北京市八一学校2026-2027学年高三第一学期10月月考数学试题

北京市八一学校2026-2027学年度第一学期10月月考 高三数学 2026.10 注意：本试卷共4页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题共10小题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．下列函数中，在区间上不是单调函数的是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，则的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 5．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．如图，角以为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．“”是“为第一或第三象限角”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表．根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（ ） 0 0 5 0 A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 9．已知（，）．若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．设函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题，其中错误的是（ ） A．函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和，则 B．存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数 C．设A，B是抛物线上不同的两点，则 D．设A，B是曲线（e是自然对数的底数）上不同的两点，则 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．函数的定义域是_________． 12．已知奇函数的定义域为，当时，，则_________． 13．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则_________． 14．函数（，，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M、N两点，且M在y轴上，圆的半径为，则_________． 15．已知函数，其中表示不超过x的最大整数．例如：，，给出以下四个结论： ①； ②集合的元素个数为9； ③存在，对任意的，有； ④对任意都成立，则实数a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分） 已知函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的单调递减区间及对称轴方程． 17．（本小题14分） 已知函数． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）求证：直线是曲线的切线； （Ⅲ）写出a的一个值，使得函数有三个不同零点（只需直接写出数值）． 18．（本小题14分） 已知函数（，）． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，． 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题14分） 已知函数（）的图象在点处的切线与直线垂直． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）若存在，使得恒成立，求k的最大值． 20．（本小题15分） 已知函数． （Ⅰ）求在区间上的最大值和最小值； （Ⅱ）若是函数的极值点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求在区间上的零点个数． 21．（本小题15分） 已知集合P的元素个数为（）且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即，，，，其中，，，且满足，，、2、…、n，则称集合P为“完美集合”． （Ⅰ）若集合，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由； （Ⅱ）已知集合为“完美集合”，求正整数x的值； （Ⅲ）设集合，证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是或（）． 学科网（北京）股份有限公司 $