精品解析：福建省龙岩市“三校”2026-2027学年高二上学期10月协作联考数学试卷

2026-2027学年第一学期“三校”协作联考高二数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列为等差数列，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式求出，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解. 【详解】等差数列中，由，，得该数列公差， 因此，所以. 故选：C 2. 若直线与直线：之间的距离是，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】∵直线与直线之间的距离为， ，，或（负值舍去）． ． 3. 已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 4. 设公差不为0的等差数列的前项和为，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为是公差不为0 的等差数列，，所以，即， 所以. 5. 设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用举反例来作出既不充分也不必要条件的判断. 【详解】举反例：取，，满足， 但，，此时， 举反例：取（对应），（对应）， 满足，但， 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 6. 设是等比数列的前项和，若 ， ，则（      ） A. 21 B. 28 C. 49 D. 56 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，则， 又，代入解得， 则 . 7. 若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由表示圆的上半部分，数形结合确定直线到的距离大于3，到的距离小于等于3，再应用平行线的距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由，可得， 即表示圆的上半部分（包含与x轴交点），如下图， 当圆心到直线的距离， 可得或， 若时，和半圆相切， 若时，和半圆相切， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图知，要使曲线上存在两个点与直线的距离为3，且， 则直线必在的右下方，且与x轴、y轴的正半轴相交， 所以直线到的距离大于3，到的距离小于等于3， 即与的距离，则， 与的距离，则， 所以. 8. 已知圆，下列命题正确的是（   ） A. 对于任意的，点在圆外 B. 对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 C. 对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 D. 若，已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，则四边形的面积的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，先得到圆的方程，进而将点代入方程即可判断；对于BC，求出圆心到直线的距离，即可判断；对于D，先求出圆心为，半径为1，分析可得的最小值，进而得到四边形的面积为，进而求解判断即可. 【详解】对于A：取，则圆， 因为，所以点在圆上，故A错误； 对于B：由圆， 则圆心为，半径为1， 所以圆心到直线的距离为， 当时，，此时， 即此时不存在使直线与圆相切，故B错误； 对于C：对于任意的，令， 此时，即对于任意的，总存在使直线与圆相切，故C正确； 对于D：当时，圆，则圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为， 则的最小值为， 所以四边形的面积为， 故D错误. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条直线：与，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若直线的一个方向向量为，则 D. 当时，始终不过第四象限 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，变形后可得方程组，求出所过定点；B选项，时，两直线重合，B错误；C选项，根据直线的方向向量可得直线的斜率，从而得到，两直线不垂直；D选项，将直线转化为斜截式方程，可得始终不过第四象限. 【详解】对于A，直线，由得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，直线与直线重合，B错误； 对于C，由选项得直线的斜率，显然， 而，则有， 此时，斜率为，两直线斜率乘积不为， 直线与直线不垂直，C错误； 对于D，当时，， 因为，，所以直线经过第一、二、三象限， 可得始终不过第四象限，D正确． 10. 已知依次成等比数列，公比为，将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则下列正确的是（ ） A. 若，则删去任意一个数都可以 B. 若，则可以删去或 C. 若，删去，则 D. 若，删去，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据选项，利用等比数列的通项公式进行验证即可. 【详解】对于A，若，则均相等，公差为，删去其中的任意一个数，则剩下的三个数还相等，公差仍为，故A正确; 对于B，若删去或，都得到等差数列，则公比，故B错误; 对于C，若删去，则由，得， 由等比数列可知，所以，得， 又，所以，又，得,故C正确; 对于D，若删去，则由，得，又，所以， 因为是方程的根，提取公因式,得， 又，则可得，又，得，故D正确. 故选：ACD 11. 已知动圆与轴、轴均相交，且被、轴截得的弦长分别记为、，则下列说法正确的是（     ） A. 可以取任意实数 B. 满足的有无数个 C. 若圆心在上，则的最大值为 D. 若圆心在直线上，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据圆的弦长公式推导，与圆心的关系，再结合各选项的约束条件逐一判断正误. 【详解】的圆心，半径， 圆心到轴的距离为，到轴的距离为， 由圆的弦长公式，得，，且， 对于A，由，得，因此不能取任意实数，A错误； 对于B，由，得，则，即， 又，因此符合条件的圆心有无数个， B正确； 对于C，由圆心在⊙上，得，则， ， ，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，当时，，即， 当且仅当时取等号，由圆心在直线上，得且， ， 当且仅当时两个等号同时成立，因此的最大值为，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前项和为________. 【答案】 【解析】 【详解】已知数列，该数列的通项为：， 前 99 项和为：. 13. 对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【解析】 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 14. 记表示大于的最小整数，如：，，数列满足，，，记，则数列的前2026项和为_________. 【答案】4062 【解析】 【分析】首先对递推式进行变形，根据累加法求得，进而得到，再利用题目所给的定义算出数列各项的值，从而得到数列的前2026项和. 【详解】由，则， 设，则，且， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，所以， 可得，，，，， 累加可得：， 则，， 显然满足上式，则. 依题意，， 设， 当时，，即，所以， 因此当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，， 当时，. 综上所述，数列的前2026项和. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论； （2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论. 【详解】（1）设的公比为，为的等差中项， ， ； （2）设的前项和为，， ，① ，② ①②得， ， . 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题. 16. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程． （2）在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①角的平分线所在的直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． ______，求直线的方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 若选①：直线的方程为． 若选②：直线的方程为． 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，先求出直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线的方程. （2）选①的情况：先联立直线与角平分线的方程求出点的坐标，再利用对称点的性质求出点关于角平分线的对称点的坐标，最后根据两点的斜率公式求出直线的斜率，进而得到直线的方程. 选②的情况：先联立直线与边上中线的方程求出点的坐标，然后根据中点坐标公式及中点在边上中线所在直线上，得到点满足的方程，再结合在边上高所在直线上，联立求出点的坐标，最后根据两点的斜率公式求出直线的斜率，从而得到直线的方程. 【小问1详解】 因为边上的高所在的直线方程为， 转化为斜截式，其斜率为， 所以直线的斜率为， 又的顶点，所以直线的方程为， 即． 【小问2详解】 若选①：角的平分线所在的直线方程为， 由解得，所以点． 设点 关于的对称点， 则 解得所以点， 又点在直线上，所以， 所以直线的方程为，即． 若选②：边上的中线所在的直线方程为， 由解得所以点． 设点，则的中点在直线上， 所以，即， 所以点在直线上， 因为边上的高所在的直线方程为且边上的高一定过点 所以点在直线上， 由解得即点， 所以， 所以直线的方程为，即． 17. 已知等差数列的首项，公差为．记的前n项和为，． （1）求通项及； （2）若公差，求所有的正整数，使得为中的某一项. 【答案】（1），或， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的前n项和与数列通项的关系，结合等差数列的定义即可求解； （2）根据数列的通项公式，化简代数式，通过枚举即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以或， 当时，则， 当时，得，所以. 【小问2详解】 当公差时，，则， 因此有， 故若使得为中的某一项，则必为整数，而对正整数,， 结合的取值可为、，，，，，，可得或， 则或， 当时，不是中的一项， 当时，是中的第8项， 所以只有符合题意. 18. 已知圆经过、两点，圆心在直线:上. （1）求圆的方程； （2）设平行于的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程； （3）设点满足：存在圆上的点，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【小问1详解】 设圆心，半径为，则圆的标准方程为， 依题意得：解得：， 故所求圆的方程为， 【小问2详解】 因为直线平行于，所以直线的斜率为， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 因为， 又，所以，解得或， 故直线的方程为或. 【小问3详解】 依题意知、、， 设，则，， 由得，整理得， 所以点在直线上， 于是点既在直线上， 又在圆:上， 依题意：圆:上存在点，等价于该直线与圆有公共点， 即圆心到直线的距离， 即，即，得，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知数列的首项，，. （1）求的通项公式； （2）证明：对任意的，，； （3）证明：. 【答案】（1） （2）证明见详解 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意整理可得，结合等比数列分析运算； （2）由（1）整理可得，结合不等式分析证明； （3）由（2）整理可得，取，结合等比数列分析证明. 【小问1详解】 因为，则， 整理得，且， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以. 【小问2详解】 因为 由（1）可知：， 且，则，可得， 所以. 【小问3详解】 由（2）可得：对任意的，， 则 ， 取，可得， 所以， 又因为，所以， 故. 【点睛】方法点睛：数列与函数、不等式的综合问题的常见题型 （1）数列与函数的综合问题主要有以下两类： ①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形． （2）数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期“三校”协作联考高二数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列为等差数列，且，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线：之间的距离是，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 设公差不为0的等差数列的前项和为，，则为（ ） A. B. C. D. 5. 设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设是等比数列的前项和，若 ， ，则（      ） A. 21 B. 28 C. 49 D. 56 7. 若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，下列命题正确的是（   ） A. 对于任意的，点在圆外 B. 对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 C. 对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 D. 若，已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，则四边形的面积的最小值为 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条直线：与，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若直线的一个方向向量为，则 D. 当时，始终不过第四象限 10. 已知依次成等比数列，公比为，将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则下列正确的是（ ） A. 若，则删去任意一个数都可以 B. 若，则可以删去或 C. 若，删去，则 D. 若，删去，则 11. 已知动圆与轴、轴均相交，且被、轴截得的弦长分别记为、，则下列说法正确的是（     ） A. 可以取任意实数 B. 满足的有无数个 C. 若圆心在上，则的最大值为 D. 若圆心在直线上，则的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前项和为________. 13. 对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 14. 记表示大于的最小整数，如：，，数列满足，，，记，则数列的前2026项和为_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程． （2）在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①角的平分线所在的直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． ______，求直线的方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 已知等差数列的首项，公差为．记的前n项和为，． （1）求通项及； （2）若公差，求所有的正整数，使得为中的某一项. 18. 已知圆经过、两点，圆心在直线:上. （1）求圆的方程； （2）设平行于的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程； （3）设点满足：存在圆上的点，使得，求实数的取值范围. 19. 已知数列的首项，，. （1）求的通项公式； （2）证明：对任意的，，； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $