精品解析：黑龙江齐齐哈尔市龙江县第三中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026－2027学年度上学期教学质量测查八年级数学试题 一、单选题． 1. 根据下列条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法以及三角形三边的关系，逐项判断即可作答． 【详解】A、，，则第三边范围为：，故不能画出唯一的，故本项不符合题意； B、根据“”可以证明三角形全等，即根据，，可以画出唯一的，故本项符合题意； C、根据，，不能画出唯一的，故本项不符合题意； D、无法根据“”可以证明三角形全等，即根据，，，不能画出唯一的，故本项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定方法以及三角形三边的关系等知识，掌握全等三角形的判定方法，是解答本题的关键． 2. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边长， 即第三边长， 观察4个选项，则第三边长可能是， 故选：A． 3. 如图，已知，，，那么，的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫作三角形的重心 B. 三角形的中线是射线 C. 三角形的三条高一定交于三角形内部一点 D. 三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，都是需要熟记的内容． 根据三角形的中线，角平分线的性质即可作出判断． 【详解】解：A．三角形的三条中线相交于一点，这个点叫作三角形的重心，故选项错误； B．三角形的中线是线段，故选项错误； C．直角三角形的三条高线的交点是三角形的直角顶点，在三角形的边上，故选项错误； D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，故选项正确． 故选：D． 5. 如图，将一等腰放置在坐标系中，直角顶点坐标为，另两顶点A、B分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．过点C作轴于点D，过点C作轴于点E，根据题意得出，证明，推出，再根据，求出，进而求出，即可得出点的坐标． 【详解】解：过点C作轴于点D，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∵等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：D． 6. 如图，在中，，，，，边上的高长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键； 由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】 ， ， 故选：D 7. 小明在做一个角等于已知角时，做法如下： （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （2）作一条射线，以点为圆心，为半径作弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点； （4）过点作射线． 由此可得，其依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图，熟练掌握不同三角形全等的判定条件是解决本题的关键． 由基本作图得到，，根据“”可证明，然后根据全等三角形的性质得到，即． 【详解】解：由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选D． 8. 如图，中，于平分，且于，与相交于点于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及三角形三边关系，根据，可得出，利用判定，从而得出，．则，即；再利用判定，得出，又因为，所以，连接．因为是等腰直角三角形，即．又因为，那么垂直平分．即．在中，是斜边，是直角边，所以．即． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形． ∴．故①正确； 在和中， ∵，，且， ∴． 又∵，， ∴． ∴；． ∵， ∴；故②正确； 在和中 ∵平分， ∴． 又∵，， ∴． ∴． 又由（2），知， ∴；故③正确； 连接，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴垂直平分． ∴， 在中， ∵是斜边，是直角边， ∴． ∵， ∴．故④正确． 则正确的选项有①②③④； 故选：D． 9. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，综合性强，难度较大﹒根据角平分线的定义得到，根据“”即可证明；根据，得到，证明，结合，即可证明；根据，证明，得到，进而证明，根据得到，从而证明，即可证明；根据为的角平分线，，而不垂直于，即可得到，问题得解﹒ 【详解】解：∵为的角平分线，， ∴， 在和中， ∴， 故A选项正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, 故B选项正确； ∵， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故D选项正确； ∵为的角平分线，，而不垂直于， ∴， 故C选项错误﹒ 故选：C 10. 如图，点，，在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确的结论序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点作，交于点，延长交的延长线于点，可知四边形为矩形，从而，可得①②正确；在中，，可得，故③正确； 【详解】解：如图，过点作，交于点；延长交的延长线于点； ， ∴四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， 是直角三角形， 故①； ， 故②正确； ∵在中， ， 故③正确． 故①②③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练运用这些知识解决问题是解题的关键． 二、填空题 11. 如图，在中，平分，，，垂足分别为E、F，若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，即可作答． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 故答案为：4 12. 如图，△ABC中，，平分，，垂足为D，如果，，那么的长为________； 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，首先根据线段的和差得到，然后根据角平分线的性质定理求解即可，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，，，若，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，由，，得，，过作轴于点，根据同角的余角相等得，证明，由全等三角形的性质得，，最后线段和差得，从而求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算_______． 【答案】##56度 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得出，得出的度数，由角平分线的定义求出的度数，再由垂直平分线的性质得出的度数，根据直角三角形两锐角互余得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：如图，设角平分线与垂直平分线交于点，垂直平分线与交于点． 四边形是矩形，  ，  ，  由作法可知，是的平分线，  ，  由作法可知，是线段的垂直平分线，  ，  ，  ． 15. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点交于点F．给出下面5个结论：①；②；③；④；⑤若，则是的高．其中正确结论的序号是_____ 【答案】②③④⑤ 【解析】 【分析】利用中线的性质判断①，利用角平分线和三角形外角定理即可判断②，作的角平分线交于点，根据三角形全等判断③，④，延长到，使，连接，根据三角形全等和等腰三角形的性质判断⑤． 【详解】①当是的中线时，，而题中只能确定平分，无法得出是的中线，故①错误； 在中，， ， 平分， 平分， ， ， 为的外角， ，故②正确； 如图，作的角平分线交于点， 由②可知，， ， ， 在与中， ， ≌ ， 在与中， ， ≌ ， ， ， ，故④正确， 由④可知，为的角平分线， ， ， ≌ ，≌ ， ，故③正确， 如图，延长到，使，连接， ， ， 在与中， ， ≌， ， 平分， ， ， 为等腰三角形， ， ，即是的高，故⑤正确， 正确的有②③④⑤． 故答案为：②③④⑤． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，中线的性质，熟练地利用角平分线作辅助线，构建三角形全等是解题的关键． 16. 在如图所示的中，已知点、、分别为、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵点D、E、F分别为、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为4； 故答案为：4 三、解答题 17. 如图，在四边形中，，连接，若．求证：． 【答案】 证明： ， 与为直角三角形． 在与中 ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据全等三角形的判定定理，由，，以及公共边利用“斜边直角边”定理来证明． 【详解】略 18. 如图在和中，，，． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并证明． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2） ，证明如下： 延长交于点G， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证得，即可得出结论； （2）延长交于点G，由（1）得，则，再由，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：∵， ∴ （ ）， ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∵（ ）， ∴ ． ∴． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；三角形内角和定理；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直 【解析】 【分析】由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，即可证明，由以上证明即可得到一个真命题． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵平分，平分， ∴，． ∴， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． ∴． 命题为：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 20. 综合与实践 【问题情境】如图1，，和的平分线交于点，过点作直线分别交，于，两点，若，求证：． 【深入探究】当与不垂直，其它条件不变时，如图2，还成立吗？请判断并说明理由． 【拓展应用】当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点作，交于，若，，求的长． 【答案】 （1）证明：作于点E． ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点P， ∴， ∴； （2）解：成立．理由如下： 延长交于点F． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵平分， ∴． 在和中 ， ∴． ∴； （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是作出合适的辅助线，并熟练应用角平分线的性质解决问题． （1）作于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论； （2）延长交于点F，根据角平分线的性质和平行线的性质得，再得即可得证； （3）根据平行线的性质得，则，同理得，再由，得，则有，由此求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 同理． ∴． 由（2）可知，， ∴． ∴． ∴． 21. 如图1，小朋友在荡秋千．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离（于点），当他从处摆动到处时，测得点到的距离（于点），已知秋千的绳长固定不变（即），求的长度． 【答案】的长度是 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握去全等三角形的判定和性质是解题关键．证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 和均为直角三角形． 在和中， ，， ， ， ， ， 即的长度是． 22. （1）情境观察： 如图①，中，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你直接写出的长 ． 【答案】 （1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）与之间的数量关系为；理由如下： 如图②，延长交于点G， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，由，得，即可证明； （2）延长交于点G，先证明，得，再证明，则； （3）作交于点L，延长交于点H，先证明，得，再证明，则． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图③，作交于点L，延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的长是． 故答案为：． 【点睛】本题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、同角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 23. 将两个等腰直角与如图放置，． （1）如图1，若点A、E、F三点共线时，交线段于点，点是线段上的点，满足，，求的度数； （2）当绕着点顺时针旋转至如图时，分别连接，，若点是线段的中点，连接，求证：； （3）当绕着点顺时针旋转至如图时，分别连接，，若点是线段的中点，，，，四边形面积为时，直接写出点到的距离． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，延长到点，使，连接， 点是线段的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）由，，，得，由，得，则，所以． （2）延长到点，使，连接，可证明，得，，所以，，可证明，进而证明，得，因为，所以． （3）延长到点，使，连接，则，而，所以，可证明，作交的延长线于点，可求得，，，进而建立方程，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ， 点、、三点共线， ， ，， ， ， ， 的度数是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点到的距离是， 理由：如图，延长到点，使，连接，则， 点是线段的中点， ， ， ， ， 由（）得， ， ， 作交的延长线于点， ，，，，， ， ，， ， ， 解得， 点到的距离是． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度上学期教学质量测查八年级数学试题 一、单选题． 1. 根据下列条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ，， 2. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，，那么，的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫作三角形的重心 B. 三角形的中线是射线 C. 三角形的三条高一定交于三角形内部一点 D. 三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形 5. 如图，将一等腰放置在坐标系中，直角顶点坐标为，另两顶点A、B分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，，边上的高长是（ ） A. B. C. D. 7. 小明在做一个角等于已知角时，做法如下： （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （2）作一条射线，以点为圆心，为半径作弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点； （4）过点作射线． 由此可得，其依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，于平分，且于，与相交于点于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 9. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点，，在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确的结论序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题 11. 如图，在中，平分，，，垂足分别为E、F，若，则______． 12. 如图，△ABC中，，平分，，垂足为D，如果，，那么的长为________； 13. 如图，，，若，，则点的坐标为______． 14. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算_______． 15. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点交于点F．给出下面5个结论：①；②；③；④；⑤若，则是的高．其中正确结论的序号是_____ 16. 在如图所示的中，已知点、、分别为、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为_____． 三、解答题 17. 如图，在四边形中，，连接，若．求证：． 18. 如图在和中，，，． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并证明． 19. 填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：∵， ∴ （ ）， ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∵（ ）， ∴ ． ∴． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ． 20. 综合与实践 【问题情境】如图1，，和的平分线交于点，过点作直线分别交，于，两点，若，求证：． 【深入探究】当与不垂直，其它条件不变时，如图2，还成立吗？请判断并说明理由． 【拓展应用】当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点作，交于，若，，求的长． 21. 如图1，小朋友在荡秋千．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离（于点），当他从处摆动到处时，测得点到的距离（于点），已知秋千的绳长固定不变（即），求的长度． 22. （1）情境观察： 如图①，中，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你直接写出的长 ． 23. 将两个等腰直角与如图放置，． （1）如图1，若点A、E、F三点共线时，交线段于点，点是线段上的点，满足，，求的度数； （2）当绕着点顺时针旋转至如图时，分别连接，，若点是线段的中点，连接，求证：； （3）当绕着点顺时针旋转至如图时，分别连接，，若点是线段的中点，，，，四边形面积为时，直接写出点到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $