第二十六章 《二次函数》单元复习卷2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章 《二次函数》 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先排除非整式的选项，再根据自变量最高次数判断剩余选项． 【详解】解：A选项自变量最高次数为1，是一次函数，不符合． B选项符合二次函数定义，符合． C选项与D选项的分母均含自变量，不是整式函数，不符合． 2．关于二次函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向上 B．函数图象的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而增大 D．该函数的最大值是5 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，逐项判断，即可． 【详解】解：∵， ∴函数图象的开口向上，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴函数图象的顶点坐标是，对称轴为直线，故B选项正确，不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，该函数的最小值是5，故C选项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意； 3．将配方成的形式，结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 4．设二次函数，下表列出了x与y的6对对应值，根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（     ） x 0 1 2 3 4 y 5 13 23 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格得 当时，， 当时，， 一元二次方程的一个解的大致范围是． 5．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移． 【详解】解：将抛物线先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得． 6．小颖在一次比赛中观察到铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系式为，当铅球的飞行高度为时，铅球此时的水平距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将飞行高度代入函数关系式，得到关于的一元二次方程，解该方程即可得到水平距离．由于水平距离应为正数，舍去负根． 【详解】解：对于， 令，得， 整理得：， 解得或， ∵水平距离， ∴． 7．已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 8．在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象的性质，牢记解析式的系数与图象的关系是解题的关键；分别分析当时和当时，函数图象的开口方向和顶点位置，函数的图象所经过的象限，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意， 当时，函数开口向上，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而增大，并且过点，即图象应该过第一、二、三象限； 当时，函数开口向下，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而减小，并且过点，即图象应该过第一、二、四象限； 分析选项可得，只有D选项符合题意． 9．如图，正方形的边长为，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点停止运动；另一动点同时从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点停止运动．设点运动时间为，△的面积为，则关于的函数图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据正方形的边长与动点、的速度可知动点始终在边上，而动点可以在边、边、边上，再分三种情况进行讨论：①；②；③，分别求出关于的解析式，然后根据函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：由题意可得． ①时，点在边上，， 则△的面积，解得；故选项错误； ②时，点在边上，则△的面积，解得；故选项错误； ③时，点在边上，，则△的面积， 解得；故选项错误． 综上所述，只有选项符合． 10．已知抛物线（）的对称轴为直线，其部分图象如图所示． ①； ②； ③； ④对于任意实数，有； ⑤若点在抛物线上，且方程的两个根为，（），则． 上述结论中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由图象可得，当时，，当时，，即可判断②③；由图象可得，当时，取得最小值，对于任意实数，有，即可判断④；由题意得到二次函数与直线的一个交点为，根据对称性得到另一个交点为，则，，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线（）的对称轴为直线， ∴，故①正确， ∴． 由图象可得，当时，， ∴， ∴， ∴，故②正确． 由图象可得，当时，， ∴， ∴， ∴，故③错误． 由图象可得，当时，取得最小值， ∴对于任意实数，有， ∴，故④正确． ∵点在抛物线上，且方程的两个根为，（）， ∴二次函数与直线的一个交点为， ∵二次函数的图象对称轴为直线， ∴二次函数与直线的另一个交点为， ∴，， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②④⑤，共4个． 2、 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．如果点在抛物线上，那么__________． 【答案】 【分析】将点的横坐标代入解析式即可求出纵坐标． 【详解】解：将代入，得． 12．抛物线，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是_______ ． 【答案】 【分析】抛物线的对称轴为直线，根据对称轴、二次函数的性质及题意即可确定m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且二次项系数为正数1， ∴当时，y随x增大而减小， ∵当时，y随x增大而减小， ∴， 即． 13．若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得且， ． 14．如图，一次函数（）的图象与抛物线（）相交于A，B两点，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】关于x的不等式的解集就是二次函数的图象在一次函数的图象上方的部分，根据图象得出对应的自变量的取值范围即为不等式解集． 【详解】解：由图可知，二次函数的图象在一次函数的图象上方的部分位于交点左边和交点右边，交点、横坐标分别是、， ∴关于x的不等式的解集为或． 15．如图，在中，，，，点P从点A开始沿向B以的速度移动，点Q从点B开始沿向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间_____时，的面积最大为． 【答案】2 【分析】根据题意求出的取值范围，表示出的长度，然后列出三角形面积关于时间的二次函数，根据二次函数的顶点式，确定最值． 【详解】解：当点运动到点时，；当点运动到点时，， ∴， 根据题意得，，， ∴， ∴当时，的面积最大为． 16．定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”．例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． 下列说法正确的序号是_______． ①函数的“不动点”为和； ②二次函数的一个“不动点”和一次函数的“不动点”相同，则； ③若二次函数的图象上存在两个“不动点”、，若，则； ④已知二次函数，直线：，将该二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方，其余部分图象不变得到一个新的函数图象，若新的函数图象上恰有3个“不动点”，则的值为或． 【答案】 ② 【分析】通过联立方程求解不动点，判断错误；通过一次函数的不动点代入二次函数求参数，判断正确；通过联立方程和距离公式求参数，判断错误；通过翻折后新函数与的交点个数求参数，判断错误即可. 【详解】解：∵“不动点”是函数与的交点， 联立和，得，即， 解得或， ∴不动点为和，故原说法错误，不符合题意； 一次函数与联立，得， 解得， ∴不动点为， 代入二次函数，得， 解得，故原说法正确，符合题意； 联立和，得，即， 设不动点，，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得，故原说法错误，不符合题意； 当直线经过点时，如图， 令时，则， 则， 把代入得，， 解得：或（舍去）， 当直线与翻折部分只有一个交点时，如图， 的顶点坐标为， 点沿直线：翻折后对应点的坐标为， ∵直线：翻折后对称轴不变， ∴翻折后的抛物线解析式为， 与联立得， 整理得， 则， 解得：； ∴翻折后新函数与有个交点时，或， ∴说法错误，不符合题意； 综上，仅说法正确. 3、 解答题（本题共9小题，共86分．第17-18题每题8分，第19-25题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知二次函数．函数图象与x轴交于点A和点B（A在B的左侧）． (1)该函数图象与x轴的交点坐标A_________、B_________，与y轴交点坐标_________； (2)x_________时，y随x的增大而增大，当_________时，函数有最_________值为_________； (3)若P为抛物线上的点，横坐标为2，则纵坐标为_________； (4)抛物线顶点记为M，则M点坐标为_________，面积为_________． 【答案】(1)，， (2)，1，大，8 (3)6 (4)，16 【分析】（1）分别令，求解即可； （2）将函数表达式配方成顶点式，即可求解增减性，对称轴，以及最值； （3）把代入求解即可； （4）由顶点式即可写出顶点坐标，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 解得或 ∵A在B的左侧 ∴，， 当时，, ∴与y轴交点坐标为； （2）解： ∴对称轴为直线 ∵，抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，函数有最大值，为； （3）解：由题意得，把代入得，； （4）解：由（2）知， ∴抛物线顶点坐标为 ∵，， ∴ ∴． 18．已知二次函数的图像经过点，． (1)求该函数的解析式； (2)求出该函数的对称轴及顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）将点的坐标代入二次函数解析式，求解的值即可得到函数解析式； （2）代入二次函数的系数到对称轴、顶点坐标公式中计算即可． 【详解】（1）解：将点，代入二次函数， 可得，解得， ∴该函数的解析式为． （2）对于二次函数， ∵， ∴对称轴为直线， 顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为． 19．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象如下所示： (3) 【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 0 … 画图略； （3）解：由函数图象可知，当时，函数值的取值范围为． 20．中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为元/盒时，每天可售出盒，售价每降低元/盒时，每天可多售出盒，当该品牌月饼售价降低元/盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． (1)求出关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，且为整数） (2)每盒月饼的售价定为元时，每天销售该月饼获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据总利润等于每盒利润乘以销量，列出函数关系式，根据利润大于等于，降价大于等于，即可解得的取值范围； （2）利用二次函数的图象和性质，求最值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵该品牌月饼售价降低元/盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元， 由题意可得，， ∵，且，解得：， ∴关于的函数解析式为：（，且为整数）； （2）解：， ∴抛物线的开口向下，当时，二次函数有最大值为； ∴当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为元． ∴每盒月饼的售价定为元时，每天销售该月饼获得利润最大，最大利润是元． 21．如图，抛物线经过，，三点． (1)求、、的值； (2)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）将点的坐标代入二次函数即可求出的值，从而确定二次函数，分别令和即可求出和的值． （2）分点在轴上方和在轴下方两种情况讨论，结合平行四边形的性质确定点的纵坐标，将其代入二次函数即可求出点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过， ， ， ， 令，则， ， ，， ，， ． 令则． （2）解：①当点在轴下方时，四点构成平行四边形，如图所示， ，， ． 点在二次函数上， ， ，， ， ． ②当点在轴上方时，四点构成平行四边形，如图所示，过点作轴于点， 为平行四边形， ，， ， ， ， , 点在轴上方时， ， ， ，， 点在轴左侧的抛物线上， ， ， ． 22．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线； (1)求抛物线的解析式及点C的坐标． (2)点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，若，求点P的坐标． (3)点Q是对称轴上的一个动点，当最小时，求点Q的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)； 【分析】（1）利用待定系数法即可求得解析式，进而求得点C的坐标； （2）设．由面积值即可求得n的值，进而求得m的值，即可求得点P的坐标； （3）连接，则的最小值为的长．求出直线的解析式，其与抛物线对称轴的交点即为点Q的坐标，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 所以； 令得， 所以． （2）解：设． ， 解得． ∴，得， 解得， 所以或． （3）解：如图，连接， 因为A、B关于抛物线的对称轴对称， 所以， ∴， 即的最小值为的长． 直线与抛物线的对称轴的交点即为Q． 直线过， 设直线的解析式为， 则有， 解得， 所以直线的解析式为， 令，得， 所以； 的最小值为． 23．如图，已知抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，．P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点M，交线段于点N． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求点M的坐标； (3)连接，是否存在点P使得是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线的函数表达式，列出方程，求解即可； （2）先用待定系数法求出直线的函数表达式，设点P的坐标为，则，根据，求出，再代入抛物线的函数表达式，即可求解； （3）设点N，则，根据勾股定理可得，，，最后根据等腰三角形，分三种情况讨论，分别列出方程，求出m即可． 【详解】（1）解：将，分别代入抛物线的函数表达式，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：把代入，得，则， 设直线的函数表达式为， ，， ∴，解得， 则直线的函数表达式为，． 设点P的坐标为，则， ， ， ，解得， 把代入，得， ； （3）解：存在， ，， ， 由（2）知直线的函数表达式为， 设点N的坐标为，则， ，， 为等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①当时，则， ，解得（舍去）或， 点； ②当时，则， ， 解得（舍去）或， ； ③当时，则， ，解得， ； 综上所述，点P的坐标为或或． 24．综合与实践 【问题情境】：投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． (1)【建立模型】求抛物线的解析式． (2)【应用分析】若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离的长）． (3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，把代入，求出，即可求出抛物线的解析式； （2）令，得出，解方程求出符合题意的，根据即可得出答案； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为，由（2）可知，代入，解方程可求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度． ∴抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为，， ∴当时，， 解得，（舍去）， ∵壶口的宽度， ∴． （3）解：∵仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变， ∴设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为， 由（2）可知，， 把代入得，， 解得， ∴再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为， 当时，，即， ∴时，箭刚好由点处擦边投入壶中， 由（2）可知，时，箭刚好由点处擦边投入壶中， ∴． 25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，抛物线是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积最大，此时点 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过P作轴交于E，求出，直线解析式为，设，则，可得，故，根据二次函数性质可得答案； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， ∴设直线解析式为，把，分别代入，得 ， 解得， ∴直线解析式为， 设，其中，过作轴交于，如图 则， ∴， ∴， ∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，面积最大． 此时，即； （3）解：存在，理由如下： ①当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； ②当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 《二次函数》 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．关于二次函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向上 B．函数图象的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而增大 D．该函数的最大值是5 3．将配方成的形式，结果为（     ） A． B． C． D． 4．设二次函数，下表列出了x与y的6对对应值，根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（     ） x 0 1 2 3 4 y 5 13 23 A． B． C． D． 5．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 6．小颖在一次比赛中观察到铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系式为，当铅球的飞行高度为时，铅球此时的水平距离为（     ） A． B． C． D． 7．已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 9．如图，正方形的边长为，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点停止运动；另一动点同时从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点停止运动．设点运动时间为，△的面积为，则关于的函数图象是（     ） A． B． C． D． 10．已知抛物线（）的对称轴为直线，其部分图象如图所示． ①； ②； ③； ④对于任意实数，有； ⑤若点在抛物线上，且方程的两个根为，（），则． 上述结论中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．如果点在抛物线上，那么__________． 12．抛物线，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是_______ ． 13．若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 14．如图，一次函数（）的图象与抛物线（）相交于A，B两点，则关于x的不等式的解集为______． 15．如图，在中，，，，点P从点A开始沿向B以的速度移动，点Q从点B开始沿向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间_____时，的面积最大为． 16．定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”．例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． 下列说法正确的序号是_______． ①函数的“不动点”为和； ②二次函数的一个“不动点”和一次函数的“不动点”相同，则； ③若二次函数的图象上存在两个“不动点”、，若，则； ④已知二次函数，直线：，将该二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方，其余部分图象不变得到一个新的函数图象，若新的函数图象上恰有3个“不动点”，则的值为或． 3、 解答题（本题共9小题，共86分．第17-18题每题8分，第19-25题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知二次函数．函数图象与x轴交于点A和点B（A在B的左侧）． (1)该函数图象与x轴的交点坐标A_________、B_________，与y轴交点坐标_________； (2)x_________时，y随x的增大而增大，当_________时，函数有最_________值为_________； (3)若P为抛物线上的点，横坐标为2，则纵坐标为_________； (4)抛物线顶点记为M，则M点坐标为_________，面积为_________． 18．已知二次函数的图像经过点，． (1)求该函数的解析式； (2)求出该函数的对称轴及顶点坐标． 19．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 20．中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为元/盒时，每天可售出盒，售价每降低元/盒时，每天可多售出盒，当该品牌月饼售价降低元/盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． (1)求出关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 21．如图，抛物线经过，，三点． (1)求、、的值； (2)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线； (1)求抛物线的解析式及点C的坐标． (2)点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，若，求点P的坐标． (3)点Q是对称轴上的一个动点，当最小时，求点Q的坐标及的最小值． 23．如图，已知抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，．P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点M，交线段于点N． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求点M的坐标； (3)连接，是否存在点P使得是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．综合与实践 【问题情境】：投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． (1)【建立模型】求抛物线的解析式． (2)【应用分析】若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离的长）． (3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，抛物线是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $