第二十六章 二次函数 达标检测卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章 二次函数 达标检测卷 （人教版数学九年级上册） 班级： 姓名： 学号： 得分： 　　 一、选择题（每小题3分，共36分） 1．下列函数是y关于x的二次函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝－x C．y＝x3－2x2－x D．y＝－3x2－4 2．抛物线y＝（x－2）2的对称轴是直线（　　） A．y＝2 B．y＝－2 C．x＝－2 D．x＝2 3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（　　） A．－1＜x＜3 B．x＞3 C．x＜－1 D．x＞3或x＜－1 4．已知二次函数y＝（x－4）2－3的部分图象如图所示，图象再次与x轴相交时的坐标是（　　） A．（5，0） B．（6，0） C．（7，0） D．（8，0） 5．如图，将抛物线y＝－x2平移后经过原点O和点A（4，0），平移后的抛物线的顶点为B，其对称轴与抛物线y＝－x2相交于点C，则图中直线BC与两条抛物线围成的阴影部分的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 6．已知函数y＝（k－3）x2＋2x＋1的图象与x轴有交点.则k的取值范围是（　　） A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3 7．将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线是（　　） A．y＝（x＋1）2＋2 B．y＝（x－1）2－2 C．y＝（x＋1）2－2 D．y＝（x－1）2＋2 8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx的图象可能是（　　） 9．已知三个点A（－4，y1），B（－1，y2），C（6，y3）都在二次函数y＝ax2－4ax＋4c（a＜0，c为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1 10．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字： 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点（1，0）， …，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称.根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是（　　） A．过点（3，0） B．顶点是（2，－2） C．在x轴上截得的线段的长是2 D．与y轴的交点是（0，3） 11．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从表中可知，下列说法中正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝0 B．抛物线与x轴的一个交点为（3，0） C．函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6 D．在对称轴右侧，y随x增大而增大 12．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（　　） A．abc＞0 B．函数的最大值为a－b＋c C．当－3≤x≤1时，y≥0 D．4a－2b＋c＜0 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．抛物线y＝x2－2x＋1的对称轴为直线x＝ . 14．若抛物线y＝x2＋bx＋4的顶点在x轴上，则b的值为 . 15．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝－（x－5）2＋3，由此可知铅球推出的距离是 m. 16．已知抛物线y＝2x2－4mx＋2m2＋1，当－2≤x≤1时，函数的最小值为3，则m＝ . 三、解答题（共98分） 17．（12分）已知二次函数y＝ax2＋bx－8的图象经过点（－2，0），（4，0）. （1）求此抛物线的表达式； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ （3）写出不等式ax2＋bx－8＜0的解集. 18．（10分）已知抛物线y＝x2＋2x－5. （1）求它的顶点坐标和对称轴； （2）求它与x轴两个交点A，B的坐标及AB的长（点A在点B的左边）. 19．（10分）已知抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点. （1）求c的取值范围； （2）若抛物线y＝2x2－4x＋c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由. 20．（10分）二次函数y＝ax2＋bx＋c中的x，y满足下表. x … －1 0 1 2 … y … 0 －3 m －3 … （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点坐标为 ，当x＞1时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）； （3）直接写出当－1＜x＜2时，y的取值范围. 21．（10分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝－2x＋80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元. （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）上. （1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴； （2）已知点（－1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上.若mn＜0，试比较y1，y2，y3的大小，并说明理由. 23．（12分）如图1是某公园一个抛物线形状的景观竹棚，其截面示意图如图2所示，量得OM＝10 m，最高处点P与地面OM的距离为5 m.现以点O为原点，OM所在直线为x轴，过点O作OM的垂线为y轴建立平面直角坐标系. （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）现因举办活动，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线的对称轴对称，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，点A，D在抛物线上，点B，C在OM上，已知BC＝6 m，则“装饰门”高多少米？ 24．（12分）已知抛物线y＝ax2－2ax＋3（a≠0）与x轴交于P，Q两点，且PQ＝4. （1）求抛物线的解析式； （2）将该抛物线在0≤x≤4之间的部分记为图象G，将图象G在直线y＝t上方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，记这个函数的最大值为M，最小值为m，若M－m≤6，求t的取值范围. 25．（12分）采用自然光晾晒衣物，可使衣物的清洁度更高.如图1是小明家房前晾衣服的实景图，图2是它的示意图，绑晾衣绳的铁柱AB和CD均垂直于地面，当晾衣绳的两端均绑在两根铁柱的顶部时，晾衣绳AC的形状可以近似看作一条抛物线.如图2，小明以B为原点O，地面BD、铁柱AB所在直线为轴建立平面直角坐标系.抛物线部分满足函数表达式y＝x2＋bx＋c，已知铁柱AB和CD的高度均为2 m，OD＝8 m. （1）求图2中抛物线的解析式； （2）由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子，如图3，MN的高度为1.55 m，通过调整MN的位置，使左边抛物线F1对应的函数关系式为y1＝a（x－2）2＋k，且最低点离地面1.4米，求水平距离DN； （3）在（2）的条件下，小明测得右边抛物线F2对应的函数关系式为y2＝0.09（x－5）2＋1.19，将图3中F1，F2两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在5≤x≤6时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象直接写出m的取值范围. 参考答案 1．D 2．D 3．A 4．C 5．A 6．B 7．C 8．C 9．C 10．B 11．B 12．D 13．3 14．±4 15．11 16．－3或2 17．解：（1）y＝x2－2x－8； 解：（2）当x＜1时，y随x的增大而减小； 解：（3）－2＜x＜4. 18．解：（1）y＝x2＋2x－5＝（x＋1）2－6，顶点坐标为（－1，－6），对称轴为直线x＝－1； 解：（2）令y＝0，则x2＋2x－5＝0，解得x＝－1±，∵点A在点B的左边，∴A（－1－，0），B（－1＋，0），AB＝－1＋－（－1－）＝2. 19．解：（1）∵抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点，∴方程2x2－4x＋c＝0有两个不同的实数根.∴b2－4ac＝（－4）2－8c＝16－8c＞0，解得c＜2，∴c的取值范围是c＜2； 解：（2）m＜n.理由如下：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴m＜n. 20．解：（1）把（－1，0），（0，－3），（2，－3）代入二次函数y＝ax2＋bx＋c得：a－b＋c＝0，c＝－3，4a＋2b＋c＝－3，解得a＝1，b＝－2，c＝－3，∴该抛物线的解析式为y＝x2－2x－3； （2）顶点坐标为（1，－4），y随x的增大而增大； 解：（3）当－1＜x＜2时，y的取值范围为－4≤y＜0. 21．30 解：（2）根据题意得，w＝（x－20）（－2x＋80）＝－2x2＋120x－1600，即w与x之间的函数关系式为w＝－2x2＋120x－1600； 解：（3）w＝－2x2＋120x－1600＝－2（x－30）2＋200，∵－2＜0，∴当x＝30时，w取最大值，最大值为200，即该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元. 22．解：（1）当m＝3，n＝15时，即点（1，3）和（3，15）在y＝ax2＋bx上，∴a×12＋b×1＝3，a×32＋b×3＝15，解得a＝1，b＝2.∴y＝x2＋2x，∴该抛物线的对称轴为直线x＝－＝－＝－1； 解：（2）∵点（1，m）和点（3，n）在y＝ax2＋bx（a＞0）上，∴a＋b＝m，9a＋3b＝n，∵mn＜0，∴（a＋b）（9a＋3b）＜0，∴a＋b与3a＋b异号，∵a＞0，∴a＋b＜0，3a＋b＞0，∵点（－1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上，∴y3－y1＝（16a＋4b）－（a－b）＝5（3a＋b）＞0，∴y3＞y1，∵y1－y2＝（a－b）－（4a＋2b）＝－3（a＋b）＞0，∴y1＞y2，∴y2＜y1＜y3. 23．解：（1）∵OM＝10 m，最高处点P与地面OM的距离为5 m，∴该抛物线的顶点坐标为（5，5），∴设该抛物线对应的函数解析式为y＝a（x－5）2＋5，将点（0，0）代入，得0＝a（0－5）2＋5，解得a＝－，∴该抛物线对应的函数解析式为y＝－（x－5）2＋5（0≤x≤10）； 解：（2）∵BC＝6 m，矩形ABCD关于抛物线的对称轴对称，OM＝10 m，∴OB＝CM＝×（10－6）＝2（m），∴点B的横坐标为2.当x＝2时，y＝－×（2－5）2＋5＝，∴CD＝AB＝ m，即“装饰门”高 m. 24．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，且与x轴的交点P，Q之间的距离为4，∴抛物线与x轴的交点分别为（－1，0），（3，0），将（－1，0）代入抛物线y＝ax2－2ax＋3（a≠0）中，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3； 解：（2）抛物线在0≤x≤4之间的部分图象折叠前后如图所示，设抛物线的顶点为T，最右端点为H，则T（1，4），H（4，－5）.∵4－（－5）＝9＞6，∴－5＜t＜4.设直线y＝t与抛物线的对称轴交于点S，则ST＝4－t，则点T′的纵坐标为t－（4－t）＝2t－4， 当点T′在点H上方时（点T′与点H的纵坐标可相等），即2t－4≥－5，解得t≥－，此时M＝t，m＝－5，t－（－5）≤6，解得t≤1，∴－≤t≤1； 当点T′在点H下方时，t＜－，此时M＝t，m＝2t－4，∴t－（2t－4）≤6，解得t≥－2，∴－2≤t＜－.综上所述，t的取值范围为－2≤t≤1. 25．解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为x＝BD＝4，点A（0，2），点C（8，2），∴－＝4，c＝2，解得b＝－，c＝2，∴y＝x2－x＋2； 解：（2）由题知，F1的最低点离地面1.4米，∴k＝1.4，∴抛物线F1的关系式为y＝a（x－2）2＋1.4，∵点A在抛物线F1上，∴当x＝0时，y＝2，∴4a＋1.4＝2，解得a＝0.15，则抛物线F1的表达式为y1＝0.15（x－2）2＋1.4，∴当y＝1.55时，即1.55＝0.15（x－2）2＋1.4，整理得（x－2）2＝1，∴x1＝3，x2＝1（不合题意，舍去），∴ON＝3，DN＝OD－ON＝8－3＝5（米）； 解：（3）m的取值范围是1≤m≤2或4≤m≤5. 1 学科网（北京）股份有限公司 $