2026-2027学年人教版九年级上册第一次学情自测数学试卷

2026-2027学年九年级数学上学期 第一次月考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为：． 【详解】、是一元一次方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 、等号左边是分式，不是整式，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 、中有个未知数，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 、是一元二次方程，此选项符合题意； 故选：． 2．下列运动图标是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 3．对于二次函数，下列说法中正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．函数的最大值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时y随x的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确 【详解】解：A．∵二次函数，， ∴该函数图象开口向上，故选项A正确； B．函数的最小值为1，故选项B错误； C．函数图象的对称轴为直线，故选项C错误； D．当时y随x的增大而减小，故选项D错误； 故选：A． 4．抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数平移的规律：左加右减上加下减，即可得到答案．本题考查二次函数的平移，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度， ∴， 故选：C． 5．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方根的判别式，解不等式，一元二次方程的定义等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 根据根的情况和一元二次方程的定义，列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 当，即时，不符合题意， ∴， 综上，且， 故选：D． 6．已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴二次函数图象上的点离对称轴越远，的值越小， ∵，，，且， ∴， 故选：D． 7．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程．找准等量关系是解题的关键． 根据两轮传播后，共有111人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加， 由题意，得：； 故选：C． 8．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数图象的性质，做题时会用数形结合的思想进行思考，从而判断函数解析式中各系数的正负性是解题的关键．由一次函数和二次函数图象的性质，可以判断、的正负情况，从而解答本题． 【详解】解：A、由抛物线的开口方向可知，，对称轴，得，即，由一次函数的图像可知，，两者矛盾，故本选项不符合题意； B、由抛物线的开口方向可知，，对称轴，得，即，由一次函数的图像可知，，两者矛盾，故本选项不符合题意； C、由抛物线的开口方向可知，，对称轴，得，即，由一次函数的图像可知，，两者一致，故本选项符合题意； D、由抛物线的开口方向可知，，对称轴，得，即，由一次函数的图像可知，，两者矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．如图，在边长为8的正方形中，点，分别为，边上的点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，过点作于点，由正方形的性质可得，证明，得出，，从而得出，，再证明，得出，，由勾股定理可得，从而可得，，再由直角三角形的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 10．关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一个根是； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程的两个根为，且满足，则方程，必有实数根． 其中，正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，求根公式． 直接将代入即可判断说法①；根据根的判别式即可判断说法②；根据求根公式即可判断说法③；根据根与系数的关系得到，则方程可化为，求解方程即可判断说法④． 【详解】解：说法①：若， 则当时，， ∴是方程的根，故①正确； 说法②：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，故②正确； 说法③：∵是一元二次方程的根， ∴， ， ∴，故③正确； 说法④：∵方程两根为， ∴， ， ∴方程可化为：， 即：， ∴， ∴或，故④正确； 综上所述，四个说法都正确． 故选：D． 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．已知、分别是方程的两根，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系，熟练掌握基础知识是解题的关键． 由根与系数的关系可得；利用方程解的定义，将用表示，代入代数式化简后求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． ∴． 又∵，是方程的两根， ∴． ∴原式． 故答案为：． 12．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是___． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的定义求m的值即可. 【详解】∵是一元二次方程 解得 故答案为1 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，一定要注意二次项系数不能为0. 13．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，点在轴上，的面积为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义以及三角形面积的等积变换，利用轴得到与面积相等是解题的关键． 连接、，设与轴相交于点，由点在反比例函数的图象上得，由轴得， 从而得，即可得，解得，由反比例函数的图象位于第二象限可知，故． 【详解】解：如图，连接、，设与轴相交于点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，点在轴上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴，解得， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 14．若实数x，y同时满足，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，不等式，乘方，二元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 通过分析方程中的绝对值，确定y必须为负数，然后解方程组求得x和y的值，最后计算幂运算． 【详解】解：由方程，得 ，故． 由得 ， 若，则，代入得 ， ∵， ∴，即，与矛盾，故． 当时，，方程化为： ， ∴ 代入得： 验证：，，符合条件． 故． 故答案为：． 15．如图，在平行四边形中，于点，平分并交于点，，平分并交于点，，连接，若平行四边形的面积为26，则长为_____，长为_____． 【答案】 【分析】先利用角平分线和平行线性质，得出，结合平行四边形边的关系及面积求出；再通过作辅助线构造特殊三角形，利用角平分线、平行关系推出角度，结合等腰直角三角形性质，设未知数，根据边的关系列等式求出． 【详解】平分， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ，， ， 平行四边形的面积为， ， ， 如图，延长交于，过作于点， ，平分， ，， ， ，， ，， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ，， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， 设，则， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， （负值已经舍去）， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等，以及利用角的关系推导边的关系、构造特殊三角形求解是解题的关键． 16．一个各数位上数字均不相等且不为0的四位自然数，若满足的结果是一个完全平方数，则称这个四位数为“差方数”．例如：四位数5236，，是“差方数”．若是一个“差方数”，则的最大值是_____；若是一个“差方数”，设，，且是整数，则满足条件的的最小值是_____． 【答案】 9873 2415 【分析】根据“差方数”的特点，求出满足条件的的最大值即可；先根据题意求出，，代入求出，然后根据“差方数”的特点，从最小的“差方数”开始，依次进行验证，找出符合条件的数即可． 【详解】解：∵是一个“差方数”， ∴要使取最大值，则千位上的数取最大值9，百位上的值取8，十位上的数字取7， 又∵， ∴的最大值是9873； ∵， ∴， ， ∴ ， ∵是一个“差方数”， ∴的结果是一个完全平方数， ∴，即， 又∵各数位上数字均不相等且不为0， ∴要使M最小，则的最小值为2，的最小值为1，b的最小值为3， ∵当时，， ∴是“差方数”， 把，，，代入得：，不是整数，不符合题意； ∵当时，， ∴“差方数”， 把，，，代入得：，不是整数，不符合题意； ∴b取最小值为3时，没有符合题意的“差方数”； 取最小值2，取最小值1，b取4， 当时，， ∴“差方数”， 把，，，代入得：，是整数，符合题意； ∴M的最小值为2415． 故答案为：9873． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，用分类讨论的思想，解决问题． 三、解答题（本题共9小题，共86分．第17-18题每题8分，第19-25题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列方程： （1）（x＋3）2－9＝0； （2）x2＋2x－3＝0． 【答案】（1）x1＝－6，x2＝0；（2）x1＝－3，x2＝1． 【分析】(1)根据题意直接利用因式分解法进行方程的求解即可； (2)根据题意直接进行十字交叉相乘利用因式分解法进行方程的求解即可. 【详解】(1)解： (x＋3＋3)(x＋3－3)＝0． (x＋6)x＝0， x＋6＝0或x＝0， ∴x1＝－6，x2＝0． (2)解： (x＋3)(x－1)＝0， x＋3＝0或x－1＝0， ∴x1＝－3，x2＝1． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握并灵活运用一元二次方程的各种解法是解题的关键. 18．先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：                      ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 19．为加快智慧校园建设，学校举行了趣味数学答题机解题比赛，现从七、八年级参加比赛的学生中各随机抽取名同学的成绩进行收集、整理、描述、分析成绩共分为四组（成绩用表示：；；：：单位：分） 七年级名同学的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名同学成绩在组的数据是：，，，，，，． 七、八年级所抽学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生解题比赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有名学生、八年级有名同学参加了此次趣味数学答题机解题比赛，估计该校七、八年级参加解题比赛的成绩为优秀的学生人数一共是多少？ 【答案】(1)，， (2)七年级学生解题比赛的成绩较好，理由： 虽然两个年级的平均数相同，但七年级学生成绩的中位数和众数均比八年级的高，所以七年级学生解题比赛的成绩较好． (3)名 【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义可得、的值；用“1”分别减去其它部分占比可得的值； （2）根据平均数和中位数的意义解答即可； （3）分别用七年级和八年级参赛学生人数乘对应的成绩优秀的人数占比，相加即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， 即． 八年级组有（人），组有（人）， 故八年级的中位数； 在被抽取的七年级名学生的解题比赛成绩中，分出现的次数最多，故众数； 故答案为：，，； （2）略 （3）解：（名）， 答：估计该校七、八年级参加解题比赛的成绩为优秀的学生人数一共是名． 【点睛】本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，用样本估计总体． 20．在学习了平行四边形的性质，小西和小北进行了拓展探究．如图，在中，点E是上的一点，且． (1)作的平分线交于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，小西猜测四边形是菱形，小北写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵平分， ∴ ① ． ∵在中，， ∴ ② ， ∴， ∴ ③ ． ∵， ∴ ④ ． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 小西和小北经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形的任意一组内角的平分线 ⑤ ． 【答案】(1) 如图：即为所求； (2)①；②；③；④；⑤互相垂直 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． （1）根据画角平分线的方法即可； （2）根据角平分线的定义得，平行四边形的性质和平行线的性质可得，由得可得，进而得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进一步证明结论． 【详解】（1）略 （2）证明：∵平分， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 平行四边形的任意一组邻角的平分线：相互垂直， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即平行四边形的任意一组邻角的平分线相互垂直． 故答案为：①；②；③；④；⑤互相垂直． 21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件． (1)若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？ (2)若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 【答案】(1)36元 (2)20元；2880元 【分析】本题主要考查了二次函数、一元二次方程的实际应用、二次函数的性质等知识，正确建立一元二次方程和函数解析式是解题的关键． （1）设每件衬衫应降价x元 ，则每件盈利元，每天可以售出 ，所以此时商场平均每天要盈利元 ，根据商场平均每天要盈利为1600元列出方程求解即可； （2）设商场平均每天盈利y元 ，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x元之间的函数关系为 ： ，用“配方法”求出该函数的最大值 ，并求出降价多少即可． 【详解】（1）解 ：设每件衬衫应降价x元 ，则每件盈利元 ，每天可以售出， 由题意 ，得： ， 即 ：， 解得： ， 为了扩大销售量 ，增加盈利 ，尽快减少库存 ，所以x的值应为36． 答：若商场平均每天要盈利1600元 ，每件衬衫应降价36元． （2）解 ：设商场平均每天盈利y元 ，每件衬衫应降价x元 ， 由题意 ，得 ， 当元时，该函数取得最大值2880元． 答：该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价20元，盈利最大是2880元． 22．如图1，在中，，，，为上一点，，动点从出发，沿方向运动，到达点时停止运动，连接，，设点走过的路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，请直接写出常数的取值范围． 【答案】(1) (2) 如图所示，即为所求； 由函数图象可知，当时，y有最大值； (3)或 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，动点问题的函数图象： （1）先利用勾股定理求出，则，再分点P在和上两种情况，过点作于，解直角三角形求出，进而根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，进而写出对应的函数图象性质即可； （3）根据（2）的图象，分两种情况讨论，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵ ∴； 当，即点在上时，过点作于， 由题意得：， ∴， ∴； 当，即点在上时， ∴ ∴； 综上所述，； （2）解：列表格如下： x 0 2 6 y 6 0 如图所示，即为所求； 由函数图象可知，当时，y有最大值； （3）如图所示， 当经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点， 即，解得 当经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点， 即，解得 根据函数图象，可得当时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点， 综上所述：或时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点 23．为了进一步美化两江新区鹿山公园绿化环境，公园管理委员会计划种植A、B两种名贵树苗，于是在今年11月购买了40株A树苗和50株B树苗，共花费了4300元，已知A树苗的单价比B树苗的单价少5元． (1)请问11月份A、B两种树苗的单价分别是多少元？ (2)由于A、B两种树苗种植效果较好，公园管理委员会决定12月份再购买A、B两种树苗进行种植，且这次购买两种树苗的数量相同，由于市场原因，此时两种树苗的单价都有所上涨，A树苗上涨后的单价比B树苗上涨后的单价少10元，12月份购买A树苗花了2800元，购买B树苗花了3360元．请问A树苗上涨了多少元？ 【答案】(1)A树苗的单价是45元，B树苗的单价是50元 (2)A树苗上涨了5元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程是解题的关键． （1）设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为元，然后根据题意解一元一次方程求解即可； （2）设12月份 A 树苗上涨后的单价为y元，则 B 树苗上涨后的单价为元，根据题意列分式方程可得，进而求得A树苗上涨的情况． 【详解】（1）解：设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 则元． 答：A树苗的单价是45元，B树苗的单价是50元． （2）解：设12月份 A 树苗上涨后的单价为y元，则 B 树苗上涨后的单价为元． 由题意可得： ， 解得：． 经检验，是分式方程的解． 所以A 树苗上涨的金额：元． 答：A树苗上涨了5元． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，点为轴上一动点，点为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)或 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，连接，，作点关于轴的对称点，连接，设点的坐标为，先求出直线的函数解析式为，则点的坐标为，使用割补法表示出的面积，得到关于的关系式，求出的面积最大时，点的坐标，从而得到点的坐标．由轴对称的性质可得，，，因此．根据两点之间，线段最短，可得当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值，使用勾股定理计算即可； （3）根据题意可得，抛物线由抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到，则．当点在直线下方时，作射线交轴于点，容易证明，则点的坐标为，求出的函数解析式，再与抛物线联立，求出点的坐标．当点在直线上方时，作，且，容易证明，从而得到点的坐标为，经过分析可得，点即为所求的点． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，连接，，作点关于轴的对称点，连接，设点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， ∴点的坐标为， 由轴对称的性质可得，，， ∴ 由线段公理可得，， ∴当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为； （3）解：①当点在直线下方时，如图，作射线交轴于点，设点平移到点处，作，垂足为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由题意可知，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴抛物线由抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为； ②当点在直线上方时，如图，作，且， ∴射线与抛物线的交点即为点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴点在抛物线上， ∴点即为所求的点， ∴点坐标为； 综上所述，点坐标为或； 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，函数的平移规律，解一元二次方程，轴对称的性质，线段和最值问题，熟练掌握相关知识是关键． 25．在中，，，点为直线上一点，连接． (1)如图1，若点在边上，且满足，求的长； (2)如图2，若点为延长线上一点，点为中点，连接，在射线上取点满足，点在直线左侧，连接，，且，若，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，点为的中点，，点为直线上任意一点，连接，将沿翻折得，连接，当最小时，将沿翻折得，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作，，先求出的长，再表示，，求出的长，最后勾股定理计算即可； （2）延长到点H，使得，连接，延长到点G，使得，连接，，先证，再证，再证，得，证三点共线，再求，即可得答案； （3）作垂直于，交的延长线与点F，作，先分析出点在以D为圆心，长为4半径的圆上运动，即当共线时，长度最小，再求出的长，再证出，求出，求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如下图，作，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ； （2）如下图，延长到点H，使得，连接，延长到点G，使得，连接，， 作， 点E为中点， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 三点共线， ， ， ， ， ； （3）作垂直于，交的延长线与点F，作， 点D为的中点，， ， 由题意可知，， 点在以D为圆心，长为4半径的圆上运动，即当共线时，长度最小， ， ， ， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，翻折，解题的关键作合适的辅助线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期 第一次月考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．下列运动图标是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．对于二次函数，下列说法中正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．函数的最大值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时y随x的增大而增大 4．抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 6．已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为8的正方形中，点，分别为，边上的点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．9 10．关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一个根是； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程的两个根为，且满足，则方程，必有实数根． 其中，正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．已知、分别是方程的两根，则代数式的值为___________． 12．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是___． 13．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，点在轴上，的面积为，则的值为___________． 14．若实数x，y同时满足，，则的值为______． 15．如图，在平行四边形中，于点，平分并交于点，，平分并交于点，，连接，若平行四边形的面积为26，则长为_____，长为_____． 16．一个各数位上数字均不相等且不为0的四位自然数，若满足的结果是一个完全平方数，则称这个四位数为“差方数”．例如：四位数5236，，是“差方数”．若是一个“差方数”，则的最大值是_____；若是一个“差方数”，设，，且是整数，则满足条件的的最小值是_____． 三、解答题（本题共9小题，共86分．第17-18题每题8分，第19-25题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列方程： （1）（x＋3）2－9＝0； （2）x2＋2x－3＝0． 18． 先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 19．为加快智慧校园建设，学校举行了趣味数学答题机解题比赛，现从七、八年级参加比赛的学生中各随机抽取名同学的成绩进行收集、整理、描述、分析成绩共分为四组（成绩用表示：；；：：单位：分） 七年级名同学的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名同学成绩在组的数据是：，，，，，，． 七、八年级所抽学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生解题比赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有名学生、八年级有名同学参加了此次趣味数学答题机解题比赛，估计该校七、八年级参加解题比赛的成绩为优秀的学生人数一共是多少？ 20．在学习了平行四边形的性质，小西和小北进行了拓展探究．如图，在中，点E是上的一点，且． (1)作的平分线交于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，小西猜测四边形是菱形，小北写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵平分， ∴ ① ． ∵在中，， ∴ ② ， ∴， ∴ ③ ． ∵， ∴ ④ ． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 小西和小北经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形的任意一组内角的平分线 ⑤ ． 21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件． (1)若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？ (2)若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 22．如图1，在中，，，，为上一点，，动点从出发，沿方向运动，到达点时停止运动，连接，，设点走过的路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，请直接写出常数的取值范围． 23．为了进一步美化两江新区鹿山公园绿化环境，公园管理委员会计划种植A、B两种名贵树苗，于是在今年11月购买了40株A树苗和50株B树苗，共花费了4300元，已知A树苗的单价比B树苗的单价少5元． (1)请问11月份A、B两种树苗的单价分别是多少元？ (2)由于A、B两种树苗种植效果较好，公园管理委员会决定12月份再购买A、B两种树苗进行种植，且这次购买两种树苗的数量相同，由于市场原因，此时两种树苗的单价都有所上涨，A树苗上涨后的单价比B树苗上涨后的单价少10元，12月份购买A树苗花了2800元，购买B树苗花了3360元．请问A树苗上涨了多少元？ 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，点为轴上一动点，点为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 25．在中，，，点为直线上一点，连接． (1)如图1，若点在边上，且满足，求的长； (2)如图2，若点为延长线上一点，点为中点，连接，在射线上取点满足，点在直线左侧，连接，，且，若，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，点为的中点，，点为直线上任意一点，连接，将沿翻折得，连接，当最小时，将沿翻折得，连接，请直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $