 对于④，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 而对任意都成立，故恒成立， 令，即，而显然， 可得恒成立，即，故④正确. 故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数新定义，解题关键是找合理分离参数，然后利用给定定义求解函数最值，最后得到所要求的参数范围即可． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间及对称轴方程． 【答案】（1）0； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简得，把代入函数解析式中，即可的值； （2）由正弦函数单调性和对称性，由整体代入法求解可得. 【小问1详解】 由 得 所以. 【小问2详解】 令，得 所以函数的单调递减区间是 令，得 即函数的对称轴方程 17. 已知函数. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）求证：直线是曲线的切线； （Ⅲ）写出的一个值，使得函数有三个不同零点（只需直接写出数值） 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）因为 令，解得 因为，直线不经过 而， 所以曲线在点处的切线为 化简得到 所以无论a为何值，直线都是曲线在点处的切线 （3）-2. 【解析】 【分析】（Ⅰ）当时，对函数求导，通过判断导数与0的关系即可得单调区间；（Ⅱ）根据导数的几何意义可令，解得，而，通过直线不经过，即可得最后结果；（Ⅲ）取的值为． 【详解】（Ⅰ）函数的定义域为， 当时， 所以 令，得 当x变化时，，的变化情况如下表： x -1 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （Ⅱ）略 （Ⅲ）取a的值为-2. 这里a的值不唯一，只要取a的值小于-1即可. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究曲线的切线方程以及根据函数的增减性研究函数的零点问题，是中档题． 18. 已知函数． （1）若，求的值； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出、的值，并证明：当时，． 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称． 【答案】（1） （2），， 时，证明如下： 令，，则， 问题转化为求在上的最大值， 根据正弦函数图象与性质，当时，取得最大值， 所以 因此，当时，恒成立，得证. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数式，再代入自变量求值即可； （2）根据已知分析各条件是否满足题设，再将满足要求的条件作组合求出对应参数值，进而证明结论. 【小问1详解】 当时，， 所以； 【小问2详解】 由 ， ， 已知，， 条件①：由，即， 因为，在此区间内，与产生矛盾； 条件②：当时，的最小值为， 正弦函数的零点间距最小值为半个周期，即， 所以，解得，满足； 条件③：图象关于直线对称，所以，化简得， 综上，选条件②和③， 由②，将代入③：， 因为，取，得， 此时函数解析式为，（证明略）. 19. 已知函数（）图象在点处的切线与直线垂直． （1）求实数a的值； （2）若存在，使得恒成立，求实数k的最大值． 【答案】（1）1 （2）-1 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，求出函数导数，判断其函数值正负，判断函数单调性，利用“隐零点”求得函数最小值的表达式，结合二次函数性质即可求得答案. 【小问1详解】 ∵，∴， ∵切线与直线垂直，∴切线的斜率为3， ∴，即，故. 【小问2详解】 由（1）知，， ， 令，，则，， 由对恒成立，故在上单调递增， 又∵，而， ∴存在，使， ∵在上单调递增， ∴当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； ∴在处取得最小值， ∵恒成立，所以； 由得，，所以， ∴ ， 又，∴， ∵，∴k的最大值为． 【点睛】关键点睛：解答第二问根据不等式恒成立求解参数的最大值，关键在于要求出函数的最小值或取值范围，解答时要注意“隐零点”问题的解决方法. 20. 已知函数． （1）求在区间上的最大值和最小值； （2）若是函数的极值点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求在区间上的零点个数． 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）（i）已知，则， 因为是极值点，所以，解得， 即， 令在上连续，则，所以在上单调递增， 由， 所以方程在区间内有且仅有一个实根，即得证； （ii）2个 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而确定极值和端点值并比较大小，即可得最值； （2）（i）对函数求导，结合极值点得，进而将问题化为研究根的个数及其所在的区间，即可证； （ii）问题化为研究在区间上根的个数，构造相关函数，应用分类讨论及导数研究函数的区间零点个数，即可得. 【小问1详解】 由题设， 令，得，且位于区间内， 当时，，在上单调递增， 当 时，，在上单调递减， 因此在处取得极大值，也是最大值， 最大值，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）， 设，与零点相同. ，于是的1个零点为0， ， 当，，，又， ，在上单调递减，，故在没有零点. 当，，，又， ，在上单调递增，，故在没有零点. 当，令，则，在上单调递减， ，故存在使， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ，，故在上有1个零点. 综上，在上有2个零点，即在上有2个零点. 21. 已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”. （1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值； （3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或. 【答案】（1）是完美集合，不是完美集合，理由如下： 将分为、、满足条件，则是完美集合. 将分成个，每个中有两个元素，则，， 中所有元素之和为，，而为整数，不符合要求， 故不是“完美集合”； （2）可能值为：、、中任一个； （3）中所有元素之和为 ， 因为，所以，， 所以，， 因为为正整数，则可以被整除， 所以，或，即或. 故集合为“完美集合”的一个必要条件是或. 【解析】 【分析】（1）根据完美集合的定义，将分为集合、、符合条件，将分成个，每个中有两个元素，根据完美集合的定义进一步判断即可； （2）根据完美集合的概念直接求出集合，从而得到的值； （3）中所有元素之和为，根据，等号右边为正整数，可得等式左边可以被整除，从而证明结论. 【详解】（1）略 （2）若集合，，根据完美集合的概念知集合； 若集合，，根据完美集合的概念知集合； 若集合，，根据完美集合的概念知集合. 故的可能值为、、中任一个； （3）略 【点睛】关键点点睛：解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算，解本题的关键在于理解“完美集合”的定义，弄清集合、中的元素与集合中元素之间的关系，采取逻辑推证、列举法等方法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $