第12章 函数与一次函数（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册数学第12章函数与一次函数单元复习卷，满分150分，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖函数概念、一次函数性质与应用，突出抽象能力、模型意识及几何直观的核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|函数概念（第1题）、一次函数图像性质（第2、5题）|结合图像辨析，基础巩固| |填空题|4/20|漏刻计时模型（第11题）、一次函数性质（第14题）|文化传承与概念辨析结合| |解答题|9/90|手机充电建模（第15题）、机器人购买方案（第19题）、项目化套餐选择（第22题）|实际情境问题解决，体现模型意识与应用能力|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第12章 函数与一次函数·培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D A C A A C D D B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．5.2 12． 13． 14．②③④ 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（8分） 【详解】（1）解：由表格数据知，用快速充电器给该手机充电，每充电，其电量E增加，即每充电，其电量E增加， ∴E与t之间的关系式为（2分） （2）解：当时，， 得；（5分） （3）解：当时，， ， 所以充了电量．（8分） 16．（8分） 【详解】（1）解：当时，即， y随x的增大而增大；（2分） （2）解：当，时， 即，，函数图象与y轴的交点在x轴下方；（4分） （3）解：，， 一次函数为， 当时，，则一次函数与y轴的交点为； 当时，，解得，则一次函数与x轴的交点坐标为， ∴一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积：．（8分） 17．（8分） 【详解】（1）解：一次函数的图象不经过第三象限， ，解得， m为正整数， ；（3分） （2）解：由（1）得一次函数， 令，则；令，则， 一次函数过点和， 在直角坐标系中描出点和，过这两点作直线即可． 一次函数图象，如图所示： （6分） （3）解：一次函数， 由（2）一次函数图象可知，随着增大而减少， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴当时，x的取值范围为．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：将点代入得，解得， ∴直线的函数表达式是； ∵点的横坐标为1，且点在直线上， ∴将代入得， ∴， 将点代入得， ∴直线的函数表达式为；（4分） （2）∵直线与轴交于点， ∴将代入，得，解得， ∴， ∵点是轴正半轴上一点， ∴设， ∵， ∴， 即， 解得， ∴．（8分） 19．（10分） 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：A型智能机器人的单价为70万元，B型智能机器人的单价为40万元．（4分） （2）解：设该企业需要购买A型智能机器人台，则需要购买B型智能机器人台， 由题意，得， 解得， 又因为为非负整数， 所以且为整数， 设每天分拣快递万件， 则， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，最大，此时， 答：该企业需要购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：将点代入直线得， ∴， 将，代入直线得， 解得， ∴直线所对应的函数解析式为    ；（5分） （2）解：结合图象，不等式的解集为；（6分） （3）解：在直线中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴的面积．（10分） 21．（12分） 【详解】（1）解：由函数图形可得：当时，点的速度为每秒2个单位，而当时，的面积为8，当时，的面积为12， ∴，解得； 当时，点的速度为每秒m个单位，当时，的面积为8， ∴，解得； 当时，点的速度为每秒2单位，而当时，的面积为4，当时，的面积为12， ∴，解得； 故答案为：1，4，9；（3分） （2）解：由函数图象可知，当时，的面积为定值， 当点从点运动到点时，的面积为12， ， ， 长方形的长为6；（6分） （3）解：当时，点在边上，速度，， ； 当时，点在边上，速度为2， ， ；（9分） 当时，点在边上， 的高始终为， ； 当时，点在边上，速度为2， 点到的距离为， ； 综上所述，与之间的函数关系式为．（12分） 22．（12分） 【详解】（1）解：①小明妈妈月份的通话时长为分钟，使用流量，若使用套餐，这个月她的手机资费是（元）；（2分） ②表示问题中的每月手机流量，表示问题中的每月手机资费， 当时，；当时，； 则；（4分） 当时，；当时，， 则；（6分） （2）解：当时，；当时，； 当时，；当时，； 函数图象如答图；（10分） （3） 解：当每月使用流量不足时，使用A套餐，当每月使用流量等于时，使用A套餐和B套餐均可以，当每月使用流量超过时，使用B套餐．（12分） 23．（14分） 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 把点的坐标代入得，， 解得；（4分） （2）解：由（1）知，， 直线与直线相交于点， 联立得，， 解得， ；（8分） （3）解：， 当时，， ， ，， ， ， 当点在轴上时，则， ， ， 点的横坐标为或点的横坐标为， 点的坐标为或； 当点在轴上时，则， ， ， 点的纵坐标为或点的纵坐标为， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或．（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第12章 函数与一次函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）有以下关于的等式及图像：①；②；③；④； ⑤，⑥ 其中y是x的函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据函数的定义判定解答即可； 【详解】解：根据函数的定义，得①，对于每一个x的值，函数y都有唯一值与之对应，符合定义，是函数； ②，对于每一个x的值，函数y都有两个值与之对应，不符合定义，不是函数； ③对于每一个x的值，函数y都有两个值与之对应，不符合定义，不是函数； ④对于每一个x的值，函数y都有唯一值与之对应，符合定义，是函数； ⑤，对于每一个x的值，函数y都有两个值与之对应，不符合定义，不是函数； ⑥对于每一个x的值，函数y都有唯一值与之对应，符合定义，是函数； 2．（本题4分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点，，和，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的解析式为，根据直线经过二、三、四象限得到，随的增大而减小，结合一次函数性质和不等式推导逐一判断选项即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵直线经过二、三、四象限， ∴， ，随的增大而减小． A．∵，∴，故A错误； B．∵，∴，故B错误； C．∵，∴，故C错误； D．在直线上，∵，∴， 将点 和代入，得： ， 解得， 又时，代入解析式得，且 ，即 ， ∵， ∴ ，解得， 代入得， ∵，即 ，可得 ， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得 ， 整理得，故D正确． 3．（本题4分）已知点是直线（）上一点，下列四个点中有三个点在该直线上，则不在该直线上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质、求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质可得，再分别求出当选项中的点也在直线上时对应的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点是直线（）上一点， ∴， 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； ∴点，，都在直线上， ∴不在该直线上的点是． 故选：A． 4．（本题4分）已知直线经过点和，其中，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征得到，由题意可知，解得，且，故k的值可能是1． 【详解】解：∵直线经过点和， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得：， ∴且， ∴k的值可能是． 5．（本题4分）已知是直线上的三个点，当时，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据已知条件判断的正负，再根据横坐标的大小比较纵坐标的大小． 【详解】解：三个点横坐标分别为，满足，且已知， 对于直线，随的增大而减小， 可得． 又三个点横坐标大小关系为，且时随增大而减小， ． 6．（本题4分）已知直线，将它向左平移2个单位或者向上平移3个单位，都能经过点，则该直线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质得到直线向左平移2个单位或者向上平移3个单位后的解析式，再将点分别代入平移后的解析式得到关于和的方程组，解方程组，从而求出该直线的解析式． 【详解】解：将直线向左平移2个单位后的解析式为， 将点代入得：， 将直线向上平移3个单位后的解析式为， 将点代入得：， 联立， 解得：， 直线解析式为． 7．（本题4分）如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先把代入求出k的值，再求出点B的坐标，然后结合图象求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴由图象可知，关于的不等式组的解集是． 8．（本题4分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为，两车之间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示．其中正确的结论有（  ） 现有以下个结论： 快递车到达乙地时两车相距； 甲、乙两地之间的距离为； 快递车从甲地到乙地的速度为； 图中点的坐标为． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象可得快递车到达乙地时两车相距，即可判断；根据甲、乙两地之间的距离为，即可判断；设快递车从甲地到乙地的速度为，则，求出，即可判断；由于快递车到达乙地后卸完物品后再另装货物用了分钟，即可判断． 【详解】解：根据图象可得快递车到达乙地时两车相距，故正确； 甲、乙两地之间的距离为，故正确； 设快递车从甲地到乙地的速度为， 则， 解得，故错误； 因为快递车到达乙地后卸完物品再另装货物用了， 所以图中点的横坐标为，纵坐标为，故正确， 综上可得：正确的结论为． 9．（本题4分）已知一次函数的图象经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为5，则一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确求得与轴的交点坐标是关键． 设一次函数与轴的交点是，根据三角形的面积公式即可求得的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴， 设一次函数与轴的交点是， 则， 解得：． 把代入，， 解得：， 则函数的解析式是； 把代入，， 解得：， 则函数的解析式是； 故选：D. 10．（本题4分）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿路线做匀速运动，图2是运动过程中的面积与点运动的路程之间的函数图象，当是直角三角形时，下列路程错误的是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】分别判断出点在线段、、上运动时，的面积的变化趋势，对应函数图象求出线段、的长，在判断点在哪条线段上运动时是直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：①当点在线段上运动时， 的面积随着点运动的路程的增大而增大； ②当点在线段上运动时， 的面积保持不变； ③当点在线段上运动时， 的面积随着点运动的路程的增大而减小； 由函数图象可得，，， ． 当点在线段和线段上运动时，是直角三角形， 当，时，是直角三角形． 只有B选项不在此范围内． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用．小东制作了一个简单的漏刻模型，并发现每分钟水位上升的高度相同，水位的高度和时间之间存在如下表所示的关系，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定时对应的水位为_________． 时间 1 2 3 4 5 水位 2.4 2.8 3.2 3.4 4.0 【答案】5.2 【分析】根据“每分钟水位上升的高度相同”这一条件，判断出记录错误的数据，然后根据规律求出分钟时对应的水位即可． 【详解】解：当到时，水位上升高度为， 当到时，水位上升高度为， 当到时，水位上升高度为， ∵每分钟水位上升的高度相同，为， ∴时出现错误，应为， ∴时，可得， 答：时对应的水位为． 12．（本题5分）若一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，且图象不经过第四象限，则点A的坐标为________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 由点在轴上，代入函数解析式求得的值，再根据图象不经过第四象限的条件确定的值，最后求轴交点坐标． 【详解】解：∵函数图象与轴交于点， ∴当时，， 解得或． 当时，，一次函数过第一、二、三象限，图象不经过第四象限，符合题意； 当时，，一次函数过第一、二、四象限，图象经过第四象限，不符合题意； 故，一次函数解析式为， 令，得， 解得． ∴点坐标为． 故答案为：． 13．（本题5分）已知点，，均在直线的图象上，则、、的大小关系为_________（用>号连接） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再结合三个点的纵坐标大小，即可得到横坐标，，的大小关系． 【详解】解：对于一次函数， 由一次项系数， 根据一次函数的性质可得，随的增大而减小， 已知点，，在该直线上，三个点的纵坐标满足， 因此对应的横坐标满足． 14．（本题5分）关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一次函数的概念，图像和性质，熟知一次函数的图像和性质是解题的关键．对于函数，结合k的取值情况依次判断即可． 【详解】解：①当时，函数为，是常数函数，不是一次函数，故①错误； ②当时，，所以函数图像必经过点，故②正确； ③当时，函数为，符合正比例函数定义，故③正确； ④当时， ， ，函数图像经过第二、三、四象限，故④正确； ⑤随的增大而减小时，需，即，但结论为，故⑤错误． 故答案为：②③④． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图．经测试，在用快速充电器为手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：min）之间的关系如表格所示． 充电时间t/min 0 10 20 30 40 50 … 手机电量E% 20 28 36 44 52 60 … (1)写出E与t之间的关系式________； (2)若电量充到，请求出充电时间； (3)若充电时间为，求此时手机充电充了多少电量？ 【答案】(1) (2) (3)充了电量 【分析】（1）根据表格可知每充电，其电量E增加，据此即可得到答案； （2）把代入（1）中的函数关系式即可求出答案； （3）求出时的函数值，即求出答案． 【详解】（1）解：由表格数据知，用快速充电器给该手机充电，每充电，其电量E增加，即每充电，其电量E增加， ∴E与t之间的关系式为 （2）解：当时，， 得； （3）解：当时，， ， 所以充了电量． 16．（本题8分）一次函数，求： (1)m为何值时，y随x增大而增大？ (2)m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？ (3)若，时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据一次函数性质得，然后解不等式； （2）根据一次函数图象与系数的关系得到，，然后解两个不等式； （3）先确定一次函数解析式，然后利用x轴和y轴上点的坐标特征求一次函数与坐标轴的交点坐标，从而利用三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：当时，即， y随x的增大而增大； （2）解：当，时， 即，，函数图象与y轴的交点在x轴下方； （3）解：，， 一次函数为， 当时，，则一次函数与y轴的交点为； 当时，，解得，则一次函数与x轴的交点坐标为， ∴一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积：． 17．（本题8分）已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求x的取值范围， 【答案】(1) (2)一次函数图象，如图所示： (3) 【分析】（1）根据一次函数不经过第三象限，列出关于的不等式组，再结合m为正整数即可求解； （2）根据一次函数解析式，描点和连线即可； （3）由函数图象，随增大而减小，令时，，令时，，即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象不经过第三象限， ，解得， m为正整数， ； （2）解：由（1）得一次函数， 令，则；令，则， 一次函数过点和， 在直角坐标系中描出点和，过这两点作直线即可． （3）解：一次函数， 由（2）一次函数图象可知，随着增大而减少， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴当时，x的取值范围为． 18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与轴交于点，直线与直线交于点，已知点的横坐标为1，点是轴正半轴上一点，且满足． (1)求直线和直线的函数表达式； (2)求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）根据条件先求出点和点的坐标，再根据面积关系，求出点D的坐标． 【详解】（1）解：将点代入得，解得， ∴直线的函数表达式是； ∵点的横坐标为1，且点在直线上， ∴将代入得， ∴， 将点代入得， ∴直线的函数表达式为； （2）∵直线与轴交于点， ∴将代入，得，解得， ∴， ∵点是轴正半轴上一点， ∴设， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 19．（本题10分）2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号高端智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 3 2 290 1 4 230 信息二： A型机器人每台每天可分拣快递30万件， B型机器人每台每天可分拣快递25万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，费用不超过550万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为70万元，B型智能机器人的单价为40万元 (2)该企业需要购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组解方程即可求解； （2）根据题意列一元一次不等式，解不等式可得未知数的取值范围，利用一次函数因变量随自变量的变化趋势即可求解最大值． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：A型智能机器人的单价为70万元，B型智能机器人的单价为40万元． （2）解：设该企业需要购买A型智能机器人台，则需要购买B型智能机器人台， 由题意，得， 解得， 又因为为非负整数， 所以且为整数， 设每天分拣快递万件， 则， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，最大，此时， 答：该企业需要购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多． 20．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与过点的直线相交于点，与x轴相交于点B． (1)求直线所对应的函数解析式； (2)结合图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由图象可得，当时，直线在直线下方，由此即可得出结果； （3）求出，得到，再由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将点代入直线得， ∴， 将，代入直线得， 解得， ∴直线所对应的函数解析式为    ； （2）解：结合图象，不等式的解集为； （3）解：在直线中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴的面积． 21．（本题12分）如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示． (1)直接写出　　　，　　　，　　　； (2)求长方形的长； (3)求当时，S与运动时间t的关系式． 【答案】(1)1，4，9 (2)6 (3)． 【分析】（1）由函数图象可知，当时，点的速度为每秒2个单位，而当时，的面积为8，当时，的面积为12，可列方程，解方程求得；可由求得；当时，点的速度为每秒2单位，而当时，的面积为4，当时，的面积为12，可列方程，解方程求得； （2）由函数图象可知，当时，的面积不变，可知此时点在边上运动，由点与点重合时，的面积为12得，可求得，所以长方形的长为6； （3）分四种情况求出关系式即可． 【详解】（1）解：由函数图形可得：当时，点的速度为每秒2个单位，而当时，的面积为8，当时，的面积为12， ∴，解得； 当时，点的速度为每秒m个单位，当时，的面积为8， ∴，解得； 当时，点的速度为每秒2单位，而当时，的面积为4，当时，的面积为12， ∴，解得； 故答案为：1，4，9； （2）解：由函数图象可知，当时，的面积为定值， 当点从点运动到点时，的面积为12， ， ， 长方形的长为6； （3）解：当时，点在边上，速度，， ； 当时，点在边上，速度为2， ， ； 当时，点在边上， 的高始终为， ； 当时，点在边上，速度为2， 点到的距离为， ； 综上所述，与之间的函数关系式为． 【点睛】此题考查根据图形的面积求函数关系式以及数形结合与分类讨论数学方法的运用等知识与方法，此题难度较大，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． 22．（本题12分）项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“帮小明妈妈选择更合适的手机资费套餐”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 A 元 分钟 元/ 元/分钟 B 元 分钟 元/ 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究每月手机资费与流量的关系： ①小明妈妈月份的通话时长为分钟，使用流量，若使用A套餐，这个月她的手机资费是___________元； ②根据函数的概念，综合实践小组首先将问题中的两个变量分别设为自变量和自变量的函数，请你帮小明写出：表示问题中的___________，表示问题中的___________，并求出A套餐和B套餐分别对应的函数解析式 (2)图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出A套餐和B套餐所对应函数的图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． (3) 应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出套餐选用建议． 【答案】(1)①180；②每月手机流量，每月手机资费；； (2) (3)解：当每月使用流量不足时，使用A套餐，当每月使用流量等于时，使用A套餐和B套餐均可以，当每月使用流量超过时，使用B套餐． 【分析】（1）①用月费流量超出费计算即可；②根据表格提供的信息，列出函数解析式即可； （2）根据函数解析式画图即可； （3）结合函数图象提出建议即可． 【详解】（1）解：①小明妈妈月份的通话时长为分钟，使用流量，若使用套餐，这个月她的手机资费是（元）； ②表示问题中的每月手机流量，表示问题中的每月手机资费， 当时，；当时，； 则； 当时，；当时，， 则； （2）解：当时，；当时，； 当时，；当时，； 函数图象如答图； （3）略 23．（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线相交于点，且（点在轴负半轴）． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）根据点D的坐标求出的长，进而求出的长，据此得到点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两条直线求解即可； （3）求出点B和点E的坐标，则可求出，进而求出，再分两种情况：点P在x轴上和点P在y轴上，根据三角形的面积公式讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 把点的坐标代入得，， 解得； （2）解：由（1）知，， 直线与直线相交于点， 联立得，， 解得， ； （3）解：， 当时，， ， ，， ， ， 当点在轴上时，则， ， ， 点的横坐标为或点的横坐标为， 点的坐标为或； 当点在轴上时，则， ， ， 点的纵坐标为或点的纵坐标为， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第12章 函数与一次函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）有以下关于的等式及图像：①；②；③；④； ⑤，⑥ 其中y是x的函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（本题4分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点，，和，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）已知点是直线（）上一点，下列四个点中有三个点在该直线上，则不在该直线上的点是（   ） A． B． C． D． 4．（本题4分）已知直线经过点和，其中，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（本题4分）已知是直线上的三个点，当时，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 6．（本题4分）已知直线，将它向左平移2个单位或者向上平移3个单位，都能经过点，则该直线的解析式是（     ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 8．（本题4分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为，两车之间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示．其中正确的结论有（  ） 现有以下个结论： 快递车到达乙地时两车相距； 甲、乙两地之间的距离为； 快递车从甲地到乙地的速度为； 图中点的坐标为． A． B． C． D． 9．（本题4分）已知一次函数的图象经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为5，则一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D．或 10．（本题4分）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿路线做匀速运动，图2是运动过程中的面积与点运动的路程之间的函数图象，当是直角三角形时，下列路程错误的是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用．小东制作了一个简单的漏刻模型，并发现每分钟水位上升的高度相同，水位的高度和时间之间存在如下表所示的关系，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定时对应的水位为_________． 时间 1 2 3 4 5 水位 2.4 2.8 3.2 3.4 4.0 12．（本题5分）若一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，且图象不经过第四象限，则点A的坐标为________________． 13．（本题5分）已知点，，均在直线的图象上，则、、的大小关系为_________（用>号连接） 14．（本题5分）关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是___________．（填序号） 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图．经测试，在用快速充电器为手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：min）之间的关系如表格所示． 充电时间t/min 0 10 20 30 40 50 … 手机电量E% 20 28 36 44 52 60 … (1)写出E与t之间的关系式________； (2)若电量充到，请求出充电时间； (3)若充电时间为，求此时手机充电充了多少电量？ 16．（本题8分）一次函数，求： (1)m为何值时，y随x增大而增大？ (2)m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？ (3)若，时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积． 17．（本题8分）已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求x的取值范围， 18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与轴交于点，直线与直线交于点，已知点的横坐标为1，点是轴正半轴上一点，且满足． (1)求直线和直线的函数表达式； (2)求点D的坐标． 19．（本题10分）2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号高端智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 3 2 290 1 4 230 信息二： A型机器人每台每天可分拣快递30万件， B型机器人每台每天可分拣快递25万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，费用不超过550万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 20．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与过点的直线相交于点，与x轴相交于点B． (1)求直线所对应的函数解析式； (2)结合图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 21．（本题12分）如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示． (1)直接写出　　　，　　　，　　　； (2)求长方形的长； (3)求当时，S与运动时间t的关系式． 22．（本题12分）项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“帮小明妈妈选择更合适的手机资费套餐”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 A 元 分钟 元/ 元/分钟 B 元 分钟 元/ 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究每月手机资费与流量的关系： ①小明妈妈月份的通话时长为分钟，使用流量，若使用A套餐，这个月她的手机资费是___________元； ②根据函数的概念，综合实践小组首先将问题中的两个变量分别设为自变量和自变量的函数，请你帮小明写出：表示问题中的___________，表示问题中的___________，并求出A套餐和B套餐分别对应的函数解析式 (2)图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出A套餐和B套餐所对应函数的图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． (3) 应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出套餐选用建议． 23．（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线相交于点，且（点在轴负半轴）． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第12章 函数与一次函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）有以下关于的等式及图像：①；②；③；④； ⑤，⑥ 其中y是x的函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（本题4分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点，，和，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）已知点是直线（）上一点，下列四个点中有三个点在该直线上，则不在该直线上的点是（   ） A． B． C． D． 4．（本题4分）已知直线经过点和，其中，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（本题4分）已知是直线上的三个点，当时，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 6．（本题4分）已知直线，将它向左平移2个单位或者向上平移3个单位，都能经过点，则该直线的解析式是（     ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 8．（本题4分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为，两车之间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示．其中正确的结论有（  ） 现有以下个结论： 快递车到达乙地时两车相距； 甲、乙两地之间的距离为； 快递车从甲地到乙地的速度为； 图中点的坐标为． A． B． C． D． 9．（本题4分）已知一次函数的图象经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为5，则一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D．或 10．（本题4分）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿路线做匀速运动，图2是运动过程中的面积与点运动的路程之间的函数图象，当是直角三角形时，下列路程错误的是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用．小东制作了一个简单的漏刻模型，并发现每分钟水位上升的高度相同，水位的高度和时间之间存在如下表所示的关系，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定时对应的水位为_________． 时间 1 2 3 4 5 水位 2.4 2.8 3.2 3.4 4.0 12．（本题5分）若一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，且图象不经过第四象限，则点A的坐标为________________． 13．（本题5分）已知点，，均在直线的图象上，则、、的大小关系为_________（用>号连接） 14．（本题5分）关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是___________．（填序号） 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图．经测试，在用快速充电器为手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：min）之间的关系如表格所示． 充电时间t/min 0 10 20 30 40 50 … 手机电量E% 20 28 36 44 52 60 … (1)写出E与t之间的关系式________； (2)若电量充到，请求出充电时间； (3)若充电时间为，求此时手机充电充了多少电量？ 16．（本题8分）一次函数，求： (1)m为何值时，y随x增大而增大？ (2)m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？ (3)若，时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积． 17．（本题8分）已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求x的取值范围， 18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与轴交于点，直线与直线交于点，已知点的横坐标为1，点是轴正半轴上一点，且满足． (1)求直线和直线的函数表达式； (2)求点D的坐标． 19．（本题10分）2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号高端智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 3 2 290 1 4 230 信息二： A型机器人每台每天可分拣快递30万件， B型机器人每台每天可分拣快递25万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，费用不超过550万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 20．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与过点的直线相交于点，与x轴相交于点B． (1)求直线所对应的函数解析式； (2)结合图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 21．（本题12分）如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示． (1)直接写出　　　，　　　，　　　； (2)求长方形的长； (3)求当时，S与运动时间t的关系式． 22．（本题12分）项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“帮小明妈妈选择更合适的手机资费套餐”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 A 元 分钟 元/ 元/分钟 B 元 分钟 元/ 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究每月手机资费与流量的关系： ①小明妈妈月份的通话时长为分钟，使用流量，若使用A套餐，这个月她的手机资费是___________元； ②根据函数的概念，综合实践小组首先将问题中的两个变量分别设为自变量和自变量的函数，请你帮小明写出：表示问题中的___________，表示问题中的___________，并求出A套餐和B套餐分别对应的函数解析式 (2)图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出A套餐和B套餐所对应函数的图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． (3) 应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出套餐选用建议． 23．（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线相交于点，且（点在轴负半轴）． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $