2026-2027学年北师大版九年级数学上册第一二章月考卷

北师大版九年级数学上册 第一、二章月考卷 （考查范围：第一章 特殊平行四边形　第二章 一元二次方程） （满分 100 分 考试时间 90 分钟） 班级：____________ 姓名：____________ 成绩：____________ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项） 1．下列命题中，是真命题的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x² ＋ 1/x ＝ 0　　B．(x－1)(x＋2) ＝ x² C．3x² － 2x ＝ 0　　D．ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0（a、b、c 为常数） 3．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AC＝8，BD＝6，则菱形 ABCD 的边长为（　　） A．6　　B．5　　C．7　　D．10 4．已知 x＝2 是关于 x 的一元二次方程 x² － 3x ＋ m ＝ 0 的一个根，则 m 的值为（　　） A．3　　B．1　　C．－2　　D．2 5．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，∠AOB＝60°，AB＝4，则对角线 AC 的长为（　　） A．4　　B．6　　C．8　　D．4√3 6．关于 x 的一元二次方程 x² － 2x ＋ m ＝ 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m＜1　　B．m≤1　　C．m＞1　　D．m≥1 7．顺次连接四边形 ABCD 各边的中点，所得的四边形一定是（　　） A．平行四边形　　B．矩形　　C．菱形　　D．正方形 8．已知 x₁、x₂ 是方程 x² － 5x － 3 ＝ 0 的两个实数根，则 x₁ ＋ x₂ － x₁x₂ 的值为（　　） A．2　　B．－2　　C．－8　　D．8 9．用配方法解一元二次方程 x² － 6x － 7 ＝ 0，配方后所得的方程是（　　） A．(x－3)² ＝ 16　　B．(x－3)² ＝ 2 C．(x＋3)² ＝ 16　　D．(x－6)² ＝ 43 10．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝10，点 E 是边 CD 上一点，将△ADE 沿 AE 翻折，使点 D 恰好落在边 BC 上的点 F 处，则 DE 的长为（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．一元二次方程 3x(x－1) ＝ 5x ＋ 2 化为一般形式后，二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________。 12．一个菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长是__________，面积是__________。 13．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 100 元降到每件 81 元。若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是__________。 14．若关于 x 的方程 x² ＋ 3x ＋ k ＝ 0 的一个根是 －1，则它的另一个根是__________，k 的值是__________。 15．如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 的长为 4√2，则正方形 ABCD 的边长为__________，面积为__________。 16．若 a、b 是一元二次方程 x² ＋ x － 2024 ＝ 0 的两个实数根，则 a² ＋ 2a ＋ b 的值为__________。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 52 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）x² － 4x － 5 ＝ 0；　　（2）2x² － 5x ＋ 1 ＝ 0。 18．（8 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE∥BD，BE∥AC，AE 与 BE 相交于点 E。求证：四边形 AOBE 是菱形。 19．（9 分）某商店销售一种商品，进价为每件 40 元，当售价为每件 50 元时，每月可售出 500 件。市场调查发现：售价每上涨 1 元，每月的销售量就减少 10 件。若该商店希望每月销售这种商品的利润为 8000 元，则售价应定为每件多少元？ 20．（9 分）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 B′ 处，AB′ 与 CD 相交于点 E。求证：△AEC 是等腰三角形（即 AE＝CE）。 21．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x² － (2k＋1)x ＋ k² ＋ k ＝ 0。 （1）求证：无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根分别为 x₁、x₂，且 x₁² ＋ x₂² ＝ 13，求 k 的值。 22．（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6 cm，BC＝8 cm。点 P 从点 A 出发，沿 AB 边以 1 cm/s 的速度向点 B 运动；同时点 Q 从点 B 出发，沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 运动。当点 Q 到达点 C 时，两点同时停止运动。设运动时间为 t（s）。 （1）当 t＝2 时，求线段 PB 与 BQ 的长； （2）当 t 为何值时，△PBQ 的面积等于 8 cm²？ （3）△PBQ 的面积能否等于 10 cm²？请通过计算说明理由。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．B　　2．C　　3．B　　4．D　　5．C　　6．A　　7．A　　8．D　　9．A　　10．C 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．3，－8，－2　　12．20，24　　13．10%　　 14．－2，2　　15．4，16　　16．2023 【第 10 题解析】由翻折的性质，得 AF＝AD＝BC＝10，EF＝DE。在 Rt△ABF 中，BF＝√(AF²－AB²)＝√(10²－8²)＝6， ∴ CF＝BC－BF＝10－6＝4。设 DE＝x，则 EC＝CD－DE＝8－x。 在 Rt△ECF 中，由勾股定理得 (8－x)²＋4²＝x²，解得 x＝5，即 DE＝5。故选 C。 【第 16 题解析】∵ a 是一元二次方程的根，∴ a²＋a－2024＝0，即 a²＝2024－a。 ∴ a²＋2a＋b＝(2024－a)＋2a＋b＝2024＋(a＋b)。由根与系数的关系，a＋b＝－1，∴ 原式＝2024－1＝2023。 三、解答题（共 52 分） 17．（8 分） （1）因式分解，得 (x－5)(x＋1)＝0，∴ x₁＝5，x₂＝－1。……（4 分） （2）a＝2，b＝－5，c＝1，Δ＝(－5)²－4×2×1＝25－8＝17＞0， ∴ x＝(5±√17)/4，即 x₁＝(5＋√17)/4，x₂＝(5－√17)/4。……（8 分） 【解析】第（1）问一次项系数为偶数，用因式分解（或配方）较简便；第（2）问二次项系数不为 1，用公式法最稳妥。 18．（8 分） 证明：∵ AE∥BD，BE∥AC， ∴ 四边形 AOBE 是平行四边形。……（3 分） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AC＝BD，且 OA＝½AC，OB＝½BD，……（5 分） ∴ OA＝OB。……（6 分） ∴ 平行四边形 AOBE 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。……（8 分） 【解析】本题的关键是把“矩形对角线相等且互相平分”转化为 OA＝OB，再依据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明。 19．（9 分） 设售价上涨 x 元。由题意，每件商品利润为 (10＋x) 元，每月销售量为 (500－10x) 件， ∴ (10＋x)(500－10x)＝8000。……（4 分） 整理，得 x²－40x＋300＝0，……（5 分） 解得 x₁＝10，x₂＝30。……（7 分） ∴ 售价应定为每件 60 元或 80 元。……（9 分） 【解析】以“上涨的价钱”为未知数建立方程较为简洁；两个根都符合实际意义，若题目另有限制（如“尽快减少库存”），应选售价较低、销量较大的 60 元。 20．（9 分） 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AB∥CD，∴ ∠BAC＝∠ACD。……（3 分） 由折叠可知 ∠B′AC＝∠BAC，……（5 分） ∴ ∠B′AC＝∠ACD，即 ∠EAC＝∠ACE。……（7 分） ∴ AE＝CE，∴ △AEC 是等腰三角形。……（9 分） 【解析】折叠问题要抓住折痕两侧的图形全等，得到对应角相等，再借助矩形的平行关系进行角的转化。 21．（8 分） （1）证明：Δ＝[－(2k＋1)]²－4×1×(k²＋k)＝4k²＋4k＋1－4k²－4k＝1＞0，……（3 分） ∴ 无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根。……（4 分） （2）由根与系数的关系，x₁＋x₂＝2k＋1，x₁x₂＝k²＋k。……（5 分） ∵ x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂＝13， ∴ (2k＋1)²－2(k²＋k)＝13，……（6 分） 整理，得 k²＋k－6＝0，解得 k₁＝2，k₂＝－3。……（8 分） 【解析】第（1）问判别式的值与 k 无关，恒为 1；第（2）问把 x₁²＋x₂² 变形为 (x₁＋x₂)²－2x₁x₂ 是常用技巧。 22．（10 分） （1）当 t＝2 时，PB＝AB－AP＝6－1×2＝4（cm），BQ＝2×2＝4（cm）。……（3 分） （2）由题意，PB＝(6－t) cm，BQ＝2t cm， ∴ S△PBQ＝½·PB·BQ＝½(6－t)·2t＝t(6－t)。……（5 分） 令 t(6－t)＝8，得 t²－6t＋8＝0，解得 t₁＝2，t₂＝4。……（7 分） ∵ 点 Q 到达点 C 时停止运动，∴ t 的取值范围为 0≤t≤4， ∴ 当 t＝2 或 t＝4 时，△PBQ 的面积等于 8 cm²。……（8 分） （3）不能。理由：令 t(6－t)＝10，得 t²－6t＋10＝0。……（9 分） ∵ Δ＝(－6)²－4×1×10＝－4＜0，∴ 该方程没有实数根， 即 △PBQ 的面积不能等于 10 cm²。……（10 分） 【解析】动点问题要先根据“谁先到达终点”确定 t 的取值范围（本题 0≤t≤4）；第（3）问用一元二次方程根的判别式判断“存在性”。 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $