第二章 一元二次函数、方程和不等式测试卷（基础）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次函数、方程和不等式基础，通过分层题型与实际情境（如智能产业研发投入问题），培养运算能力、推理意识与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|不等式解集、基本不等式最值、二次方程根分布|第4题正实数最值考查数学思维中的运算能力| |填空题|3题15分|含参不等式整数解、最值|第14题仅一个整数解培养推理意识| |解答题|5题77分|实际应用、分类讨论|第18题企业研发投入问题体现数学语言的模型应用|

第二章 一元二次函数、方程和不等式测试卷（基础） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高一上·山西运城·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过移项通分将分式不等式转化为等价整式不等式组，结合分母不为零的条件求解集． 【详解】， 解得． 2．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 3．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 4．（2026·四川巴中·模拟预测）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，， 所以, 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 5．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值. 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 6．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由题设问题等价于，使，进而根据二次函数性质、根的分布求的取值范围. 【详解】令，知：函数开口向上，对称轴为， ∴题设等价于，使， 只需. 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次不等式区间有解求参数范围，应用二次函数的性质、根的分布等知识，属于基础题. 7．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和讨论，求解的取值范围后取并集. 【详解】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 8．（2026高一·全国·专题练习）已知关于x的方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设关于x的方程的两个根分别为， 根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数m的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为， 则由根与系数的关系，知 ， 所以由题意知，即， 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根的分布问题，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   【答案】ACD 【详解】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 10．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由图象知，，对称轴为，由对称轴公式得， 解得， 抛物线与轴交于轴正半轴，则时，， 则，故A错误； 由可得，故B正确； 抛物线与轴有2个不同交点，故一元二次方程有两个不等实根， 则，故C正确； 当时，，即是时的函数值， 由图象可知，时，，且， 故，故D正确． 11．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）设正实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由题设且， 对于A，，当且仅当时取等号，A对； 对于B，，则，故，当且仅当时取等号，B对； 对于C，，由于， 所以，当且仅当时取等号，C不正确； 对于D，因为， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故D正确 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为________. 【答案】 【分析】分类讨论去绝对值并分别求解，将各区间的解集取并集得出最终结果. 【详解】当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为3，无解. 综上，不等式的解集为. 13．（2026高一·全国·专题练习）当时，则的最小值是______. 【答案】 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 14．（25-26高二下·天津红桥·期末）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】将不等式变形分解因式，讨论二次项系数及两根的大小关系列不等式求解. 【详解】，即 当时，则不等式解集为，不符合题意； 当时，则不等式解集为，不符合题意； 当时， 若时，不等式解集为，不符合题意； 若时，不等式解集为，故只需满足，解得； 若时，不等式解集为，不合题意； 综上：. 故答案为： 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·新疆·期中）比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 【分析】（1）采用作差法可直接得到结果； （2）采用作差法，讨论大小关系即可得到结果. 【详解】（1），. （2）， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 16．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，利用不等式的同向可加性等性质即可求得； （2）利用不等式的性质先求的范围，再由不等式的同向皆正可乘性即可求得； （3）设，展开对照求出的值，再利用不等式的可乘性和可加性即可求得. 【详解】（1）因，又，， 则，即； （2）由可得，又， 则得，即； （3）设，由， 解得，即， 因，则， 又，则， 两式相加，可得，即. 17．（25-26高一上·贵州黔南·期末）（1）已知，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）4. 【分析】（1）应用基本不等式计算求解； （2）化简应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】（1）. 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为. （2）. . 4. 当且仅当，且，即且时，等号成立， 因此的最小值为4. 18．（25-26高三上·山东济宁·期中）2022中国国际智能产业博览会于8月22~24日在重庆隆重举办，主题延续“智能化：为经济赋能，为生活添彩”，某企业遵循国家发展战略目标，进一步优化内部结构，深入拓展大数据智能化建设，据悉，该企业研发部原有80人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为（其中且）万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少？ (2)若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，则求出m的值；若不存在，则说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由为： 由题意知，现在研发部共有81人. 假设存在正实数同时满足题设中的条件①②，那么， 由条件①，技术人员的年人均投入始终不减少，则有， 解得且， 因为且，所以当时，， 所以； 由条件②，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有且， 即， 所以且. 由于， 当且仅当，即时等号成立， 即， 所以. 综上所述，显然不存在正实数同时满足题设条件（1）和（2）. 【分析】（1）根据调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入列不等式求解； （2）先根据条件①列不等式求出的最小值，根据条件②列不等式求出的最大值，通过的最值可得答案. 【详解】（1）依题意得，调整后研发人员人数为人，年人均投入为万元， 则有， 解得. 因为，且，所以. 所以优化调整后的技术人员人数的范围是. （2）略 19．（25-26高一上·北京·期中）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数、的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）分析可知，且关于的方程的两根分别为、，解方程，根据题意可得出关于、的等式，解之即可； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合一次不等式、二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，则， 且关于的方程的两根分别为、， 由得，解得或， 由题意可得，故. （2）不等式即为， 当时，不等式即为，解得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，， （i）当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解； （ii）当时，即当时，解原不等式可得； （iii）当时，即当时，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式测试卷（基础） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高一上·山西运城·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 4．（2026·四川巴中·模拟预测）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．（2026高一·全国·专题练习）已知关于x的方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   10．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）设正实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为________. 13．（2026高一·全国·专题练习）当时，则的最小值是______. 14．（25-26高二下·天津红桥·期末）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·新疆·期中）比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 16．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 17．（25-26高一上·贵州黔南·期末）（1）已知，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 18．（25-26高三上·山东济宁·期中）2022中国国际智能产业博览会于8月22~24日在重庆隆重举办，主题延续“智能化：为经济赋能，为生活添彩”，某企业遵循国家发展战略目标，进一步优化内部结构，深入拓展大数据智能化建设，据悉，该企业研发部原有80人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为（其中且）万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少？ (2)若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，则求出m的值；若不存在，则说明理由. 19．（25-26高一上·北京·期中）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数、的值； (2)求关于的不等式的解集． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $