精品解析：上海市洋泾中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

上海市洋泾中学2028届高一年级第一学期12月 数学教学质量检测 （本试卷共19道试题，考试时间：90分钟，满分：100分） 一、填空题（第1-6题每题3分，第7-10题每题4分，满分34分） 1. 若，则的终边在第___________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】直接计算的范围即可得终边所在象限. 【详解】由，所以，所以的终边在第二象限. 故答案为：二. 2. 若，，则___________．（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先对集合进行分类讨论化简，再判断两个集合之间的关系即可. 【详解】对于， 当时，， 当时，， 化简得， 令，则， 与集合形式相同，故. 故答案为： 3. 已知幂函数的图像不经过原点，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及其性质求解. 【详解】由幂函数的定义及其性质可得，解得， 故答案为：. 4. 已知，且满足，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角差的余弦公式得，再根据角的范围求解. 【详解】根据题意，， 因为，则， 所以，则. 故答案为： 5. 已知是第三象限的角，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系建立方程组，进而求解即可. 【详解】因为是第三象限的角，所以， 因为，所以， 联立方程组，解得（正根舍去）， 故答案为： 6. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数定义域的基本要求可构造不等式组，解不等式组可求得结果. 【详解】根据题意，， 则， 解得或， 所以函数定义域为. 故答案为： 7. 函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调增区间为___________． 【答案】和 【解析】 【分析】先根据题意，得当时，函数的单调性，再根据奇偶性得当时，函数的单调性即可求解． 【详解】当时，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以当时，在上单调递减，单调递增， 又因为函数是定义在上的偶函数， 所以当时，在单调递减，在单调递增， 综上，函数在上的单调增区间为和． 故答案为：和． 8. 已知一元二次方程的两根有且只有一个在中，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数性质，以及零点存在定理，列出不等式，求出参数范围. 【详解】设函数，依题意，函数有两个零点，且在区间内有一个零点， 根据零点存在定理，可知需使，即， 化简得，解得， 当时，即，解得，此时方程有两根为1和3，符合条件； 当时，即，解得，此时方程有两根4和，不合题意. 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 9. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的值域为，知能取到所有正实数.分析和两种情况，可得实数的取值范围. 【详解】因为函数的值域为，所以能取到所有正实数. 若，则.当时，能取到所有正实数，满足题意； 若，要使能取到所有正实数，须使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 10. 对于函数，若存在实数使得，则称实数为的“不动点”．已知函数，若对任意的，函数恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知对任意的恒有两个不同的解，再根据根的判别式结合恒成立问题求解即可． 【详解】由题意可知，对任意的恒有两个不同的解， 即由，需使对任意的恒成立， 即关于的不等式对任意的恒成立 当时，，需使，解得，则； 当时，，需使，解得，则且． 综上，． 故答案为：． 二、选择题（每题4分，满分16分） 11. 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理和二分法，不断将区间一分为二后计算即可求得. 【详解】依题意，设函数在内的零点为； 因为，，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 即两次二分法后，函数零点所在的区间为. 故选：C. 12. 若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心角和面积可求半径和弧长. 【详解】设扇形的半径为，则，故， 故弧长为. 故选：B 13. 已知函数若恰有3个零点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将恰有3个零点，转化为函数的图象与直线恰有三个交点.作出函数的图象，结合图象分析零点的取值情况，由此得到的取值范围. 【详解】由恰有个零点，得方程有个实根， 即函数的图象与直线恰有三个交点. 函数在上单调递减，且当时，； 又，所以. 所以，所以； 由，得， 因为，所以，所以，即，. 所以. 因此，，即. 故选：C. 14. 已知函数，对于任意的实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先令得，再令得，从而，即的图象关于对称，进而利用对称性及的最小值求解的最大值即可. 【详解】令，得，所以， 令，得，所以， 所以， 所以函数的图象关于对称， 故由的最小值为，得的最大值为. 故选：A 三、解答题（共5题，总分50分） 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，为角终边上的一点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义求得，代入求值； （2）由诱导公式化简，代入求值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以 . 【小问2详解】 16. 设是定义在R上的奇函数，且对于任意的实数，恒有．当时，． （1）求证：是周期函数，并指出其最小正周期； （2）求方程在区间上解的个数． 【答案】（1）证明： 因为，所以， 故是一个周期为6的周期函数， 又时，， 故当时，，则， 是定义在R上的奇函数，故， 显然在上，的图象无周期性， 综上，的最小正周期为6； （2）8 【解析】 【分析】（1）根据，得到，故是一个周期为6的周期函数，并结合奇偶性得到最小正周期为6； （2）上，有2个解，结合函数的周期性和奇偶性，可知在，，上，各有2个解，画出函数图象，数形结合得到答案. 【小问1详解】 证明略，函数的最小正周期为6； 【小问2详解】 当时，， 令，则有2个根，故在上有2个解， 结合函数的周期性和奇偶性，可知在，，上，各有2个解， 画出函数在上的图象如下： 由于与有8个交点，故在上共有8个解. 17. 某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时，（万元）．现该企业将每台设备的售价定为60万元，且生产的锂电池设备能全部售完． （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； （2）年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1） （2）当年产量时，企业获利最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求得，和时的函数关系式，进而得到答案； （2）由（1）中的函数关系式，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分别求得最大值，即可求解. 【小问1详解】 时，； 时，. 即 【小问2详解】 ，，时取得最大值； ， 因为，所以 当且仅当时，即时取得等号. 综上：当年产量时，企业获利最大，最大值为. 18. 已知函数． （1）求的定义域并证明是奇函数； （2）解不等式． 【答案】（1）定义域为R， 因为 ， 所以是奇函数， （2） 【解析】 【分析】（1）先得到定义域为R，并得到，所以为奇函数； （2）先根据奇偶性得到，并得到函数单调性，从而得到，变形后，根据对数函数定义域和单调性得到不等式，求出解集. 【小问1详解】 由于恒成立，恒成立， 故的定义域为R， 又 ， 所以是奇函数， 【小问2详解】 ， 因为为奇函数，故， 所以， 又当时，单调递增， 故在上单调递增， 又为奇函数，且，故在R上单调递增， 所以，即， 故，所以，解得， 所以不等式解集为. 19. 已知函数具有以下性质： ①两函数的定义域均为； ②在上是严格增函数； ③两函数中一个是奇函数，另外一个是偶函数； ④． （1）求函数与函数的表达式； （2）设函数，求解下列问题： （i）的值； （ii）在上的最小值． 【答案】（1）；； （2）（i）1；（ii） 【解析】 【分析】（1）先分别假设，的奇偶性，再结合在上是严格增函数判断可得两函数的表达式； （2）（i）直接代入函数表达式计算可得；（ii）先化简表达式，再令，将函数转化为二次函数，再对二次函数分三种情况讨论可得函数在闭区间上的最小值. 【小问1详解】 因为两函数中一个是奇函数，另外一个是偶函数，假设为奇函数，为偶函数， 再由——①，所以，即——②. ①②相加得，所以. 又因为在上是严格增函数，所以不符合题意，故为偶函数，为奇函数. 由，得，即， 两式相加可得：，，且在上是严格增函数. 故，. 【小问2详解】 由（1）知，， （i） （ii）因为 令，，所以，由对勾函数性质可知函数在上单调递减，所以. 所以，. 当时，即，函数在上单调递增，所以； 当时，即，函数在上单调递减，在上递增，所以； 当，即，函数在上单调递减，所以. 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市洋泾中学2028届高一年级第一学期12月 数学教学质量检测 （本试卷共19道试题，考试时间：90分钟，满分：100分） 一、填空题（第1-6题每题3分，第7-10题每题4分，满分34分） 1. 若，则的终边在第___________象限． 2. 若，，则___________．（填“”或“”或“”） 3. 已知幂函数的图像不经过原点，则实数___________． 4. 已知，且满足，则___________． 5. 已知是第三象限的角，则___________． 6. 函数的定义域为___________． 7. 函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调增区间为___________． 8. 已知一元二次方程的两根有且只有一个在中，则实数的取值范围是___________． 9. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________． 10. 对于函数，若存在实数使得，则称实数为的“不动点”．已知函数，若对任意的，函数恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围为___________． 二、选择题（每题4分，满分16分） 11. 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 12. 若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（　　） A. B. 2 C. D. 13. 已知函数若恰有3个零点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 14. 已知函数，对于任意的实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 三、解答题（共5题，总分50分） 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，为角终边上的一点． （1）求的值； （2）求的值． 16. 设是定义在R上的奇函数，且对于任意的实数，恒有．当时，． （1）求证：是周期函数，并指出其最小正周期； （2）求方程在区间上解的个数． 17. 某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时，（万元）．现该企业将每台设备的售价定为60万元，且生产的锂电池设备能全部售完． （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； （2）年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 18. 已知函数． （1）求的定义域并证明是奇函数； （2）解不等式． 19. 已知函数具有以下性质： ①两函数的定义域均为； ②在上是严格增函数； ③两函数中一个是奇函数，另外一个是偶函数； ④． （1）求函数与函数的表达式； （2）设函数，求解下列问题： （i）的值； （ii）在上的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $