精品解析：黑龙江省哈尔滨市第十七中学校2024-2025学年九年级上学期学情检测（一）数学试题

哈十七中学2024－2025学年度九年级上学情检测（一） 数学学科试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 计算正确的是（ ） A. (-5)0=0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由零指数幂、合并同类项、积的乘方、负整数指数幂分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、不能合并，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了积的乘方，负整数指数幂，零指数幂，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 3. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选B． 4. 如图所示的几何体是由7个小正方体组合而成的立体图形，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键，根据俯视图的定义：从物体的上方看，得到的图形为俯视图，并对各项逐一排除即可得到答案． 【详解】解：根据俯视图的定义可得：D选项为俯视图， 故选：D． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键． 6. 抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究． 【详解】抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向． 7. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论． 【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC， ∴BD=CD， 即：AD是BC的垂直平分线， ∵点E在AD上， ∴BE=CE， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC=45°， ∴∠ECB=45°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°， 故选A． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键． 8. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角函数的应用，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．设，首先根据得到，然后利用得到，利用列方程求出，即可求出的高度． 【详解】解：由题意得：， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴这棵树的高度约为． 故选：B． 9. 如图，在中，点D、E、F分别在、、上，，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，由平行线分线段成比例及相似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：， ，，故A正确，D错误； ， ，故B正确； ，， ， ， ，故C正确； 故选：D． 10. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系，已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，快车到达乙地时，慢车还有（　　）千米到达甲地． A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】A 【解析】 【详解】分析：求出相遇前y与x的关系式，确定出甲乙两地的距离，进而求出两车的速度，即可确定出所求． 详解：设第一段折线解析式为y=kx+b， 把(1.5,70)与(2,0)代入得： 解得： 即y=−140x+280， 令x=0，得到y=280，即甲乙两对相距280千米， 设两车相遇时,乙行驶了x千米,则甲行驶了(x+40)千米， 根据题意得：x+x+40=280， 解得：x=120，即两车相遇时，乙行驶了120千米，则甲行驶了160千米， ∴甲车的速度为80千米/时，乙车速度为60千米/时， 根据题意得：(280−160)÷80=1.5(小时),1.5×60=90(千米),280−120−90=70(千米)， 则快车到达乙地时，慢车还有70千米到达甲地. 故选A. 点睛：考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的解析式. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 冰雪季，第二十五届哈尔滨冰雪大世界成功地吸引了大量游客．整个冰雪季共计61天，期间累计接待游客达到了2710000人次．这一成绩展示了哈尔滨冰雪大世界的魅力和影响力．2710000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在函数y = 中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由分式的分母不为0，求出x的范围． 【详解】解：根据题意得，2x＋3≠0， ， 故答案为：． 【点睛】此题是函数自变量的取值范围题，主要考查了分式有意义的条件，分母不为0，解本题的关键是列出不等式． 13. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】把二次根式化简后，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次根式的减法，准确化简二次根式是解题的关键． 14. 分解因式8a2－2=__________． 【答案】2（2a＋1）（2a－1） 【解析】 【详解】本题要先提取公因式2,再运用平方差公式将写成，即原式可分解为：8a2－2 15. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式2x＋2＜0，得：x＜−1， 解不等式−x＋13，得：x-2， 故不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 16. 二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的图象与y轴的交点坐标为_____． 【答案】（0，14）． 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，令x=0，求出相应的y的值，即可解答本题． 【详解】解：∵y=2（x﹣3）2﹣4， ∴当x=0时，y=14， 即二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的图象与y轴的交点坐标为（0，14）， 故答案为（0，14）． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道抛物线与y轴的交点，横坐标为0． 17. 在中，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、求锐角三角函数等知识．用勾股定理求出，再根据余弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： 18. 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，摆第一个图形需要3个黑色棋子，摆第二个图形需要8个黑色棋子，…，按照这样的规律摆下去，摆第8个图形需要黑色棋子的个数是______． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，解题时注意图形中有重复的点，即多边形的顶点． 根据题意，分析可得第1个图形需要黑色棋子的个数为，第2个图形需要黑色棋子的个数为，第3个图形需要黑色棋子的个数为，依此类推，可得第n个图形需要黑色棋子的个数是． 【详解】结合图形，发现：第1个图形中黑色棋子的个数是（个）； 第2个图形中黑色棋子的个数是（个）； 第3个图形中黑色棋子的个数是（个）， 依此类推，则第n（n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是）个， ∴第8个图形需要黑色棋子的个数是． 故答案为：． 19. 在中，，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 由题意可分当是锐角时和当是钝角时，进而根据三角函数及三角形面积可进行求解． 【详解】解：如图1中，当是锐角时，过点B作于H． ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2中，当是钝角时，过点B作交的延长线于H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 20. 如图，在四边形中，，，，， ，则线段的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明是解题的关键． 延长到，使，连接，根据证明，得出，，再证明是等腰直角三角形，作于F，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 又， ， ，， 是等腰直角三角形，且， 作于F， ， ， 设，则， ，， ， 中，， 即， 解得（负值舍去）， ， 故答案为：4． 三、解答题（21－22题各7分，23－24题各8分，25－27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，特殊角的函数值，先代入特殊角的三角函数值，求出a的值，化简分式，然后把a的值代入化简后的分式进行分母有理化即可得出答案． 【详解】解： 22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． （1）画出等腰直角三角形，点在方格纸上的格点上，； （2）画出等腰三角形，点在方格纸上的格点上，的面积为6，连接，直接写出的长． 【答案】（1） 等腰直角三角形如图所示： （2） 如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查网格中作等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，是以，为腰，以为斜边的等腰直角三角形，作交于点E即可； （2）分类讨论：分别以为腰，以为底，三种情况进行画图分析，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 是以，为腰，以为斜边的等腰直角三角形， , 解得：， ，且点在方格纸上的格点上， 等腰直角三角形如图所示： 【小问2详解】 解：依题意，, ①取，连接，如图所示， ， 取的中点N，过点N作，交于点G， 根据格点的特点， 点G为的中点，连接， ， ， ， ， 故不符合题意， ②取连接，如图所示， ，， 取的中点Q，作交于点G， 根据格点的特点，， 点G为的中点，连接， ， ， ， ， 符合题意，符号题意，且点F在格点上， 连接， ， ③以为底，作的垂直平分线，如图所示， 不符合题意， 等腰三角形如图所示， ． 23. 如图，依靠一面长18米的墙，用36米长的篱笆围成一个矩形场地，设长为x米，矩形的面积为S平方米． （1）用含有x的代数式表示S，并直接写出x的取值范围； （2）当x取何值时，矩形场地的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当米时，s取的最大值，最大值为平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用． （1）先表示出，即可根据面积公式列式求出函数解析式，再取得x的取值范围即可得出答案． （2）把二次函数一般式转换成顶点式，然后根据顶点式的图像和性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵ 解得：． 【小问2详解】 由（1）知， ∵，抛物线开口向下， ∴当米时，s取得最大值，最大值为平方米． 24. 在中，过A作的平行线，交的平分线于点D，点E是上一点，连接交于点F，． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若，点G、H分别是边中点，连接，不添加字母和辅助线，直接写出图中所有与全等的三角形． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形； （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，推出，于是得到结论； （2）根据已知条件得到菱形是正方形，求得，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 菱形是正方形， ， ， 是的中点，是边中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中与全等的三角形有，，，． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，证得是解题的关键． 25. 虹桥中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等． （1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？ 【答案】（1）去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元；（2）今年至少要购买140本文学书． 【解析】 【分析】（1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元，根据题意列分式方程，解此分式方程，并检验即可解题； （2）设今年这所中学要购买本文学书，根据总费用不超过2120元列一元一次不等式，解此不等式即可． 【详解】解：（1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元， ， ， 经检验是原分式方程的解， ， 答：去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元． （2）设今年这所中学要购买本文学书， ． 答：今年至少要购买140本文学书． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 26. 四边形中，点在边上，，平分，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）点在边上，连接交于，，求的度数； （3）在（）的条件下，连接，，，， 求线段的长度． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定； （1）根据等边对等角，角平分线的定义得出，即可证明，进而结合证明，即可得证； （2）在上取点M，使，连结，证明得出，根据已知条件，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，在上取，连接，过点作于点，证明得出，进而可得，解，求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在上取点M，使，连结， ， ， 在中， ， ， 是等腰直角三角形 ； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作，交的延长线于点，在上取，连接，过点作于点， 设，则， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形 ∴， ∴， ∴ ， ∴ ∴ 又 ∴① ∵ ∴ ∴ ∴② 又∵③ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ 在中，，则， 在中，， 设，则，解得： ∴ ∴． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．将直线沿轴向上平移个单位长度后恰好经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）为第二象限内抛物线上的一点，连 、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （3）在（2）的条件下，如图3连BC，点N为抛物线上一点，连AN交y轴于点D，当ΔMAC的面积为且∠MCB与∠MAN互补时，求点N的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的平移得出解析式，进而求得的坐标，待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作的平行线，交轴于点，过点作，交于点，过点作轴的平行线，交于点，求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （3）根据（2）的结论得出，进而证明，求得，进而求得直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将直线沿轴向上平移个单位长度后的解析式为， 当时，， 当时，， ∴， 将，代入，得 解得： ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， 如图所示，过点作的平行线，交轴于点，过点作，交于点，过点作轴的平行线，交于点， ∴是等腰直角三角形， ∵点的横坐标为， ∴的纵坐标为，的纵坐标为， ∴ ∴ 又∵ ∴ 【小问3详解】 解：由（2）可得 当时， 解得： ∴当时， ∴， ∵， ∴ 如图所示，过点作，交于点，设交于点，过点作轴于点， 由（2）可得 ∴， ∵抛物线， 当时， 解得： ∴，则， ∴ ∴， ∴，即 ∵与互补， ∴， 又， ∴, ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入， ， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，一次函数与抛物线交点问题，面积问题，熟练掌握二次函数的性质，相似三角形的性质，三角函数的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈十七中学2024－2025学年度九年级上学情检测（一） 数学学科试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 计算正确的是（ ） A. (-5)0=0 B. C. D. 3. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由7个小正方体组合而成的立体图形，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 7. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 8. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，在中，点D、E、F分别在、、上，，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系，已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，快车到达乙地时，慢车还有（　　）千米到达甲地． A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 冰雪季，第二十五届哈尔滨冰雪大世界成功地吸引了大量游客．整个冰雪季共计61天，期间累计接待游客达到了2710000人次．这一成绩展示了哈尔滨冰雪大世界的魅力和影响力．2710000用科学记数法表示为________． 12. 在函数y = 中，自变量x的取值范围是_______． 13. 计算：__________． 14. 分解因式8a2－2=__________． 15. 不等式组的解集是______． 16. 二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的图象与y轴的交点坐标为_____． 17. 在中，，则的值是______． 18. 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，摆第一个图形需要3个黑色棋子，摆第二个图形需要8个黑色棋子，…，按照这样的规律摆下去，摆第8个图形需要黑色棋子的个数是______． 19. 在中，，则________． 20. 如图，在四边形中，，，，， ，则线段的长为________． 三、解答题（21－22题各7分，23－24题各8分，25－27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求值，其中． 22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． （1）画出等腰直角三角形，点在方格纸上的格点上，； （2）画出等腰三角形，点在方格纸上的格点上，的面积为6，连接，直接写出的长． 23. 如图，依靠一面长18米的墙，用36米长的篱笆围成一个矩形场地，设长为x米，矩形的面积为S平方米． （1）用含有x的代数式表示S，并直接写出x的取值范围； （2）当x取何值时，矩形场地的面积最大，最大面积是多少？ 24. 在中，过A作的平行线，交的平分线于点D，点E是上一点，连接交于点F，． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若，点G、H分别是边中点，连接，不添加字母和辅助线，直接写出图中所有与全等的三角形． 25. 虹桥中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等． （1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？ 26. 四边形中，点在边上，，平分，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）点在边上，连接交于，，求的度数； （3）在（）的条件下，连接，，，， 求线段的长度． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．将直线沿轴向上平移个单位长度后恰好经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）为第二象限内抛物线上的一点，连 、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （3）在（2）的条件下，如图3连BC，点N为抛物线上一点，连AN交y轴于点D，当ΔMAC的面积为且∠MCB与∠MAN互补时，求点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $