小专题 等腰三角形中的分类讨论 2026-2027学年人教版八年级数学上册

小专题 等腰三角形中的分类讨论 班级：__________ 姓名：____________ 类型一：针对腰长和底边长进行分类讨论 1．已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．9或15 2．等腰三角形的周长为16，若一条边长为4，则另两边的长是（　　） A．4与4 B．6与6 C．4与8 D．6与6或4与8 3．按要求完成下列各题： （1）已知一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，求它的周长； （2）已知一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为12cm，求其他两边的长． 4．用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长分别是多少？ （2）能围成一个有一边的长为5cm的等腰三角形吗？为什么？ 5．一个等腰三角形的三边长分别为2x﹣1、x+1、3x﹣2，求该等腰三角形的周长． 类型二：针对顶角和底角进行分类讨论 6．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（　　） A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80° 7．等腰三角形的一个外角是80°，则它的顶角的度数为（　　） A．80° B．80°或50° C．100° D．100°或50° 8．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD． （1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 类型三：当高的位置不确定时，分类讨论 9．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，那么这个等腰三角形底角的度数为（　　） A．24° B．66° C．66°或24° D．66°或42° 类型四：腰上的中线引起的分类讨论 10．等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为12cm与15cm两部分，求这个等腰三角形的底边的长． 类型五：等腰三角形存在性问题中，因点的位置不确定引起分类讨论 11．如图，在3×3的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 第11题图 第12题图 12．如图，点、都在正方形网格的格点上，若等腰的三个顶点都在格点上，则满足条件的点的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 13．在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 参考答案与试题解析 1．解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6， ∴根据等腰三角形的性质，分情况讨论得， 当腰长为6时，3+6＝9＞6，三角形的周长为6+6+3＝15； 当腰长为3时，3+3＝6，不能构成三角形； 综上所述，此等腰三角形的周长为15， 故选：B． 2．解：根据等腰三角形的性质，当边长为4的边为腰时，三角形的底边为16﹣4﹣4＝8， 但4+4＝8，不能构成三角形，不符合题意； 当边长为4的边为底边时，则等腰三角形的腰长为（16﹣4）÷2＝6； 综上所述，另两边的长是6与6；只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 3．解：（1）分两种情况： 当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为8cm，5+5＞8， 此时周长为5+5+8＝18（cm）； 当等腰三角形的腰长为8cm，底边长为5cm，8+5＞8， 此时周长为5+8+8＝21（cm）； 综上，该等腰三角形的周长为18cm或21cm； （2）分两种情况： 当等腰三角形的腰长为12cm， 此时底边长为30﹣12﹣12＝6（cm），12+6＞12， 故其他两边长为12cm和6cm； 当等腰三角形的底边长为12cm， 此时腰长为（30﹣12）÷2＝9（cm），9+9＞12， 故其他两边长为9cm和9cm． 综上，其他两边的长为12cm和6cm或9cm和9cm． 4．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm， 根据题意得，x+3x+3x＝21， 解得x＝3cm； 则3x＝9cm ∴三角形的三边分别为3cm、9cm、9cm． （2）①若5cm为底时，腰长（21﹣5）＝8（cm）， ∴三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，能围成三角形； ②若5cm为腰时，底边＝21﹣5×2＝11， ∴三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm， ∵5+5＝10＜11， ∴不能围成三角形， 综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形． 5．解：①当2x﹣1＝x+1时，解x＝2，此时3，3，4，能构成三角形，周长为10． ②当2x﹣1＝3x﹣2时，解x＝1，此时1，2，1不能构成三角形， ③当x+1＝3x﹣2，解得x＝1.5，此时2，2.5，2.5能构成三角形，周长为7． 故该等腰三角形的周长是10或7． 故答案为：10或7． 6．解：如图所示，△ABC中，AB＝AC． 有两种情况： ①顶角∠A＝50°； ②当底角是50°时， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝50°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°． 故选：D． 7．解：依题意有以下两种情况： ①当80°的角是等腰三角形顶角的外角时， 则该等腰三角形的顶角是：180°﹣80°＝100°， 此时该等腰三角形的两个底角分别为：40°，40°，符合题意； ②当80°的角是等腰三角形底角的外角时， 则该等腰三角形的底角度数是：180°﹣80°＝100°， ∴两个底角的和为：100°+100°＝200°＞180°，不符合三角形内角和，此种情况不存在， 综上所述：该等腰三角形的顶角是100°． 故选：C． 8． 解：（1）△AOD是直角三角形，理由： ∵△OCD是等边三角形， ∴OC＝CD，∠OCD＝∠ODC＝∠COD＝60°， 而△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC．∠ACB＝∠OCD＝60°， ∴∠BCO＝∠ACD． 在△BOC与△ADC中， ∵ ∴△BOC≌△ADC（SAS）， ∴∠BOC＝∠ADC， 而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°， ∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形； （2）由题意可得：∠COB＝∠CDA＝α，∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∠OAD＝50°， 当OA＝AD时， ∴∠AOD＝∠ADO，即190°﹣α＝α﹣60°， 解得α＝125°； 当OA＝OD时， ∴∠OAD＝∠ODA，即α﹣60°＝50°， ∴α＝110°， 当OD＝AD时， ∵∠DOA＝DAO，即190°﹣α＝50°， ∴解得α＝140°， 综上所述，当α为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形． 9．解：等腰三角形ABC中，AB＝AC，作腰AC上的高BD，垂足为D， ∴∠ADB＝90°， ∵BD与AB的夹角为42°，即∠ABD＝42°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣42°＝48°． 当△ABC为锐角三角形时，如图： ∵AB＝AC， ∴． 当△ABC为钝角三角形时，如图： ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵∠C+∠ABC＝∠BAD， ∴． 综上，底角为66°或24°， 故选：C． 10．解：设AD＝xcm则， 当2x+x＝12时，x＝4，即AB＝AC＝8cm， ∵周长是12+15＝27cm， ∴BC＝11cm； 当2x+x＝15时，x＝5，即AB＝AC＝10cm， ∵周长是12+15＝27cm， ∴BC＝7cm， 综上可知，底边BC的长为7cm或11cm． 11．解：如图所示：图中符合条件的点C有5个， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 12．A 【分析】根据等腰三角形的定义，分，，三种情况讨论，结合网格特点找出满足条件的格点的个数． 【详解】解：设网格小正方形的边长为， 由图可知，点、在同一条竖直格线上，且， 网格横向有个格，纵向有个格， 分三种情况讨论：①当时，点在以为圆心，为半径的圆上， 在网格内，满足条件的格点有个，分别位于点的左侧和右侧，与点在同一水平线上， ②当时，点在以为圆心，为半径的圆上． 在网格内，满足条件的格点有个，分别位于点的左侧和右侧，与点在同一水平线上， ③当时，点在线段的垂直平分线上． 线段的垂直平分线是经过中点的水平格线， 该直线上共有 个格点，除去与、共线的个点（即 中点），剩余个点满足条件， 综上所述，满足条件的点的个数是． 13．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．分别以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧，与坐标轴的交点以及的垂直平分线与坐标轴的交点即为所求的点P的位置． 【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，的垂直平分线与坐标轴的交点有2个， 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选：C． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $