第二十五章 一元二次方程（单元自测·冲刺卷）数学新教材人教版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 一元二次方程·冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A A C B C A A C A B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 14. 4 15. 丁 16. 17. 18. 三、解答题（共8小题，共66分） 19.【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴，（3分） 解得； （2）解：∵， ∴， 解得．（6分） 20.【详解】（1）解：将代入方程得：， 即， 解得或， 所以的值为5或．（3分） （2）解：设方程的另一个根为， ∵关于的方程的一个根是， ∴， 解得， 即方程的另一个根为7．（6分） 21.【详解】（1）解：当时，． 整理，得． 解得． 答：经过1s或3s时球的高度为15m．（3分） (2)不能．（4分） 理由如下：令． 整理，得． ，（7分） ∴一元二次方程没有实数根． ∴球的高度不能达到．（8分） 22.【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：．（2分） （2）解：由题可知，方程的倒方程为， 将代入此方程， 得， 解得．（4分） （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， 是此方程的一个实数根， ， ，（7分） ．（8分） 23.【详解】（1）解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，且，， ，（1分） ∴ ，（2分） ∴， ∴， 或 ， ， 舍去． .（3分） （2）解：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根． ∴， 解得：，（4分） ∴方程化为：， ∴， ∴， ∵， ∴此时三角形不存在；（5分） ②当7为腰长时，设． 将代入方程， 得， ∴， 解得：或，（6分） 当时，方程变为， 解得或， ∵， ∴此时三角形不存在；（7分） 当时，方程变为， 解得：或， ∴的周长为17， 综上，的周长为17．（8分） 24.【详解】（1）解：设年至年“五一”黄金周期间游客人次的年平均增长率为， ∵年接待游客万人次，年接待游客万人次， 可得，（1分） 解得，（不符合题意，舍去）， 答：年至年“五一”黄金周期间游客人次的年平均增长率为．（3分） （2）解：设每碗冷粉降价元，店家每天的总利润为元， ∵每碗成本元，原售价元，原日销量碗，价格每降低元，日销量增加碗， ∴单碗利润为元 ，销售量为碗，自变量的取值范围为， ∴（5分） ， ∵，且满足， ∴当时，取得最大值，最大值为，（7分） ∵， ∴小瓷的想法不对，店家每天最多能赚元． 答：小瓷的想法不对，店家每天最多能赚元．（8分） 25.【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得，（1分） 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于；（2分） ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于；（5分） （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； （7分） ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于．（10分） 26.【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为；（3分） （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，（舍去负值），（5分） 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1；（8分） （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①，（9分） ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②，（10分） ②①得， 解得， 将代入①得， 解得．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 一元二次方程·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．已知关于的一元二次方程的二次项系数和常数项都是1，则这个一元二次方程的一次项系数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程系数的定义，由常数项为求出参数，进而得到一次项系数． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为，常数项为， ∵该方程二次项系数和常数项都是， ∴， ∴一次项系数为． 2．某同学尝试借助人工智能辅助学习，对话如图所示，该人工智能程序经过思考后给出的正确答案是（     ） A．存在，这个数是 B．存在，这个数是2 C．存在，这个数是 D．不存在 【答案】A 【分析】设这个数为 ，根据“平方加3倍等于相反数减4”列出关于 的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 移项、合并同类项得， 配方得， 解得， ∴存在这样的数，这个数是． 3．用配方法解一元二次方程时，通过配方可以将其化成（，为常数）的形式，则，的值分别为（     ） A．，8 B．3，8 C．，10 D．3，10 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， ． 4．已知三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（     ） A．15 B．19 C．15或19 D．18或20 【答案】C 【分析】先求出一元二次方程的根，再结合三角形三边关系确定第三边的长，最后计算周长． 【详解】解：∵三角形两边的长分别是4和6， ∴ 第三边的长 ， 解方程 得 或 ， ∵ ，， ∴ 第三边的长为5或9， ∴ 该三角形的周长为 或 ． 5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式大于0两个条件求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 6．红星村种的水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定年到年的增长次数为2，结合年平均增长率的计算规则列方程． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为， 年平均每公顷产，年平均增长率为， 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产， 列方程得． 7．已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据方程根的定义得到，将所求代数式化简降次后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， . 8．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 9．若实数满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意可知，和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系以及完全平方公式求解． 【详解】解：∵实数，满足，且， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 10．已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（    ） A．若方程有一根为1，则 B．若，，则方程两根互为相反数 C．若，则方程必有解 D．若，则方程有一根为0 【答案】A 【详解】解：A选项：∵方程有一根为， ∴， ∴，故A不正确，符合题意； B选项：若，，方程化为， ∴，方程两根为和，两根互为相反数，故B正确，不符合题意； C选项：若，根的判别式， ∵，， ∴，方程必有两个不相等的实数根，即方程必有解，故C正确，不符合题意； D选项：若，方程化为，解得或， ∴方程必有一根为，故D正确，不符合题意． 11．小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用换元法和方程的解的定义求解，设，由的解为，得到一元二次方程的解，再把方程变形为，令，可得，通过对应关系求出方程的解． 【详解】解：设， ∵ 的解为，， ∴ ，， 即的解为，， 对方程两边同乘，得， 即， 令，可得， ∴ 该方程的解为，， 即，， 解得，． 12．已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的判别式判断根的情况，结合根与系数的关系逐个验证结论即可，用到完全平方公式变形等初中知识点． 【详解】解：①∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即，①正确； ②∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴ ∵， ∴，②正确； ③∵，且 ，， ∴ ∵， ∴，③错误； ④原方程变形为， 由，可得， ∴，， ∴，④正确； 综上，正确结论是①②④． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．已知2是关于x的方程的一个解，则a的值是_________． 【答案】 【详解】解：∵是关于的方程的一个解， ∴， 解得． 14．已知实数，是一元二次方程的两根，则代数式______． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两根， ∴ 根据根与系数的关系可得 ，， ∴ ． 15．如图，在用配方法解一元二次方程时，有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是_______． 【答案】丁 【分析】根据配方法解方程的基本步骤，正确求解后判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 或 解得或 故丁的解答有错误． 16．小明的爸爸想用篱笆圈出一块如图所示的矩形区域用以饲养土鸡．已知面积为的鸡舍一面靠墙（墙长），另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的边上有一扇宽的门，则鸡舍垂直于墙的一边为_______m． 【答案】 【分析】设为，则，依据题意列一元二次方程，解一元二次方程，同时还需要满足小于等于墙长，确定最终值即可． 【详解】解：设为，则， 依据题意得： 去括号得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，， 墙长， ， 即：， 解得， 综上所述，长为． 17．已知关于的一元二次方程的两个根分别为直角三角形的两直角边长，且该直角三角形的面积为3，则该直角三角形的斜边长为______________． 【答案】 【分析】设方程两根为直角三角形两直角边长，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合面积求出两根之积，再通过勾股定理和完全平方公式计算斜边长． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，， 即直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 直角三角形的面积为3， ， ， ， ， ， ， 该直角三角形斜边长为． 18．如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______． 【答案】 【分析】观察图①、图②、图③中数字的个数变化，发现每秒增加的的个数构成公差为的等差数列，从而得出秒后数字之和的通项公式，列方程求解即可． 【详解】解：观察图形可知： 图①（秒）中数字的个数为，数字之和为； 图②（秒）中数字的个数为，数字之和为； 图③（秒）中数字的个数为，数字之和为； 由此发现，每过秒，增加的数字的个数比上一秒多个， 第秒增加个，第秒增加个，，第秒增加个， 则秒后数字的总个数为： ， 根据题意，得：， 整理得：， 即：， 解得：(舍去)， ∵数字不断增加， ． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 解得． 20．（6分）已知关于x的方程． (1)当时，求m的值； (2)若方程的一个根是，求方程的另一个根． 【答案】(1)5或 (2)7 【分析】（1）将代入方程可得一个关于的一元二次方程，解方程即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：将代入方程得：， 即， 解得或， 所以的值为5或． （2）解：设方程的另一个根为， ∵关于的方程的一个根是， ∴， 解得， 即方程的另一个根为7． 21．（8分）2026年国际足联世界杯由美国、加拿大和墨西哥三国联合举办，盛况空前．某足球运动员在比赛过程中，把一个足球沿垂直于地面的方向往上踢，后该足球的高度h（m）适用公式． (1)经过多少秒时球的高度为？ (2)在上升过程中，球的高度能否达到？若能，请求出对应的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)经过或时球的高度为 (2)不能． 理由如下：令． 整理，得． ， ∴一元二次方程没有实数根． ∴球的高度不能达到． 【分析】（1）因为要求高度为时的时间，所以将代入公式，得到关于t的一元二次方程，求解该方程即可得到对应时间． （2）首先如果要判断上升过程中能否达到21m，可将代入公式得到一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实数根，若没有实根则说明无法达到该高度． 【详解】（1）解：当时，． 整理，得． 解得． 答：经过1s或3s时球的高度为15m． （2）略． 22．（8分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； (3)m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）观察定义可知，一组“倒方程”之间，二次项系数与常数项互换，一次项系数相同，根据此规则求解即可． （2）先列出原方程的“倒方程”，再将代入原方程的“倒方程”后即解出常数项． （3）同样先列出原方程的“倒方程”，将代入，再将方程变形后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：． （2）解：由题可知，方程的倒方程为， 将代入此方程， 得， 解得． （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， 是此方程的一个实数根， ， ， ． 23．（8分）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的长，求的周长． 【答案】(1)6 (2)17 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）分类讨论：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根，②当7为腰长时，设，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，且，， ， ∴ ， ∴， ∴， 或 ， ， 舍去． . （2）解：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根． ∴， 解得：， ∴方程化为：， ∴， ∴， ∵， ∴此时三角形不存在； ②当7为腰长时，设． 将代入方程， 得， ∴， 解得：或， 当时，方程变为， 解得或， ∵， ∴此时三角形不存在； 当时，方程变为， 解得：或， ∴的周长为17， 综上，的周长为17． 24．（8分）因各大社交媒体的传播，景德镇已成为最著名的网红旅游城市之一，年“五一”黄金周期间，景德镇接待游客万人次；年“五一”黄金周期间，接待游客已达万人次．千年瓷都景德镇美食无数，一家特色冷粉店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该冷粉的成本价为每碗元，借鉴以往经验：若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每降低元，则平均每天多销售碗． (1)求出年至年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率； (2)店员小瓷认为，按照薄利多销的原则，如果多降点价，那店里每天至少能赚元；你认为小瓷的想法对吗？如果不对，那么店家每天最多能赚多少元． 【答案】(1) 年至年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率为． (2) 小瓷的想法不对，店家每天最多能赚元． 【分析】（1）根据年和年的游客人次，利用增长率问题的等量关系列一元二次方程求解． （2）根据总利润的计算公式列函数关系式，通过配方法求最大值，再与元比较判断． 【详解】（1）解：设年至年“五一”黄金周期间游客人次的年平均增长率为， ∵年接待游客万人次，年接待游客万人次， 可得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：年至年“五一”黄金周期间游客人次的年平均增长率为． （2）解：设每碗冷粉降价元，店家每天的总利润为元， ∵每碗成本元，原售价元，原日销量碗，价格每降低元，日销量增加碗， ∴单碗利润为元 ，销售量为碗，自变量的取值范围为， ∴ ， ∵，且满足， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∵， ∴小瓷的想法不对，店家每天最多能赚元． 答：小瓷的想法不对，店家每天最多能赚元． 25．（10分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 26．（12分）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】(1)；； (2)此方程的正根为1 (3)6 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，求出的值，求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，（舍去负值）， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 一元二次方程·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．已知关于的一元二次方程的二次项系数和常数项都是1，则这个一元二次方程的一次项系数为（     ） A． B． C． D． 2．某同学尝试借助人工智能辅助学习，对话如图所示，该人工智能程序经过思考后给出的正确答案是（     ） A．存在，这个数是 B．存在，这个数是2 C．存在，这个数是 D．不存在 3．用配方法解一元二次方程时，通过配方可以将其化成（，为常数）的形式，则，的值分别为（     ） A．，8 B．3，8 C．，10 D．3，10 4．已知三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（     ） A．15 B．19 C．15或19 D．18或20 5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 6．红星村种的水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 8．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 9．若实数满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．或 10．已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（    ） A．若方程有一根为1，则 B．若，，则方程两根互为相反数 C．若，则方程必有解 D．若，则方程有一根为0 11．小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 12．已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．已知2是关于x的方程的一个解，则a的值是_________． 14．已知实数，是一元二次方程的两根，则代数式______． 15．如图，在用配方法解一元二次方程时，有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是_______． 16．小明的爸爸想用篱笆圈出一块如图所示的矩形区域用以饲养土鸡．已知面积为的鸡舍一面靠墙（墙长），另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的边上有一扇宽的门，则鸡舍垂直于墙的一边为_______m． 17．已知关于的一元二次方程的两个根分别为直角三角形的两直角边长，且该直角三角形的面积为3，则该直角三角形的斜边长为______________． 18．如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 20．（6分）已知关于x的方程． (1)当时，求m的值； (2)若方程的一个根是，求方程的另一个根． 21．（8分）2026年国际足联世界杯由美国、加拿大和墨西哥三国联合举办，盛况空前．某足球运动员在比赛过程中，把一个足球沿垂直于地面的方向往上踢，后该足球的高度h（m）适用公式． (1)经过多少秒时球的高度为？ (2)在上升过程中，球的高度能否达到？若能，请求出对应的时间；若不能，请说明理由． 22．（8分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； (3)m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 23．（8分）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的长，求的周长． 24．（8分）因各大社交媒体的传播，景德镇已成为最著名的网红旅游城市之一，年“五一”黄金周期间，景德镇接待游客万人次；年“五一”黄金周期间，接待游客已达万人次．千年瓷都景德镇美食无数，一家特色冷粉店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该冷粉的成本价为每碗元，借鉴以往经验：若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每降低元，则平均每天多销售碗． (1)求出年至年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率； (2)店员小瓷认为，按照薄利多销的原则，如果多降点价，那店里每天至少能赚元；你认为小瓷的想法对吗？如果不对，那么店家每天最多能赚多少元． 25．（10分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 26．（12分）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 一元二次方程·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．已知关于的一元二次方程的二次项系数和常数项都是1，则这个一元二次方程的一次项系数为（     ） A． B． C． D． 2．某同学尝试借助人工智能辅助学习，对话如图所示，该人工智能程序经过思考后给出的正确答案是（     ） A．存在，这个数是 B．存在，这个数是2 C．存在，这个数是 D．不存在 3．用配方法解一元二次方程时，通过配方可以将其化成（，为常数）的形式，则，的值分别为（     ） A．，8 B．3，8 C．，10 D．3，10 4．已知三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（     ） A．15 B．19 C．15或19 D．18或20 5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 6．红星村种的水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 8．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 9．若实数满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．或 10．已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（    ） A．若方程有一根为1，则 B．若，，则方程两根互为相反数 C．若，则方程必有解 D．若，则方程有一根为0 11．小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 12．已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．已知2是关于x的方程的一个解，则a的值是_________． 14．已知实数，是一元二次方程的两根，则代数式______． 15．如图，在用配方法解一元二次方程时，有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是_______． 16．小明的爸爸想用篱笆圈出一块如图所示的矩形区域用以饲养土鸡．已知面积为的鸡舍一面靠墙（墙长），另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的边上有一扇宽的门，则鸡舍垂直于墙的一边为_______m． 17．已知关于的一元二次方程的两个根分别为直角三角形的两直角边长，且该直角三角形的面积为3，则该直角三角形的斜边长为______________． 18．如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 20．（6分）已知关于x的方程． (1)当时，求m的值； (2)若方程的一个根是，求方程的另一个根． 21．（8分）2026年国际足联世界杯由美国、加拿大和墨西哥三国联合举办，盛况空前．某足球运动员在比赛过程中，把一个足球沿垂直于地面的方向往上踢，后该足球的高度h（m）适用公式． (1)经过多少秒时球的高度为？ (2)在上升过程中，球的高度能否达到？若能，请求出对应的时间；若不能，请说明理由． 22．（8分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； (3)m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 23．（8分）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的长，求的周长． 24．（8分）因各大社交媒体的传播，景德镇已成为最著名的网红旅游城市之一，年“五一”黄金周期间，景德镇接待游客万人次；年“五一”黄金周期间，接待游客已达万人次．千年瓷都景德镇美食无数，一家特色冷粉店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该冷粉的成本价为每碗元，借鉴以往经验：若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每降低元，则平均每天多销售碗． (1)求出年至年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率； (2)店员小瓷认为，按照薄利多销的原则，如果多降点价，那店里每天至少能赚元；你认为小瓷的想法对吗？如果不对，那么店家每天最多能赚多少元． 25．（10分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 26．（12分）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $