北京市第十五中学2026-2027学年高三上学期10月阶段性测试数学试题

北京十五中 高三年级阶段测试试卷 数学 2026.10 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数，，则 A． B． C． D． 3．在平行四边形中，为的中点．记，，则 A． B． C． D． 4．等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为 A． B． C． D． 5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是 A． B． C． D． 6．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 A． B． C． D． 7．在中，，，则 A． B． C． D． 8．已知函数，，那么“”是“在上是增函数”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：）可表示为，其中为起始光功率（单位：），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：），已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半．若当距离由变到时，光功率由变到，则 A． B． C． D． 10．已知函数集合．若对任意，，都有，则的取值范围为 A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．在中，若，，，则__________． 12．已知向量，满足，，且，则__________． 13．设，，其中，．当，时，__________；当时，的一个取值为__________． 14．已知数列是首项为16，公比为的等比数列，是公差为2的等差数列．若集合中恰有3个元素，则的首项的取值范围是__________． 15．已知函数．给出下列四个结论： ①任意，函数的最大值与最小值的差为2； ②存在，使得对任意，； ③当时，存在非零实数，， ④当时，存在，，使得对任意，都有． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分） 已知函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若在区间上是单调函数，且对任意的，都有成立．求当在区间上有且仅有一个零点时，实数的取值范围． 17．（本小题13分） 某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 0 1 2 3 4 保单份数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元． 假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率． （Ⅰ）估计一份保单索赔次数不少于2的概率； （Ⅱ）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 18．（本小题14分） 在中，． （Ⅰ）求： （Ⅱ）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值． 条件①：；条件②：；条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题15分） 已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程： （Ⅱ）求的单调区间． （Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 20．（本小题15分） 已知函数，其中． （Ⅰ）若在处取得极小值，求的值； （Ⅱ）当时，求在区间上的最大值： （Ⅲ）证明：有且只有一个极值点． 21．（本小题15分） 如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且满足，，…，（，2，…，）与，，…，（，2，…，）均是公差不为0的等差数列． … … … … 若根据条件，能求出数表中所有的数，则称能被确定． （Ⅰ）已知，分别根据下列条件，直接判断数表能否被其确定： 条件：“已知，，”； 条件：“已知，，，”． （Ⅱ）设条件：“任意给定数表中的个数”，能被确定，证明：的最小值为； （Ⅲ）设条件：“已知集合中的任意个元素”，求的最小值，使得能被确定． 学科网（北京）股份有限公司 $