第15章 专题4 等腰三角形中的分类讨论思想&专题5 构造等腰三角形的常用方法-【勤径学升】2026-2027学年八年级上册数学同步练测(人教版)

同步练测·八年级数学（上册） ·∠ABD=}∠ABC=30°，∠BMD= 2 F2∠BAC=30 ·∠ADE为△ABD的外角， .∠ADE=∠ABD+∠BAD=60° AE=AD. ,△ADE是等边三角形 课时2含30°角的直角三角形的性质 基础达标练 1.D2.C3.D4.C5.3 6.解：设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x 由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=x+2x+3x=180°， 解得x=30°，即∠A=30°，∠C=3×30°=90°， 即△ABC为直角三角形. .:∠C=90°，∠A=30°， .∴.AB=2BC=2×4=8(cm). 7.(1)解：AB=AC,∠BAC=120°， ∠G=2(180-L84C)=7×(180-1209)=30e (2)证明：如答图，连接AP.由(1)知∠C=30°， ,'PD⊥AG,∴，∠CPD+∠C=90° 又∠APD+∠CPD=90°，∴.∠APD=∠C=30°， .AP=2AD,AC=2AP,.'.AC=4AD, .'CD=AC-AD=4AD-AD=3AD,CD=3AD. D 7题答图 8.(1)证明：AB=AC,.∠B=∠C. 由题意知∠DAC=∠EAB=90°. I∠B=∠C, 在△ABE和△ACD中，{AB=AC, ∠EAB=∠DAC=90°， .△ABE≌△ACD(ASA), .AD=AE (2)解：∠B=30°，∴.LAEB=90°-LB=60°， 由(1)得△ABE≌△ACD,∴.AD=AE=3, .∠ADE=∠AED=60°，，△ADE是等边三角形， .AD=AE=DE=3, .∴.∠BAD=∠BAE-∠DAE=30°，.∠BAD=∠B, ∴.BD=AD=3. 同理可得AE=CE=3, ,∴.BC=3+3+3=9. 能力进阶练 1.A2.B3.4 4.(1)证明：DE,DF分别是△ABD和△ACD的高， ..DE⊥AB,DF⊥AC. ·16. AD是∠BAC的平分线， .DE=DF. (2)解：由(1)得DE=DF, 1 2SAMB=AB·DB+AC·DF=)DB·(AB+AC)=24 2 2 .:AB+AC=16,∴.DE=3. ∠BAC=60°，∴.∠DAF=∠EAD=30°， .∴.AD=2DE=6. 5.【探究发现】 证明：如答图①，取AB上一点D,使BC=BD,连接CD. ∠ACB=90°，∠A=30°，.∠B=60°. BC=BD,.△DBC是等边三角形， .BC=CD=DB,∠CDB=60°，∴.∠ACD=∠CDB-∠A=30°， .DA=DC,∴.DA=DB=BC, 【灵活运用】 解：桌面AB到地面CD的高度是60cm,解析如答图 ②，作OF⊥CD于点F,延长FO交AB于点E.OA=OB, ∠A0B=120°，∴.∠A=30°.·0C=0D,∠C0D=∠A0B= 120°，.∠D=30°，∴AB∥CD,.OE⊥AB.在Rt△A0E中， 0A=90cm,∠A=30°，0E=0A=45cm在Rt△D0F 2 中，m=30em,∠D=30,0F=20D=5m,EF 0E+0F=45+15=60(cm),.桌面AB到地面CD的高度是 60cm. B C D B 5题答图① 5题答图② 专题4等腰三角形中的分类讨论思想 1.10 2.解：当8为腰长时， ,·等腰三角形ABC的周长为20， .△ABC的底边长为20-8-8=4， ·“优美比”为4=1 821 当8为底边长时，△ABC的腰长为7x(20-8)=6, .“优美比”为 84 6=3 综上所述，它的“优美比的值为了或 3 3.24或27或3 4.解：当顶角为钝角时，如答图①，可求得其顶角的邻补角为 60°，则顶角为120 60° 309 4题答图① 当顶角为锐角时，如答图②，可求得其顶角为60°， 609 30°- 4题答图② 综上所述，该等腰三角形的顶角为120°或60°. 5.30°或90° 6.解：0C平分∠A0B,∠A0B=80°， ∠A0B=40°， :.LAOC=2 分三种情况（如答图）： 当C0=CP,时，∠0PC=∠C0P,=40°. 0 B 当P20=CP2时，∠0CP2=∠C0P2=40°， 6题答图 .∠0P2C=180°-∠C0P2-∠0CP2=100° 当B0=0C时，∠0CP,=∠0P,C=180°-40 2 =70° 综上所述，∠0PC的度数为40°或100°或70° 7.40°或140° 8.解：AB=AC, .∴.∠ABC=∠C. 设LABC=∠C=x. ,:DE是边AB的垂直平分线，·AD=BD, .∠ABC=∠BAD=x. 若△ACD为等腰三角形，如答图①. 当AD=CD时，∠C=∠CAD=x. .'∠ABC+∠BAC+∠C=180°， .x+x+x+x=180°， .x=45°，即∠ABC=45 若△ACD为等腰三角形，如答图 D ②，当AC=DC时，∠CAD= 8题答图① ∠CDA. .·∠ABC=∠BAD=x, .∠CDA=∠CAD=2x. .'∠ABC+∠BAC+ ∠C=180°， .∴.x+x+2x+x=180°， D .x=36°，即∠ABC=36° 8题答图② 综上所述，∠ABC的度数为45°或36. 专题5构造等腰三角形的常用方法 1.解：A是线段EF的中点.理由如下： 如答图，连接AD,则AD⊥BC. EF∥BC,∴.AD⊥EF. 参考答案及解析 又：DE=DF, .AD是△DEF中EF边的中线， .A是线段EF的中点. 2.(1)证明：AD⊥BC于点D, ∴.△ABD和△CDG都是直角三角形. BE=CE,∴.∠B=∠CCD, .∠BAG=∠CGD=∠AGE,.AE=GE, 1题答图 .△AEG为等腰三角形 (2)解：如答图，作EHBC,交AD于点H. 在△EHG和△CDG中， LEHG=L CDG, ∠EGH=∠CGD, EG=CG, .∴.△EHG≌△CDG(AAS), ∴.HG=DG. 2题答图 AE=EG,EH LAD,..AH=HG=DG. .DG=5, .AG=10. 3.证明：如答图，延长AD到点G,使DG=AD,连接CG AD为中线，.BD=CD. 又∠ADB=∠CDG,AD=GD, .△ADB≌△GDC(SAS), .AB=GC,∠EAF=LG. .AE=EF,∴.∠EAF=∠EFA. ·∠EFA=∠CFG,.∠G=∠CFG, 3题答图 ..CF=CG,..AB=CF. 4.证明：(1)如答图①，过D作DE⊥BA,交BA延长线于点E, DF⊥BC于点F. E BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥ BF, ∴.DE=DE .:∠BAD+∠C=180°，∠BAD+ ∠EAD=180°，∴.∠EAD=∠C. 4题答图① ∠E=∠DFC=90°，.△DEA≌△DFC(AAS), .AD=CD. (2)如答图②，在BC上截取BK=BD,BT=BA,连接 DT,DK. .'AB=AC,∠BAC=100°， D .∠ABC=∠C=40°. :BD平分∠ABC, TK E1∠ABC=20°， ÷LDBK=21 4题答图② .BD=BK,∴.∠BKD=∠BDK=80° ∠BKD=∠C+LKDC,.∠KDC=∠C=40°， ∴.DK=CK BD=BD,∠DBA=∠DBT,BA=BT, .△DBA≌△DBT(SAS), .AD=DT,∠A=∠BTD=100°，.∠DTK=∠DKT=80°， .DT=DK,∴.AD=CK, ,∴.BD+AD=BK+CK=BC ·17.第十五章轴对称 专题4等腰三角形中的分类讨论思想 [答案P16] 类型1腰或底不确定 6.（山西太原期中)如图，∠AOB=80°，C是 1.(宿迁中考)若等腰三角形的两边长为2cm和 ∠AOB的平分线上的一动点，P在射线OA上.若 4cm,则该等腰三角形的周长为 △OPC是等腰三角形，求∠OPC的度数. cm. 2.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个 等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形ABC的 周长为20，其中一边长为8，求它的“优美比” 的值 6题图 类型4/腰的垂直平分线不确定 7.已知在△ABC中，AB=AC,线段AB的垂直平分线 类型2/顶角或底角不确定 DE交AB于点D,交直线AC于点E,若∠DEA= 3.已知一个等腰三角形的两角分别为(2x-2)°， 50°，则∠BAC的度数是 (3x-5)°，则x= 8.在等腰三角形ABC中，AB=AC,边AB的垂直平 4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°， 分线交边BC于点D,连接AD,若△ACD为等腰 求顶角的度数 三角形，求∠ABC的度数 类型3/动点位置不确定 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，点D为平 面内一点，且AD=AC,LADB=)∠C,则∠DAC9 5题图 见此图标目园微信扫码准题轻松解练出好成绩 59 同步练测 八年级数学（上册） 专题5构造等腰三角形的常用方法 [答案P17] 类型1构造“三线合一”图形 类型2/“倍长中线法”构造等腰三角形 1.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC的中点. 3.如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点， △DEF的边EF过点A,且EF∥BC,DE=DF,那么 AD,CE交于点F,且AE=EF.求证：AB=CF. A是线段EF的中点吗？请你说明理由， 3题图 1题图 类型3“截长补短法”构造等腰三角形 4.(1)如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠， 2.(江苏南京月考)如图，在锐角三角形ABC中， ∠BCD=180°-∠a,BD平分∠ABC.求证： AD=CD. 点E是AB边上一点，BE=CE,AD⊥BC于点D, AD与EC交于点G. (2)如图②，在等腰三角形ABC中，∠BAC= 100°，BD平分∠ABC.求证：BD+AD=BC (1)求证：△AEG为等腰三角形； 4 (2)若GD=5,G为CE的中点，求AG的长 B 4题图① 4题图② 2题图 60 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩