精品解析：上海市上南中学2026-2027学年第一学期高一年级教学质量检测数学试卷

上海市上南中学2026学年第一学期高一年级教学质量检测 数学学科试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：袁甲 审题人：肖扬 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 集合，集合，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用并集的定义求解即可. 【详解】已知集合，集合，所以. 2. 用列举法表示集合_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得或，解之即可求解. 【详解】因为， 所以或，解得或0或2或3， 即. 故答案为： 3. 不等式的解集是_____. 【答案】 【解析】 【详解】解不等式，得或，所以所求解集为. 4. 不等式的解集是_____. 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 解得. 不等式的解集是. 5. 已知全集，集合，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 6. 设集合，若，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用交集的结果求解并验证即得. 【详解】由，则，解得， 当时，，即，根据集合元素的互异性知，此时不符合， 当时，，此时，符合题意， 故答案为：. 7. 已知集合，集合，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据列方程求出的值，结合元素的互异性进行取舍，得到最终结果. 【详解】根据，可知 ①若，解得， 当时，违背了元素的互异性，故舍去. 同理，当时，也舍去. ②若，解得或1（舍）， 当时，，， 满足，故符合题意. 故答案为：. 8. 已知，则函数的最小值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，则， 当且仅当，即时取到等号， 故最小值为7， 故答案为：7 9. 已知集合，集合，若集合M满足，则这样的集合M共有______个. 【答案】3 【解析】 【分析】根据集合的包含关系确定集合中一定含有的元素以及可能含有的元素，从而得到其个数． 【详解】因为集合，所以集合M中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素， 所以或或， 所以满足条件的M个数为3. 故答案为：3. 10. 已知p：或，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设集合或，，根据题意转化为是的真子集，列出不等式，即可求解. 【详解】设集合或，， 因为p是q的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11. 若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据韦达定理求的关系，再代入，转化为不含参的一元二次不等式求解. 【详解】由题意可知，，得，， 即，即， 解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为： 12. 若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围_____. 【答案】． 【解析】 【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相应不等式可得． 【详解】因为，则， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以不等式有解，即，解得或， 故答案为：． 二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举例即可判断ABC，根据不等式的性质即可判断D. 【详解】对于AB，当时，，故AB错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D. 14. 已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，， 故当时，易求； 当时，由得，或, 所以所有的取值构成的集合为， 故选：C. 15. 命题“”是命题“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，，所以， 故命题“”是命题“”的充分条件， 反之，当时，或， 故故命题“”是命题“”的非必要条件， 所以命题“”是命题“”的充分不必要条件. 故选：A 16. 当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（ ）. A. ①②④ B. ②③④ C. ①④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 三、解答题（本大题共52分，第17题10分，第18题10分，第19题10分，第20题10分，第21题12分） 17. （1）用反证法证明命题：“三角形内至少有一个角不小于”； （2）设，试比较与的大小. 【答案】（1）假设的三个内角都小于，即，，， 所以，这与三角形内角和等于矛盾. 故假设错误，即原命题成立. （2）. 【解析】 【详解】（1）略 （2） ， ，，， 故，即. 18. 已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）0或1 ；（2） 或． 【解析】 【分析】（1）中只有一个元素，说明方程有唯一解，根据是否为零分类讨论求解即可； （2）中至多有一个元素，则说明方程有一个解或无解，根据是否为零分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意． 当时，， 解得， 此时原方程为，即． 所以的值为0或1． （2）由（1）知当时，中只有一个元素． 当时，若中至多含有一个元素，则一元二次方程有一个解或无解，即解得，此时方程至多有一个解． 综上可知，的取值范围是或． 19. 某工厂拟建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为.如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元， （1）当池底的一边长为50米时，总造价为多少？ （2）怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】（1）元 （2）当水池池底为边长为的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价为元. 【解析】 【分析】（1）由题意分别求出池底和池壁的面积，从而求得池底和池壁的造价，相加求得总造价； （2）设池底的一边为，总造价为元，并用表示总造价，根据基本不等式求得的最小值及取最小值时的的值. 【小问1详解】 由题意，可得池底的面积为， 所以池底的造价为元； 当池底的一边长为米时，另一边长为. 所以池壁共有， 池壁的造价为元. 所以总造价为元. 【小问2详解】 设池底的一边长为，水池的总造价为元. 因为池底的面积为， 所以池底的另一边为， 所以. 因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 所以当水池池底为边长为的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价为元. 20. 已知. （1）当时，求时的取值范围； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，解一元二次不等式即可； （2）由一元二次不等式恒成立求出实数的范围. 【小问1详解】 当，时，则，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 ①当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； ②当，即时，不等式的解集为，即的解集为， 则有，即， 解得. 所以的取值范围是. 21. 已知，一个二次项系数为1的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足 （1）当时，直接写出该一元二次方程； （2）若，求的取值范围； （3）若为正整数，记集合，若，且中元素个数不超过4，求正整数的取值范围. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）求出，利用根与系数的关系可写出该一元二次方程； （2）分析可知，以及已知条件和，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）根据题意可得出，再由可得出的取值范围，确定正整数的可能取值，然后结合题意逐一检验即可. 【小问1详解】 当时，有， 则，所以， 所以这个一元二次方程为，即. 【小问2详解】 已知，由，得， 因为，可得， 因为，则，可得，则， 对于方程，，可得， 所以，解得或， 因此，实数的取值范围是或. 【小问3详解】 由，可得， 因为集合，，且中元素个数不超过4，则， 即，可得， 所以，所以，正整数的可能取值集合为， 当时，方程为，解得，，则，符合题意； 当时，方程为，解得，， 此时，，合乎题意. 综上所述，正整数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市上南中学2026学年第一学期高一年级教学质量检测 数学学科试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：袁甲 审题人：肖扬 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 集合，集合，则_____. 2. 用列举法表示集合_________. 3. 不等式的解集是_____. 4. 不等式的解集是_____. 5. 已知全集，集合，则_________． 6. 设集合，若，则________. 7. 已知集合，集合，若，则______. 8. 已知，则函数的最小值为________． 9. 已知集合，集合，若集合M满足，则这样的集合M共有______个. 10. 已知p：或，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为______. 11. 若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是______. 12. 若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围_____. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A. B. C. D. 15. 命题“”是命题“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 16. 当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（ ）. A. ①②④ B. ②③④ C. ①④ D. ①② 三、解答题（本大题共52分，第17题10分，第18题10分，第19题10分，第20题10分，第21题12分） 17. （1）用反证法证明命题：“三角形内至少有一个角不小于”； （2）设，试比较与的大小. 18. 已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围． 19. 某工厂拟建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为.如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元， （1）当池底的一边长为50米时，总造价为多少？ （2）怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 20. 已知. （1）当时，求时的取值范围； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围. 21. 已知，一个二次项系数为1的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足 （1）当时，直接写出该一元二次方程； （2）若，求的取值范围； （3）若为正整数，记集合，若，且中元素个数不超过4，求正整数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $