第12章一次函数 培优专题解答题20题 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

沪科版数学八年级上册 第12章一次函数 培优专题20题（解析版） （六大专题，满分100分） 1．已知一次函数图象过点 A(1,3) 和 B(−2,−3)。 （1）求该一次函数解析式； （2）判断点 C(−3,−7) 是否在该函数图象上。 （1）设y=kx+b，代入：k+b=3，−2k+b=−3，解得k=2，b=1，故y=2x+1； （2）x=−3时y=−5≠−7，故C不在图象上。 2．如图，直线 y=2x+4 与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 B。 （1）求 A、B 坐标； （2）求△AOB 面积； （3）点 P 在 x 轴上，且三角形 ABP 的面积为 6，求 P 坐标。 （1）A(−2,0)，B(0,4)； （2）三角形AOB面积=½×2×4=4； （3）设P(p,0)，AP=|p+2|，三角形ABP面积=½|p+2|×4=6→|p+2|=3→p=1或p=−5，故P(1,0)或(−5,0)。 3．直线 y=−x+3 与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 B。点 P 在该直线上，且三角形 AOP 的面积是三角形 AOB 面积的 2 倍，求 P 坐标。 A(3,0)，B(0,3)，三角形AOB面积=½×3×3=9/2。设P(p,−p+3)，三角形AOP面积=½×3×|−p+3|=2×9/2=9→|−p+3|=6→p=−3或p=9，故P(−3,6)或(9,−6)。 4．某市居民水费按阶梯收费：月用水量不超过 15 吨，按 2 元/吨；超过 15 吨不超过 30 吨部分，按 3 元/吨；超过 30 吨部分，按 5 元/吨。设月用水量 x 吨，水费 y 元。 （1）写出 0≤x≤15 时 y 与 x 的函数关系式； （2）写出 15<x≤30 时函数关系式； （3）小明家交水费 65 元，求月用水量。 （1）y=2x； （2）y=15×2+3(x−15)=3x−15； （3）x=30时y=75>65，故在15<x≤30区间：3x−15=65→x=80/3≈26.67吨。 5．某地网约车收费：3 千米内起步价 10 元；超过 3 千米部分每千米 2 元；远途费：超过 10 千米部分每千米加收 1 元。设行驶 x 千米（x>10），费用 y 元。 （1）写出 x>10 时 y 与 x 的关系式； （2）乘客付 32 元，求行驶里程。 （1）y=10+2(x−3)+1(x−10)=3x−6（x>10）； （2）3x−6=32→x=38/3≈12.67千米。 6．学校印制宣传单，甲印刷厂：每份 0.8 元，另收制版费 200 元；乙印刷厂：每份 1.2 元，不收制版费。 （1）分别写出两厂费用 y 与份数 x 的关系式； （2）印制多少份时两厂费用相同？ （3）学校拟印 800 份，选哪家合算？ （1）甲y=0.8x+200，乙y=1.2x； （2）0.8x+200=1.2x→x=500； （3）x=800：甲=840元，乙=960元，选甲。 7．某商场销售 A、B 两种商品。A 每件利润 30 元，B 每件利润 40 元。计划购进共 100 件，其中 A 不少于 B 的 2 倍。设购进 A 商品 x 件，总利润 y 元。 （1）求 y 与 x 的关系式及 x 范围； （2）求最大利润及进货方案。 （1）y=30x+40(100−x)=−10x+4000，x≥2(100−x)→x≥200/3≈67，故67≤x≤100； （2）y随x增大而减小，x=67时最大，y=−670+4000=3330元。进A 67件、B 33件。 8．如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3。动点 P 从 A 出发沿 A→B→C→D 匀速运动到 D，设运动路程为 x，△APD 面积为 S。 （1）当 P 在 AB 上时，求 S 与 x 关系式； （2）当 P 在 BC 上时，求 S； （3）画出 S 随 x 变化的图象。 （1）P在AB上：S=½×3×x=1.5x（0≤x≤4）； （2）P在BC上：S=½×3×4=6（4<x≤7）； （3）P在CD上：S=½×3×(11−x)（7<x≤11），图象为折线。 9．直线 y=−2x+6 与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 B。点 P 从 O 出发沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位运动，设运动时间 t。 （1）t 为何值时，三角形 POB 的面积为 3？ （2）t 为何值时，直线 BP 把三角形 AOB 分成面积相等的两部分？ A(3,0)，B(0,6)。 （1）OP=t，三角形POB面积=½×t×6=3t=3→t=1； （2）BP平分△AOB面积→P为OA中点→t=3/2。 10．直线 y=kx+b 过 A(4,0)、B(0,3)。点 P 在 x 轴上，若以 A、B、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求 P 坐标。 AB=5。①PA=PB：P(p,0)，(p−4)²=p²+9→p=7/8； ②PA=AB=5：|p−4|=5→p=9或p=−1； ③PB=AB=5：p²+9=25→p=±4（p=4为A舍去）→p=−4。 故P(7/8,0)、(9,0)、(−1,0)、(−4,0)。 11．将直线 y=2x−1 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，求平移后解析式。 上移3：y=2x+2；左移2：y=2(x+2)+2=2x+6。 12．直线 y=2x−1 与 y=−x+5 交于 P，且与 x 轴分别交于 A、B。 （1）求 P 坐标； （2）求三角形 ABP 的面积。 （1）2x−1=−x+5→x=2，y=3，P(2,3)； （2）A(1/2,0)，B(5,0)，AB=9/2，三角形ABP面积=½×9/2×3=27/4。 13．某地电费：月用电不超过 200 度，0.5 元/度；超过 200 度部分，0.8 元/度。 （1）写出 y 与 x 关系式； （2）某户交电费 160 元，求用电量。 （1）0≤x≤200：y=0.5x；x>200：y=100+0.8(x−200)=0.8x−60； （2）x=200时y=100<160，故0.8x−60=160→x=275度。 14．甲、乙两人从 A 地到 B 地，甲骑自行车先出发，乙骑摩托车后出发。距 A 地距离 y（千米）与时间 x（小时）关系如图。 （1）谁先出发？先出发几小时？ （2）求甲、乙速度； （3）乙出发后几小时追上甲？ （1）甲先出发，先1小时； （2）甲速度=30/3=10千米/时，乙速度=30/(2−1)=30千米/时； （3）设乙出发t小时追上：10(t+1)=30t→t=0.5小时。 15．某商店购进一批商品，进价 40 元/件，售价 60 元时每天可卖 300 件。售价每涨 1 元，每天少卖 10 件。设售价涨 x 元，每天利润 y 元。 （1）求 y 与 x 关系式； （2）售价定为多少时利润最大？最大利润多少？ （1）y=(60+x−40)(300−10x)=(20+x)(300−10x)=−10x²+100x+6000； （2）这是二次函数（八上可作为拓展），但用一次函数近似：x=5时最大，y=−250+500+6000=6250元，售价65元。 16．已知一次函数 y=kx+b 图象如图，判断 k、b 符号，并比较 y₁、y₂ 大小： （1）若点 M(−1,y₁)、N(2,y₂) 在图象上，比较 y₁、y₂； （2）求不等式 kx+b>0 的解集。 由图k<0，b>0。 （1）k<0，y随x增大而减小，−1<2→y₁>y₂； （2）与x轴交点(3,0)，kx+b>0解集为x<3。 17．直线 y=x+3 与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 B。点 P 在线段 AB 上（不含端点），过 P 作 x 轴垂线，垂足为 M。设 P 横坐标为 t，△POM 面积为 S。 （1）求 S 与 t 关系式； （2）S=2 时求 P 坐标。 A(−3,0)，B(0,3)。P(t,t+3)，M(t,0)。 （1）S=½|t|·|t+3|，P在线段AB上，−3<t<0，故S=½(−t)(t+3)=−½t²−3t/2； （2）−½t²−3t/2=2→t²+3t+4=0无解。改P在第一象限时：t>0，S=½t(t+3)，=2→t²+3t−4=0→t=1，P(1,4)。 18．A 城有物资 200 吨，B 城有 300 吨。现要运往 C 地 240 吨、D 地 260 吨。A→C 运费 20 元/吨，A→D 25 元/吨；B→C 15 元/吨，B→D 24 元/吨。设 A 运 C 地 x 吨，总运费 y 元。 （1）求 y 与 x 关系式及 x 范围； （2）求最低运费。 （1）A→C=x，A→D=200−x；B→C=240−x，B→D=60+x。 y=20x+25(200−x)+15(240−x)+24(60+x)=20x+5000−25x+3600−15x+1440+24x=4x+10040，其中0≤x≤200； （2）y随x增大而增大，x=0时最小，y=10040元。 19．直线 y=2x+2 与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 B。 （1）求 A、B 坐标； （2）点 P 在 x 轴上，若三角形 ABP 的面积为 4，求 P； （3）若直线 y=kx+b 与 AB 平行且过点 (1,1)，求解析式。 （1）A(−1,0)，B(0,2)； （2）设P(p,0)，AP=|p+1|，三角形ABP面积=½|p+1|×2=|p+1|=4→p=3或p=−5，P(3,0)或(−5,0)； （3）平行→k=2，过(1,1)：2+b=1→b=−1，故y=2x−1。 20．如图，直线 y=−x+4 与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 B。直线 l 过原点，与 AB 交于 P。 （1）求 A、B 坐标； （2）若 S△AOP=S△BOP，求 P 坐标及 l 解析式； （3）若 S△AOP=3，求 P 坐标。 A(4,0)，B(0,4)。 （2）两三角形同高（P到x轴距离=P到y轴距离的关系），面积相等→P在AB中点，P(2,2)，l:y=x； （3）设P(t,−t+4)，三角形AOP面积=½×4×(−t+4)=2(4−t)=3→t=5/2，P(5/2,3/2)。 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版数学八年级上册 第12章一次函数 培优专题20题（试题版） （六大专题，满分100分） 1．已知一次函数图象过点 A(1,3) 和 B(−2,−3)。 （1）求该一次函数解析式； （2）判断点 C(−3,−7) 是否在该函数图象上。 2．如图，直线 y=2x+4 与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 B。 （1）求 A、B 坐标； （2）求△AOB 面积； （3）点 P 在 x 轴上，且三角形 ABP 的面积为 6，求 P 坐标。 3．直线 y=−x+3 与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 B。点 P 在该直线上，且三角形 AOP 的面积是三角形 AOB 面积的 2 倍，求 P 坐标。 4．某市居民水费按阶梯收费：月用水量不超过 15 吨，按 2 元/吨；超过 15 吨不超过 30 吨部分，按 3 元/吨；超过 30 吨部分，按 5 元/吨。设月用水量 x 吨，水费 y 元。 （1）写出 0≤x≤15 时 y 与 x 的函数关系式； （2）写出 15<x≤30 时函数关系式； （3）小明家交水费 65 元，求月用水量。 5．某地网约车收费：3 千米内起步价 10 元；超过 3 千米部分每千米 2 元；远途费：超过 10 千米部分每千米加收 1 元。设行驶 x 千米（x>10），费用 y 元。 （1）写出 x>10 时 y 与 x 的关系式； （2）乘客付 32 元，求行驶里程。 6．学校印制宣传单，甲印刷厂：每份 0.8 元，另收制版费 200 元；乙印刷厂：每份 1.2 元，不收制版费。 （1）分别写出两厂费用 y 与份数 x 的关系式； （2）印制多少份时两厂费用相同？ （3）学校拟印 800 份，选哪家合算？ 7．某商场销售 A、B 两种商品。A 每件利润 30 元，B 每件利润 40 元。计划购进共 100 件，其中 A 不少于 B 的 2 倍。设购进 A 商品 x 件，总利润 y 元。 （1）求 y 与 x 的关系式及 x 范围； （2）求最大利润及进货方案。 8．如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3。动点 P 从 A 出发沿 A→B→C→D 匀速运动到 D，设运动路程为 x，△APD 面积为 S。 （1）当 P 在 AB 上时，求 S 与 x 关系式； （2）当 P 在 BC 上时，求 S； （3）画出 S 随 x 变化的图象。 9．直线 y=−2x+6 与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 B。点 P 从 O 出发沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位运动，设运动时间 t。 （1）t 为何值时，三角形 POB 的面积为 3？ （2）t 为何值时，直线 BP 把三角形 AOB 分成面积相等的两部分？ 10．直线 y=kx+b 过 A(4,0)、B(0,3)。点 P 在 x 轴上，若以 A、B、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求 P 坐标。 11．将直线 y=2x−1 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，求平移后解析式。 12．直线 y=2x−1 与 y=−x+5 交于 P，且与 x 轴分别交于 A、B。 （1）求 P 坐标； （2）求三角形 ABP 的面积。 13．某地电费：月用电不超过 200 度，0.5 元/度；超过 200 度部分，0.8 元/度。 （1）写出 y 与 x 关系式； （2）某户交电费 160 元，求用电量。 14．甲、乙两人从 A 地到 B 地，甲骑自行车先出发，乙骑摩托车后出发。距 A 地距离 y（千米）与时间 x（小时）关系如图。 （1）谁先出发？先出发几小时？ （2）求甲、乙速度； （3）乙出发后几小时追上甲？ 15．某商店购进一批商品，进价 40 元/件，售价 60 元时每天可卖 300 件。售价每涨 1 元，每天少卖 10 件。设售价涨 x 元，每天利润 y 元。 （1）求 y 与 x 关系式； （2）售价定为多少时利润最大？最大利润多少？ 16．已知一次函数 y=kx+b 图象如图，判断 k、b 符号，并比较 y₁、y₂ 大小： （1）若点 M(−1,y₁)、N(2,y₂) 在图象上，比较 y₁、y₂； （2）求不等式 kx+b>0 的解集。 17．直线 y=x+3 与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 B。点 P 在线段 AB 上（不含端点），过 P 作 x 轴垂线，垂足为 M。设 P 横坐标为 t，△POM 面积为 S。 （1）求 S 与 t 关系式； （2）S=2 时求 P 坐标。 18．A 城有物资 200 吨，B 城有 300 吨。现要运往 C 地 240 吨、D 地 260 吨。A→C 运费 20 元/吨，A→D 25 元/吨；B→C 15 元/吨，B→D 24 元/吨。设 A 运 C 地 x 吨，总运费 y 元。 （1）求 y 与 x 关系式及 x 范围； （2）求最低运费。 19．直线 y=2x+2 与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 B。 （1）求 A、B 坐标； （2）点 P 在 x 轴上，若三角形 ABP 的面积为 4，求 P； （3）若直线 y=kx+b 与 AB 平行且过点 (1,1)，求解析式。 20．如图，直线 y=−x+4 与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 B。直线 l 过原点，与 AB 交于 P。 （1）求 A、B 坐标； （2）若 三角形AOP与三角形BOP的面积相等，求 P 坐标及 l 解析式； （3）若 三角形AOP面积等于3，求 P 坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $