精品解析：黑龙江哈尔滨市萧红中学校2026-2027学年九年级上学期数学学科·九月份阶梯作业反馈试卷

2026-2027萧红中学九（上）·数学学科·九月份阶梯作业反馈 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一．选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的共有（ ） ①；②；③；④；⑤ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 5. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知为锐角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 无实数根 C. 有两个相等实根 D. 有两个不相等实根 8. 将方程配方后，所得到的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知、两地相距，上午时，亮亮从地步行到地，时芳芳从地出发骑自行车到地，亮亮和芳芳两人离地的距离与亮亮所用时间之间的函数关系如图所示，芳芳到达地时间为（ ） A. B. C. D. 二．选择题（每小题3分，共计30分） 11. 有资料表示，地球上的森林正在以每年公顷的速度消失，每年森林的消失量公顷用科学记数法可表示为________． 12. 分解因式：=____________． 13. 函数自变量的取值范围是________． 14. 化简：________． 15. 不等式组的解集是______． 16. 求值：________． 17. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了________个人． 18. 如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 19. 如图，已知中，为边上一点，为边上一点，＝，＝，＝，当的长度为________时，和相似． 20. 如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点．则下列结论：①；②取上一点，若，则；③当取最大值时，有最大值；④若为中点时，．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 三．解答题（共计60分） 21. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以AB为对角线的正方形AEBF，点E、F在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出以CD为一边的菱形CDMN，点M、N在小正方形的顶点上，且菱形面积为8；请直接写出的面积． 23. 某中学对全校九年级学生进行了一次数学考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？ （2）求样本中表示成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整； （3）该学校九年级共有1000人参加了这次数学考试，估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？ 24. 如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长和的面积． 25. 萧红中学在运动会期间要为获奖运动员准备奖品，在商场购买、两种型号的马年吉祥物具有吉祥如意、马到成功的美好寓意，深受同学们的喜欢．根据下列材料完成问题． 【材料一】：若顾客在该商场购买个种型号吉祥物和个种型号吉祥物，则一共需要元；若购买个种型号吉祥物和个种型号吉祥物，则一共需要元； 【材料二】：若某公司计划从该商场购买、两种型号的吉祥物共个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的倍； 【材料三】：种型号吉祥物每件成本价元，种型号吉祥物每件成本价元； 【实际问题】： （1）求种型号吉祥物和种型号吉祥物单价各为多少元； （2）设该商场销售这个吉祥物获得的总利润为元，求出与的函数关系式，并求出的最大值． 26. 已知，四边形中，，且，． （1）如图，求证：四边形是矩形； （2）如图，交于点，，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，点，点分别在边，上，，交于点，交于点，若，，求矩形的面积． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于，交轴于，点在轴正半轴上，． （1）如图，求直线的解析式； （2）如图，点为第一象限直线上一点，过点作的平行线交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； （3）如图，在（2）的条件下，为轴上一点，横坐标为，直线交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，作交于点，作的平分线交轴于点，过点作交于点，过点作于，若，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027萧红中学九（上）·数学学科·九月份阶梯作业反馈 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一．选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的共有（ ） ①；②；③；④；⑤ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，据此逐项判断即可． 【详解】解：①化为一般式后为，不是关于x的一元二次方程； ②中时，不是关于x的一元二次方程； ③中分母含有未知数，不是关于x的一元二次方程； ④是关于x的一元二次方程； ⑤是关于x的一元二次方程； 综上，关于的一元二次方程的共有2个． 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A.，故本选项错误； B.，故本选项错误； C.，故本选项正确； D.，故本选项错误． 【点睛】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题． 3. 如图，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，求角的余弦值．根据勾股定理可求出的长，再根据余弦的定义“直角三角形中邻边与斜边的比”即可求出答案． 【详解】解：根据勾股定理可求出， ∴． 故选：D． 4. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到，求解获得的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，解得， ． 5. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价． 6. 已知为锐角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，结合已知条件，得到的值并求出． 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ， 解得， 经检验是锐角，符合题意． 故选：B． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 无实数根 C. 有两个相等实根 D. 有两个不相等实根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，进行解答，即可． 【详解】解：由方程可得，， ∴一元二次方程无实数根． 8. 将方程配方后，所得到的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先移项，再在方程的两边都加上，进行配方，从而可得答案. 【详解】解： 移项得： 配方得： 故选：A 【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤与方法是解题的关键. 9. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，，故A、B不符合题意，C符合题意； ∴， ∴，即，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，是解题的关键． 10. 已知、两地相距，上午时，亮亮从地步行到地，时芳芳从地出发骑自行车到地，亮亮和芳芳两人离地的距离与亮亮所用时间之间的函数关系如图所示，芳芳到达地时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知：亮亮距离A地的距离随着时间的增大而增大，芳芳至由于没出发，故，后芳芳往A地走，故S随着时间的增大而减小．然后根据条件分别求出亮亮与芳芳S与t的函数关系式，再将代入芳芳S与t的函数关系式中求解即可． 【详解】解：由题意可知： 设亮亮S与t的函数关系式为：， 把代入，即，解得： ， ∴亮亮S与t的函数关系式， 当时，，解得：， 设芳芳S与t的函数关系式为：， 把和代入， ，解得：， ∴， 令代入，即，解得：， ∴芳芳到达A地的时间是． 二．选择题（每小题3分，共计30分） 11. 有资料表示，地球上的森林正在以每年公顷的速度消失，每年森林的消失量公顷用科学记数法可表示为________． 【答案】公顷 【解析】 【详解】解：（公顷）． 12. 分解因式：=____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案． 【详解】解：a2-b2=（a+b）（a-b）． 故答案为（a+b）（a-b）． 13. 函数自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件与分式有意义的条件计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴函数自变量的取值范围是． 14. 化简：________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质化简各数，再合并同类二次根式即可解答． 【详解】解：  ． 15. 不等式组的解集是______． 【答案】2＜x≤4 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：，由①得，x≤4，由②得，x＞2， 故不等式组的解集为：2＜x≤4． 故答案为2＜x≤4． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 16. 求值：________． 【答案】 【解析】 【分析】先代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算减法． 【详解】解：． 17. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了________个人． 【答案】10 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得 即 解得，（不符合题意，舍去） 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人 ． 18. 如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形是矩形，结合矩形性质得，，进而得，即可得，在中，根据勾股定理求出，再根据正弦定义即可求出． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，已知中，为边上一点，为边上一点，＝，＝，＝，当的长度为________时，和相似． 【答案】或 【解析】 【分析】分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可． 【详解】当时， ∴ ， ∴ ， 解得：＝， 当时， ∴ ， ∴ ， 解得：＝， ∴ 当的长度为或时，和相似． 故答案为：4或9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键． 20. 如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点．则下列结论：①；②取上一点，若，则；③当取最大值时，有最大值；④若为中点时，．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①由矩形的性质和角平分线的定义可求出，根据等边对等角得出，然后结合矩形的性质即可判断①；②过M作于N，证明，得出，结合已知可得出，分别在、中，根据正弦的定义可得出，则，导角可求出，证明，根据相似三角形的性质可求出，即可判断②；③证明，得出，则可求，即可判断③；④设，则、，根据勾股定理求出，由③中得出，则可表示出，，最后代入比较即可判断④． 【详解】解：①∵矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴，故①正确； ②如图，过M作于N， 则， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，在中，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵矩形和矩形， ∴， ∴，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴当取最大值时，有最大值，故③正确； ④∵为中点， ∴， 设，则，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ， ∴，故④正确， 综上，正确的有①②③④． 三．解答题（共计60分） 21. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）通过移项得，再利用直接开平方法求解即可； （2）先整理原方程得，再用公式法求解即可 ． 【小问1详解】 解： 移项得， 两边同时开平方得， 整理得，； 【小问2详解】 解： 整理原方程得 ∵，，， ∴ ∴ 解得，， 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以AB为对角线的正方形AEBF，点E、F在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出以CD为一边的菱形CDMN，点M、N在小正方形的顶点上，且菱形面积为8；请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】(1)先计算AB=2，后计算正方形的边长为，利用勾股定理的逆定理判定有一个角是直角即可． (2)根据菱形的边长为，画出符合题意的图形即可，不是唯一的，面积为底乘以高计算即可． 【小问1详解】 如图，∵AB=， ∴正方形的边长为， 作线段AE=EB=BF=FA=， ∴四边形AEBF是菱形， ∵， ∴∠AFB=90°， 故四边形AEBF是正方形即为所求． 【小问2详解】 如图，菱形的边长为， 作线段CD=DM=MN=NC=， ∴四边形CDMNF是菱形， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握判定，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键． 23. 某中学对全校九年级学生进行了一次数学考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？ （2）求样本中表示成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整； （3）该学校九年级共有1000人参加了这次数学考试，估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？ 【答案】（1）50 （2）10， 补全图形如下： （3）200 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，是解题的关键． （1）利用成绩类别为“差”的人数除以所占的百分比，即可求出总数， （2）用总数乘以成绩类别为“中”的人数所占的百分比，进行求解即可；即可补全条形图； （3）用乘以样本中成绩类别为“优”的人数所占的比例进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， 答：本次抽样调查共抽取了50名学生； 【小问2详解】 解：（人）； ∴样本中表示成绩类别为“中”的人数为人； 【小问3详解】 解：（人）； ∴估计该校九年级共有200名学生的数学成绩可以达到优秀． 24. 如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长和的面积． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）；的面积为 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到； （2）根据线段的和差得到；过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； 过D作交的延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 萧红中学在运动会期间要为获奖运动员准备奖品，在商场购买、两种型号的马年吉祥物具有吉祥如意、马到成功的美好寓意，深受同学们的喜欢．根据下列材料完成问题． 【材料一】：若顾客在该商场购买个种型号吉祥物和个种型号吉祥物，则一共需要元；若购买个种型号吉祥物和个种型号吉祥物，则一共需要元； 【材料二】：若某公司计划从该商场购买、两种型号的吉祥物共个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的倍； 【材料三】：种型号吉祥物每件成本价元，种型号吉祥物每件成本价元； 【实际问题】： （1）求种型号吉祥物和种型号吉祥物单价各为多少元； （2）设该商场销售这个吉祥物获得的总利润为元，求出与的函数关系式，并求出的最大值． 【答案】（1）A种型号吉祥物的单价为40元，B种型号吉祥物的单价为50元． （2）与的函数关系式为（，且m为整数），最大值为564元． 【解析】 【分析】（1）设A种型号吉祥物的单价为x元，B种型号吉祥物的单价为y元，然后根据材料一列方程组解答即可； （2）先根据材料二列出关于m的一元一次不等式组，结合m为整数，求得m的取值范围，再根据材料三中的成本价和（1）中所求的单价，列出W关于m的一次函数关系式，最后根据一次函数的增减性解答即可． 【小问1详解】 解：设A种型号吉祥物的单价为x元，B种型号吉祥物的单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种型号吉祥物的单价为40元，B种型号吉祥物的单价为50元． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， 解得， ∵m为整数， ∴，且m为整数， 根据题意， ∵， ∴随m的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为（元）； 答：与的函数关系式为（，且m为整数），最大值为564元． 26. 已知，四边形中，，且，． （1）如图，求证：四边形是矩形； （2）如图，交于点，，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，点，点分别在边，上，，交于点，交于点，若，，求矩形的面积． 【答案】（1）证明：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，求得，即可证明四边形是矩形； （2）利用特殊角的三角函数值求得，即可得到； （3）证明，求得，设，则，，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， 设，则，， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得，即， 解得或（舍去）， ∴，， ∴矩形的面积． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于，交轴于，点在轴正半轴上，． （1）如图，求直线的解析式； （2）如图，点为第一象限直线上一点，过点作的平行线交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； （3）如图，在（2）的条件下，为轴上一点，横坐标为，直线交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，作交于点，作的平分线交轴于点，过点作交于点，过点作于，若，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）求得，利用待定系数法求解即可； （2）过点P作于T，由题意得点的坐标为，求得，利用三角形面积公式列式计算即可； （3）如图中，过点P作于T，交于W，过点作交的延长线于J，连接．想办法证明，推出，再证明，推出，再确定点P坐标即可． 【小问1详解】 解：对于直线，令，则，令，则， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点P作于T， 由题意得点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：如图中，过点P作于T，交于W，过点作交的延长线于J，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴，， 设，则，由勾股定理得，即， 解得， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $