第二十五章 《一元二次方程》单元复习卷2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章《一元二次方程》 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程，依据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 2．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入原方程，构建关于m的一元一次方程求解． 【详解】解：将代入，得，解得． 3．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 4．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 5．已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 6．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 7．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方根的判别式，解不等式，一元二次方程的定义等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 根据根的情况和一元二次方程的定义，列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 当，即时，不符合题意， ∴， 综上，且， 故选：D． 8．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【答案】C 【分析】所求代数式的二次项、一次项系数与方程对应系数成比例，可通过整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 9．如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ． 10．对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 2、 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．若m，n是方程的两个根，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个实数根，则，即可求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个根， ∴． 12．写出一个以和2为根的一元二次方程（化为一般式）____________________． 【答案】 【分析】首先根据两根列出方程，然后化为一般形式即可． 【详解】解：由已知条件，可列方程， 化为一般形式，得． 13．关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【分析】已知方程为一元二次方程，且一根为，先将根代入方程求的可能值，再结合一元二次方程二次项系数不为排除不符合的解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有一个根为， ∴将代入原方程得：， 解得或， ∵， ∴． 14．毕业前夕，某社团组织了“互送祝福”的活动，每一名成员都向其他成员各发送一封表达祝福的邮件，已知该社团所有成员一共发送了封邮件，则该社团共有___________名成员． 【答案】 【分析】设社团组织成员总人数为x名，则每名同学发送封邮件，总邮件数为∶，解一元二次方程即可． 【详解】解∶ 设社团组织成员总人数为x名，则每名同学发送封邮件，根据题意，得 ． 整理得． 解方程，得， (不符合题意，舍去) 则该社团共有名成员． 15．如图，在中，，，．点P，Q同时由A，B两点出发分别沿，方向向点C匀速移动，它们的速度都是．当点Q到达点C时，点P，Q都停止运动，设运动时间为．当______时，的面积是面积的一半． 【答案】 【分析】设运动时间为，则，，可得，，根据题意可列方程，解方程即可解答． 【详解】解：设运动时间为，则，， ∴，， 由题意得：，即， ∴， 化简得：， 解得：，（舍去）， 当时，的面积是面积的一半． 16．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为_____． 【答案】或 【分析】根据“倍根方程”的定义，设方程的两个根为和（），将方程表示为 ，展开后与原方程比较系数，得到关于的方程，解出的值，再代入关系式求，最后计算代数式的值． 【详解】解：∵方程 是“倍根方程”， ∴设两根为和 （）， 则方程可写为，即， 与原方程比较系数得： ①， ，即②， 将②代入①得：， 两边除以（）：， 即，解得或． ， 当时，由 ②得，此时， ∴． 当 时，由② 得，此时， ∴． 综上，代数式的值为或． 3、 解答题（本题共9小题，共86分．第17-18题每题8分，第19-25题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：移项，得． 两边都除以3，得． 两边开平方，得． （2）解：两边开平方，得， 即或， 解得，． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）选择因式分解法，将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根． （2）选择因式分解法，运用十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根． 【详解】（1）解：， 方程可变形为： ， 得或， 解得，． （2）解：， 方程可变形为： ， 得或， 解得，． 19．小影和小琳两位同学解方程的过程如下： 小影： 移项，得， 左边分解因式，得， 所以或， 解得，．            小琳： 两边同除以，得， 解得． 你认为她们的解法是否正确？若正确请在右下角的框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】小影：×；小琳∶ ×， 移项，得， 左边分解因式，得， 所以或， 解得，． 【分析】根据提取公因式去括号时符号出错以及等式的性质可判断小影和小琳的做法，再根据因式分解法写出正确的解题过程即可． 【详解】略； 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：取任何实数值，方程总有实数根； (2)若直角的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴取任何实数值，方程总有实数根； (2)或 【分析】（1）根据根的判别式和平方的非负性进行解答； （2）先利用因式分解法求出方程的两个根，然后分两种情况讨论：①当是斜边时，②当是直角边时，再根据勾股定理求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∴或， ∴或， ∵两边长，恰好是这个方程的两个根， ∴，为直角的两边长， ①当是斜边时，， 解得或（负值，舍去）； ∴直角的三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； ②当是直角边时，， 解得或（负值，舍去）； ∴直角的三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，或． 21．某品牌汽车第一季度的销售量为万辆，第二季度的销售量下降了，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了万辆． (1)求第二季度的销售量； (2)求第三、四季度的销售量的平均增长率． 【答案】(1)第二季度的销售量为50万辆 (2)第三、四季度销售量的平均增长率为 【分析】（1）根据题意直接计算即可； （2）设第三、四季度销售的平均增长率为x．根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：(万辆)， 答:第二季度的销售量为50万辆； （2）解：设第三、四季度销售的平均增长率为x， 依题意,得， 解得， (不合题意,舍去)， 答:第三、四季度销售量的平均增长率为． 22．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 【答案】(1) ， (2)4 【分析】（1）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得； （2）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，再结合解答即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴ ，． （2）解：设，则原方程可化为， 整理得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值是4． 23．温县铁棍山药是河南省焦作市温县的特产，也是中国国家地理标志产品，因其口感细腻、营养丰富深受消费者喜爱． 信息及素材 素材一 在农业技术人员的指导下，温县铁棍山药种植户不断改进种植技术，产量逐年增长，根据种植户记录，2023年铁棍山药平均亩产量是1000千克，2025年达到了1690千克，每年的增长率基本相同． 素材二 铁棍山药通常用长方体纸盒包装后售卖，方便运输和储存． 素材三 随着山药产量的提高，某温县山药商铺开始进行打折促销，根据商铺市场调查显示：若每斤铁棍山药售价15元，每天可售出200斤；在此基础上，售价每降低1元，则可多售出60斤． (1)求铁棍山药产量的年平均增长率； (2)现有长，宽的矩形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的铁棍山药，需要保证纸盒底面积为，计算此时纸盒的高； (3)某天该商铺以9元每斤的价格购进一批铁棍山药，当铁棍山药每斤降价m元时，商铺的日利润可达到1280元，为了尽可能让惠于顾客，求m的值． 【答案】(1)铁棍山药产量的年平均增长率为 (2)此时纸盒的高为． (3) 【分析】（1）设每年的增长率为x，根据2023年铁棍山药平均亩产量是1000千克，2025年达到了1690千克，每年的增长率基本相同列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． （2）设此时纸盒的高为，根据纸盒底面积为列出关于y的一元二次方程求解即可得出答案． （3）根据每斤铁棍山药获利元，每天可售出斤，根据日利润为1280元列方程即可； 【详解】（1）解：设每年的增长率为x， 根据题意有：， 解得：或（舍去）， 答：铁棍山药产量的年平均增长率为． （2）解：设此时纸盒的高为， 根据题意得：， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：此时纸盒的高为． （3）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：或， 为了尽可能让惠于顾客，所以降价幅度应尽可能大，即． 24．配方法是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 【解决问题】 我们定义：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“美丽数”． 例如，是“美丽数”．∵，∴是“美丽数”． (1)已知是“美丽数”，请将它写成的形式； (2)已知，求的值； (3)【拓展提高】如图，用长的铝材做一个“日”字形窗框（铝材的宽度不计）．设窗框的宽为，窗框的透光面积为．试问：当为多少时，最大？最大是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【分析】（1）根据“美丽数”的定义即可求解； （2）由配方得，求出和的值，再求的值即可； （3）由题意得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：【拓展提高】由题意得：， 则， ∵， ∴， 此时，最大为． 25．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接、，是否存在t的值，使得三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，的长度等于 (3)存在，的值为或 【分析】（1）根据题意可得，，再根据求解即可； （2）在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可； （3）先求出，，和的取值范围，再分两种情况：①和②，分别建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵， ∴． （2）解：由题意得：点从点开始沿边运动到终点所需时间为，点从点开始沿边运动到终点所需时间为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当时，的长度等于． （3）解：如图，连接，， 由上可知，，，且， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴在中，， 在中，， ①当时，是以为腰的等腰三角形， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）； ②当时，是以为腰的等腰三角形， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 综上，存在的值，使得三角形是以为腰的等腰三角形，此时的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章《一元二次方程》 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 3．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，-2，-1 B．3，-2，1 C．3，2，1 D．3，2，-1 4．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 5．已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 6．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 7．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 8．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 9．如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 2、 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．若m，n是方程的两个根，则______． 12．写出一个以和2为根的一元二次方程（化为一般式）____________________． 13．关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 14．毕业前夕，某社团组织了“互送祝福”的活动，每一名成员都向其他成员各发送一封表达祝福的邮件，已知该社团所有成员一共发送了封邮件，则该社团共有___________名成员． 15．如图，在中，，，．点P，Q同时由A，B两点出发分别沿，方向向点C匀速移动，它们的速度都是．当点Q到达点C时，点P，Q都停止运动，设运动时间为．当______时，的面积是面积的一半． 16．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为_____． 3、 解答题（本题共9小题，共86分．第17-18题每题8分，第19-25题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 18．解方程： (1)； (2)． 19．小影和小琳两位同学解方程的过程如下： 小影： 移项，得， 左边分解因式，得， 所以或， 解得，．            小琳： 两边同除以，得， 解得． 你认为她们的解法是否正确？若正确请在右下角的框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：取任何实数值，方程总有实数根； (2)若直角的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的值． 21．某品牌汽车第一季度的销售量为万辆，第二季度的销售量下降了，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了万辆． (1)求第二季度的销售量； (2)求第三、四季度的销售量的平均增长率． 22．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 23．温县铁棍山药是河南省焦作市温县的特产，也是中国国家地理标志产品，因其口感细腻、营养丰富深受消费者喜爱． 信息及素材 素材一 在农业技术人员的指导下，温县铁棍山药种植户不断改进种植技术，产量逐年增长，根据种植户记录，2023年铁棍山药平均亩产量是1000千克，2025年达到了1690千克，每年的增长率基本相同． 素材二 铁棍山药通常用长方体纸盒包装后售卖，方便运输和储存． 素材三 随着山药产量的提高，某温县山药商铺开始进行打折促销，根据商铺市场调查显示：若每斤铁棍山药售价15元，每天可售出200斤；在此基础上，售价每降低1元，则可多售出60斤． (1)求铁棍山药产量的年平均增长率； (2)现有长，宽的矩形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的铁棍山药，需要保证纸盒底面积为，计算此时纸盒的高； (3)某天该商铺以9元每斤的价格购进一批铁棍山药，当铁棍山药每斤降价m元时，商铺的日利润可达到1280元，为了尽可能让惠于顾客，求m的值． 24．配方法是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 【解决问题】 我们定义：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“美丽数”． 例如，是“美丽数”．∵，∴是“美丽数”． (1)已知是“美丽数”，请将它写成的形式； (2)已知，求的值； (3)【拓展提高】如图，用长的铝材做一个“日”字形窗框（铝材的宽度不计）．设窗框的宽为，窗框的透光面积为．试问：当为多少时，最大？最大是多少？ 25．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接、，是否存在t的值，使得三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $