精品解析：黑龙江哈尔滨市德强学校2026-2027学年上学期八年级9月学情检测数学试卷

德强学校2026—2027（上）八年级九月学情检测 数学试卷 （总分：120分 总时间：120分钟） 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　） A. B. C. D. 8. 如果，那么代数式的值是（ ） A. －5 B. 5 C. 3 D. －3 9. 如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（ ） A. 三角形最长的边的中点处 B. 三角形三条中线的交点处 C. 三角形三条高线的交点处 D. 三角形三条角平分线的交点处 10. 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②；③；④和面积相等．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每题3分，共30分） 11. 计算：________． 12. 已知m＋n＝3，m－n＝2，则________． 13. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，若的面积是，则的面积是____________． 14. 一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为______． 15. 在中，，则的度数为__________ ． 16. 如图，在中，，点D为边上一动点，将沿着直线对折得到．若，则的度数为____________． 17. 如图，在与中，，，，与相交于点，若，，则的度数为________． 18. 计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 19. 如图，，，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，且始终保持，当点运动________秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 20. 如图，在中，交于，平分交于，为延长线上一点，交的延长线于点，交的延长线于点，的延长线交于点，连，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有________． 三．解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分，共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中，． 23. 如图是一张方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．已知中的点、点、点都在网格格点上． （1）在图中的格点上确定一点，连接，，使； （2）在图中做出的中线（保留作图痕迹）． （3）直接写出的面积． 24. 如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 年月日哈尔滨宣告解放，是东北解放的标志性胜利．为纪念哈尔滨解放周年，德强学校团委组织开展演讲大讲堂活动，并为参加演讲的学生发放了A，B两种纪念品．若购买个A种纪念品和个B种纪念品共需元；购买个A种纪念品和个B种纪念品的费用相同． （1）求A、B两种纪念品的销售单价各是多少元； （2）已知报名参加演讲的同学共人，若每名同学只获得一个纪念品，要购买A，B两种纪念品的总费用不超过元，则至少购买多少个A种纪念品？ 26. 如图，，，． （1）求证：； （2）如图，延长、交于点，连接，若，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，连接、，取的中点，连接交于，若，，求的长． 27. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，为轴正半轴上一点，连接，． （1）求点的坐标： （2）如图，为轴负半轴上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，用含的式子表示（不用写出的取值范围）； （3）如图，在（2）的条件下，为轴负半轴上左侧一点，连接，过作，连接，，，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德强学校2026—2027（上）八年级九月学情检测 数学试卷 （总分：120分 总时间：120分钟） 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边满足任意两边之和大于第三边来进行判断． 【详解】A.，不能组成三角形，不符合题意； B.,能组成三角形，符合题意； C.，不能组成三角形，不符合题意； D.，不能组成三角形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除、合并同类项的法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故A选项运算错误，不符合题意； B、，故B选项运算错误，不符合题意； C、，故C选项计算正确，符合题意； D、，故D选项运算错误，不符合题意． 3. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 4. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和为即可求解． 【详解】解：，， ． 5. 如图，，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，先由三角形内角和定理求出的度数，再由全等三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，理解题意，结合图形分情况分析求解即可． 【详解】解：是边的中点， ． （1）如图①，当时， 即当时，； （2）如图②，当， 即时，． 综上所述，腰长为或． 故选C． 7. 如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据，，判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 8. 如果，那么代数式的值是（ ） A. －5 B. 5 C. 3 D. －3 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得，再将所求代数式去括号化简后，将整体代入即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了已知式子的值求解代数式的值以及完全平方公式的知识，掌握将将整体代入计算，是解答本题的关键． 9. 如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（ ） A. 三角形最长的边的中点处 B. 三角形三条中线的交点处 C. 三角形三条高线的交点处 D. 三角形三条角平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的交点处． 10. 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②；③；④和面积相等．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定．根据“边角边”证明，可推出，，可判断①②③正确，根据三角形中线的性质可判断④正确． 【详解】解：是的中线， ，和面积相等．故④正确； 在和中， ，故①正确； ，，故②正确； ，故③正确； 综上可知，正确的有4个， 故选：D． 二．填空题（每题3分，共30分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知m＋n＝3，m－n＝2，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平方差公式（m＋n）（m−n）＝m2−n2代入数值即可． 【详解】解：∵m＋n＝3，m−n＝2， ∴（m＋n）（m−n）＝m2−n2＝3×2＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握（a＋b）（a−b）＝a2−b2是解题的关键． 13. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，若的面积是，则的面积是____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线，的面积是， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故答案为：1． 14. 一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形的第三边长是，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：设三角形的第三边长是， 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∵三角形三边均为整数， ∴三角形第三边的最大值为6． 故答案为：． 15. 在中，，则的度数为__________ ． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理．根据三角形的内角和定理，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：50. 16. 如图，在中，，点D为边上一动点，将沿着直线对折得到．若，则的度数为____________． 【答案】##54度 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 依据角的和差关系即可得到的度数，再根据折叠的性质即可得到的度数． 【详解】解：，， ， 由折叠可得， ， 故答案为：． 17. 如图，在与中，，，，与相交于点，若，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得到，，则可证明；设交于点O，根据三角形内角和定理可证明． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， ∵， ∴， ∴． 18. 计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 【答案】 【解析】 【分析】阴影部分可以分割成三个长方形，其中两个长方形相同，长为，宽为a，另外那个长方形的长为，宽为b，据此结合长方形的面积公式求解即可． 【详解】解： ， ∴阴影部分的面积为． 19. 如图，，，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，且始终保持，当点运动________秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 【答案】1秒或2秒 【解析】 【分析】分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， 设点运动秒时，与以点，，为顶点的三角形全等，分两种情况： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； 综上：当点运动秒或2秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 20. 如图，在中，交于，平分交于，为延长线上一点，交的延长线于点，交的延长线于点，的延长线交于点，连，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的平分线性质进行求解判断即可． 【详解】解：，，， ， 又∵， ， 从现有条件无法得出， 无法得出， 故①错误； ， ， ， ， 故②正确； 平分， 点到，的距离相等，都设为， ， 故③正确． 在和中， ， ， 故④正确； 综上：正确的是②③④． 三．解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分，共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可得出结果； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 23. 如图是一张方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．已知中的点、点、点都在网格格点上． （1）在图中的格点上确定一点，连接，，使； （2）在图中做出的中线（保留作图痕迹）． （3）直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和网格的特点作图即可； （2）取格点M、N，连接交于点E，连接，可证明得到，则即为所求； （3）求出的面积，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∵是的中线， ∴． 24. 如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得，再证明，即可得证； （2）证明，得出，设，则，表示出，，从而可得，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解；在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 25. 年月日哈尔滨宣告解放，是东北解放的标志性胜利．为纪念哈尔滨解放周年，德强学校团委组织开展演讲大讲堂活动，并为参加演讲的学生发放了A，B两种纪念品．若购买个A种纪念品和个B种纪念品共需元；购买个A种纪念品和个B种纪念品的费用相同． （1）求A、B两种纪念品的销售单价各是多少元； （2）已知报名参加演讲的同学共人，若每名同学只获得一个纪念品，要购买A，B两种纪念品的总费用不超过元，则至少购买多少个A种纪念品？ 【答案】（1）A、B两种纪念品的销售单价分别为元和元 （2）至少购买48个A种纪念品 【解析】 【分析】（1）设A、B两种纪念品的销售单价分别为元和元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个A种纪念品，根据题意列出不等式进行求解即可. 【小问1详解】 解：设A、B两种纪念品的销售单价分别为元和元， 由题意，得， 解得， 答：A、B两种纪念品的销售单价分别为元和元. 【小问2详解】 解：设购买个A种纪念品，则购买个B种纪念品， 由题意，得， 解得； 答：至少购买48个A种纪念品. 26. 如图，，，． （1）求证：； （2）如图，延长、交于点，连接，若，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，连接、，取的中点，连接交于，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图2所示，过点A作于点G，交的延长线于点H， ∴ ； 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）12 【解析】 【分析】（1）证明，再证明，即可证明； （2）过点A作于点G，交的延长线于点H，证明，得到；证明，得到；证明，得到，则可证明，进而可证明； （3）延长到点Q，使得，连接，证明，得到，，则；证明，得到，，，可证明；设，则，；根据建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，延长到点Q，使得，连接， ∵点N为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； ∵ ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ， ∴； ∵， ∴可设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 27. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，为轴正半轴上一点，连接，． （1）求点的坐标： （2）如图，为轴负半轴上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，用含的式子表示（不用写出的取值范围）； （3）如图，在（2）的条件下，为轴负半轴上左侧一点，连接，过作，连接，，，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再结合三角形面积公式计算得出，即可得出结果； （2）表示出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果； （3）在轴的负半轴上取一点，使得，连接，证明，得出，，再证明，得出，从而得解． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为轴正半轴上一点， ∴； 【小问2详解】 解：∵为轴负半轴上一点，点的横坐标为， ∴，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在轴的负半轴上取一点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $