精品解析：甘肃兰州市某校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年第一学期第一次月考考试试题 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，已知公差，则（ ） A. 16 B. 14 C. D. 2. 已知直线的斜率为2，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且则解下5个圆环需移动的最少次数为（ ） A. 7 B. 16 C. 14 D. 21 4. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 5. 若表示等差数列的前项和，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前n项积为，且，，则（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 7. 设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，若成立，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线不过原点 B. 直线可能与坐标轴垂直 C. 时，直线的一个法向量为 D. 时，直线的一个方向向量为 10. 已知为等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 当时，取得最大值 C. D. 11. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若三个数成等比数列，则______． 13. 已知点，，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________． 14. 分形理论（Fractal Theory）是当今十分风靡和活跃的新理论、新学科．分形的概念是美籍数学家本华·曼德博首先提出的．分形理论的数学基础是分形几何学，即由分形几何衍生出分形信息、分形设计、分形艺术等应用．Hexaflake分形是像雪花一样美丽的图案，它的构造过程，如图，以原点为中心点绘制一个边长为1的正六边形并进行颜色填充，在这个正六边形中找到7个点，以这7个点为中心分别绘制7个边长为的正六边形并进行颜色填充，替换掉原来边长为1的正六边形，重复以上操作就可以绘制出Hexaf lake分形图案．设第个图形涂色面积不大于初始正六边形的面积的，则的最小值为______． （参考数据：，） 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，，令． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 16. 记数列的前项和为，已知且． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和 17. 已知直线，． （1）证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； （2）在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； （3）若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 18. 已知数列满足，． （1）证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； （2）设，求的前项和． 19. 已知正项数列满足，，且对任意，都有，数列满足：对任意，都有． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）设，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次月考考试试题 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，已知公差，则（ ） A. 16 B. 14 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等差数列性质计算即可得. 【详解】，解得. 故选：A. 2. 已知直线的斜率为2，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程、一般式方程进行求解即可. 【详解】因为直线的斜率为2，且过点， 所以直线的点斜式方程为，化成一般式为， 故选：B 3. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且则解下5个圆环需移动的最少次数为（ ） A. 7 B. 16 C. 14 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】5个圆环数量较少，依次直接代入求解即可. 【详解】由题意，，即解下5个圆环需移动的最少次数为21. 4. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率，再由斜率得出倾斜角即可. 【详解】由可得，， 所以直线斜率， 又，所以， 故选：A 5. 若表示等差数列的前项和，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可知，且，，，也为等差数列，根据等差中项可得，，即可得结果. 【详解】因为，则，且，即， 又因为为等差数列的前项和，则，，，也为等差数列， 可得，即，则， 且，即， 可得，即， 所以. 6. 已知等比数列的前n项积为，且，，则（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合等比数列的性质，得到，即可求解. 【详解】因为等比数列的前n项积为，且，， 可得，所以， 由等比数列的性质，可得. 故选：A. 7. 设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 因为数列单调递增，所以对任意恒成立， ， 即为恒成立， 设，， 在上单调递增， 当时，取得最小值，故，即实数的取值范围是. 8. 已知数列满足，，若成立，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知数列是首项为3，公差为1的等差数列，进而可得，根据题意利用裂项相消法可得，运算求解即可. 【详解】因为数列满足，，可得， 可得数列是首项为3，公差为1的等差数列， 则，即， 则， 可得 ， 因为，可得，解得， 即所求的最大值为6. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线不过原点 B. 直线可能与坐标轴垂直 C. 时，直线的一个法向量为 D. 时，直线的一个方向向量为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，原点，代入方程左边得：，所以原点不满足方程，直线不过原点，故A正确； 对于B，直线变形：，斜率. 因为，故. 若直线垂直轴：直线形式为，斜率不存在； 若直线垂直轴：直线形式为，斜率等于0. 直线斜率恒大于0，所以不可能垂直坐标轴，故B错误； 对于C，当时，直线的方程为：. 直线一般式的一个法向量为，即. 所以是直线的一个法向量，故C正确； 对于D，当时，，直线的方程为：，斜率. 方向向量对应的斜率为，与直线斜率不相等，向量不与直线平行，不是方向向量，故D错误. 10. 已知为等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 当时，取得最大值 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列性质分析可知，，进而可得公差，即可判断单调性和符号性，进而判断AB；根据等差数列性质可得，，，即可判断CD. 【详解】因为为等差数列的前项和， 则，即，且，可得， 可知等差数列的公差，所以数列是递减数列，故A错误； 当时，；当时，； 所以当时，取得最大值，故B正确； 又，，， 所以，，故C正确，D错误. 11. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由递推公式依次求出即可判断；对于B，计算即可判断；对于C，将放缩成，利用等比数列求和公式即可判断；对于D，法一，由C可得，借助等比数列求和公式验证即可；法二，由B可知，由可得，利用裂项相消法计算判断. 【详解】对于A，由已知得，，，故A错误； 对于B，因为， 所以，即是递增数列，故B正确； 对于C，由AB知，， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D，（方法一）由C知， 所以， 两式相减所以，所以， 所以. （方法二）由B知，因为， 所以当时，，所以.， 所以当时， ， 又，所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助数列求通项及和的方法分析、探讨，从而解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若三个数成等比数列，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由等比中项的定义列出等式，解方程即可. 【详解】因为三个数成等比数列，所以， 即. 故答案为：. 13. 已知点，，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】先求，的斜率， 已知，，， ， ， 过点的直线与线段相交，观察图形： 直线从绕逆时针转到，斜率变化：从开始，增大到， 故斜率的取值范围是. 14. 分形理论（Fractal Theory）是当今十分风靡和活跃的新理论、新学科．分形的概念是美籍数学家本华·曼德博首先提出的．分形理论的数学基础是分形几何学，即由分形几何衍生出分形信息、分形设计、分形艺术等应用．Hexaflake分形是像雪花一样美丽的图案，它的构造过程，如图，以原点为中心点绘制一个边长为1的正六边形并进行颜色填充，在这个正六边形中找到7个点，以这7个点为中心分别绘制7个边长为的正六边形并进行颜色填充，替换掉原来边长为1的正六边形，重复以上操作就可以绘制出Hexaf lake分形图案．设第个图形涂色面积不大于初始正六边形的面积的，则的最小值为______． （参考数据：，） 【答案】7 【解析】 【分析】设正六边形的边长为，计算正六边形的面积，再利用求得的面积公式，结合题目中第一、二个图形的边长，求得对应涂色面积，确定面积比，从而进一步确定分形图案的面积变化规律，然后利用第个图形涂色面积不大于初始正六边形的面积的，构造关于的不等式，结合对数运算进行求解． 【详解】设正六边形边长为，将其分割为6个等边三角形． 根据三角形面积公式，对于边长为的等边三角形， 其高，则一个等边三角形的面积， 那么正六边形的面积． 已知第一个正六边形的边长，其面积． 第二个图形的7个正六边形边长，其面积． 前后两个图形的面积比． 以此类推可知，分形图案的面积等于上一个图形面积的倍，则． 已知第个图形涂色面积不大于初始正六边形的面积的， 则，即． 两边同时取3的对数，根据对数运算法则， 可得，即． 因为，且，， 所以，即， 即，即，解得． 因为为正整数，所以的最小值为7． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，，令． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）证明：由于， 故， 因此数列是公差为的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由题设可得，进而得到，由此即证是等差数列； （2）由（1）可得，代入得到，解方程即可求得的通项公式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题设可得，故， 所以，解得． 16. 记数列的前项和为，已知且． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系式可得数列的递推公式，利用累乘法可求通项公式； （2）由（1）知，所以，利用分组求和法求. 【小问1详解】 根据题意，，，则， 两式相减得， 即， 所以， 故的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 故， . 17. 已知直线，． （1）证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； （2）在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； （3）若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 【答案】（1） 直线的方程为， 则直线过直线与的交点， 由，解得， 所以直线过定点，其坐标为. （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点； （2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可； （3）分和两种情况进行讨论即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当直线的截距为时，其方程为，即； 当直线的截距不为时，设其方程为， 则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 【小问3详解】 当时，直线l的方程为，符合题意； 当时，， 则，即，解得或， 综上，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是. 18. 已知数列满足，． （1）证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； （2）设，求的前项和． 【答案】（1）证明：设数列的通项为， 则，则． 将代入递推式， 得， 化简得，则． 因为，所以． 由此可知，对任意正整数，都有，即， 故数列是常数列，且． （2）． 【解析】 【分析】（1）令，将其代入递推式，求出数列的通项公式，即可求证； （2）由（1）求得数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得其前项和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，故， 设①， 则②， 用，得， 则，由此得． 19. 已知正项数列满足，，且对任意，都有，数列满足：对任意，都有． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）设，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据等比数列性质可知为等比数列，设其公比为，结合为正项数列和解出即可求出的通项公式； （2）将代入已知条件，运用作差法变换即可求出的通项公式； （3）由的通项公式分析，得，假设存在三项成等差数列，且，则，即，根据数列的单调性，可得到，将或代入已知条件，即可得到结论． 【小问1详解】 由得为等比数列，设其公比为， 由于为正项数列，故， 则由可得，故． 【小问2详解】 由，可得对于任意有： ，③ 则，④ 则，⑤ 由③-⑤得， 对③取得也适合上式， 因此，； 【小问3详解】 由（1）（2）可知， 则， 所以当时，，即， 当时，，即在且上单调递减， 故， 假设存在三项成等差数列，其中， 由于，可不妨设，则（*）， 即， 因为且，则且， 由数列的单调性可知，，即， 因为，所以， 即，化简得， 又且，所以或， 当时，，即，由时，此时不构成等差数列，不合题意， 当时，由题意或，即，又，代入（*）式得， 因为数列在且上单调递减，且，，所以， 综上所述，数列中存在三项或构成等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $