第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元分层自测·能力提升卷）高一数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高一上册数学单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·基础通关（参考答案） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B A C A D B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9 10 11 CD BC ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．3（答案不唯一，2、3、4、5、6均可） 13． 14． (第一空2分，第二空3分） 四、解答题（本大题共7小题，共77分） 15．（13分） 【解析】（1）由，得， 当时，，则，即，(3分) 当时，，因此， 所以的取值范围是.（6分） （2）依题意，， 由，得，（10分） 则，所以的取值范围是.（13分） 16．（15分） 【解析】（1） ,(4分) 由知，因此.（7分） （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，，（12分） ， 即. 即：.（15分） 17.（15分） 【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即，（5分） 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；（7分） （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为，（13分） 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为， 当时，，此时不等式的解集为或， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为或， 综上：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或；（5分） （2）当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为或；（10分） （3）当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立，（12分） 令，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是．（17分） 19．（17分） 【解析】(1)点是“靓点”，证明如下： 点为“靓点”， ， ，， 将代入上式，得， ， 点是“靓点”．（5分） (2)证明：将代入，得， 整理得， ， 判别式 ，（7分） ，， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， 方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又，两个不同的对应两个不同的， 函数的图象上总存在两个不同的“靓点”．（10分） (3)将代入得，， 整理得， 关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， 令，则方程有两个不相等的实数根，， ， 或， 将代入得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根，， ，， ， ， ，（14分） ， ， ， ， ， 整理得， （不符合题意，舍去）或， 的值为．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上册数学单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（25-26高一下·广东广州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式， 解得，则，而， 所以. 2．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【解析】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C. 3．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， 最小值为2 B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 【答案】B 【解析】选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确； 选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确； 选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确； 选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确. 故选：B 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知方程的根为和，则不等式成立时函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据已知的解集为，结合函数图象的开口方向及各选项图象，即可得. 【解析】由题设，不等式的解集为， 且的开口向上，结合图象知A正确. 故选：A 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 6．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 7．（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）已知方程的两根分别为，，，若对于，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，则， 令，，则， 故， 当且仅当，即时取等号，此时， 对于，都有成立，则， 故，则，解得， 则实数的取值范围是. 故选：D. 8．（2025高一·全国·专题练习）设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【解析】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）对于实数，，，下列命题是真命题的为（    ） A．若且，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【解析】因为，所以，故A错误； 因为，，所以，故B错误； 因为，所以，，所以，故C正确； 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，故D正确. 10．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B，由，可得，则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时， 即，，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时， 即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误． 11．（25-26高一上·江西上饶·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【解析】满足不等式的整数为， 对应，对应，对应， 满足不等式的区间为，故A正确； 当时，的取值为，令，不等式对恒成立， 时：； 时：； 时：； 时：； 综上可得，，故B错误； ，解得， 是整数，故无满足条件的整数解， 解集为，故C正确； 不等式的解集为，则， 令，不等式化为， 当时，，，则， ， 当时，需满足，解得， 综上可得，故D正确 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（26-27高一上·河北衡水·开学考试）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n，若n为整数，则n的值可以为____________．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一，2、3、4、5、6均可） 【解析】平行四边形的邻边3，4与对角线n构成三角形，根据三角形的性质： ，解得， 已知n为整数则n的值可以为：． 13．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【解析】因为，所以. ，当且仅当时等号成立. 14．（25-26高一上·四川成都·期中）若对，不等式恒成立，则的最小值为______． 【答案】 【解析】由于，不等式恒成立， 所以，且与有相同解，即， 令，则，. 将，代入，得： ， 设，由得，当且仅当时等号成立， 则上式变为， 当（即）时，取得最小值. 四、解答题（本大题共7小题，共77分） 15．（13分） （25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 16．（15分） （25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【解析】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 17．（15分） （25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 18．（17分） （26-27高一上·河南安阳·阶段检测）已知二次函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为， 当时，，此时不等式的解集为或， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为或， 综上：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； （2）当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为或 （3）当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是． 19．（17分） （26-27高一上·湖南怀化·开学考试）我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 【解析】(1)点是“靓点”，证明如下： 点为“靓点”， ， ，， 将代入上式，得， ， 点是“靓点”． (2)证明：将代入，得， 整理得， ， 判别式 ， ，， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， 方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又，两个不同的对应两个不同的， 函数的图象上总存在两个不同的“靓点”． (3)将代入得，， 整理得， 关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， 令，则方程有两个不相等的实数根，， ， 或， 将代入得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， （不符合题意，舍去）或， 的值为． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（25-26高一下·广东广州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 3．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， 最小值为2 B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知方程的根为和，则不等式成立时函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 6．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 7．（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）已知方程的两根分别为，，，若对于，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·专题练习）设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）对于实数，，，下列命题是真命题的为（    ） A．若且，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 11．（25-26高一上·江西上饶·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（26-27高一上·河北衡水·开学考试）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n，若n为整数，则n的值可以为____________．（写出一个即可） 13．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 14．（25-26高一上·四川成都·期中）若对，不等式恒成立，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共7小题，共77分） 15．（13分） （25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 16．（15分） （25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 17．（15分） （25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 18．（17分） （26-27高一上·河南安阳·阶段检测）已知二次函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分） （26-27高一上·湖南怀化·开学考试）我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上册数学单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（25-26高一下·广东广州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 3．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， 最小值为2 B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知方程的根为和，则不等式成立时函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 6．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 7．（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）已知方程的两根分别为，，，若对于，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·专题练习）设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）对于实数，，，下列命题是真命题的为（    ） A．若且，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 11．（25-26高一上·江西上饶·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（26-27高一上·河北衡水·开学考试）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n，若n为整数，则n的值可以为____________．（写出一个即可） 13．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 14．（25-26高一上·四川成都·期中）若对，不等式恒成立，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共7小题，共77分） 15．（13分） （25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 16．（15分） （25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 17．（15分） （25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 18．（17分） （26-27高一上·河南安阳·阶段检测）已知二次函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分） （26-27高一上·湖南怀化·开学考试）我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 第 2 页 共 2 页 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $