第1章 有理数——绝对值模型专题30题(六大模型:非负性/化简/方程/最值/数轴动点/应用探究) 2026-2027学年沪科版数学七年级上册

沪科版数学七年级上册 第1章有理数 绝对值模型专题30题（解析版） （六大模型：非负性/化简/方程/最值/数轴动点/应用探究） 模型一　绝对值的非负性 1．已知 |a−3|+|b+2|=0，求 a+b。 a=3，b=−2，a+b=1。 2．已知 |x−1|+(y+4)²=0，求 3x+2y−1。 x=1，y=−4，原式=−6。 3．已知 |a+2|+|b−3|+|c+1|=0，求 a−b+c。 a=−2，b=3，c=−1，a−b+c=−6。 4．若 |2x−6|+(y+1)²=0，求 x²−2y 的值。 x=3，y=−1，x²−2y=11。 模型二　绝对值化简模型 5．有理数 a、b、c 在数轴上位置如图，化简 |a+b|−|c−a|+|b−c|。 a+b<0，c−a>0，b−c<0。原式=−2b。 6．有理数 a、b 在数轴上位置如图，化简 |a−b|−|a+b|。 a−b<0，a+b<0。原式=2b。 7．化简 |x−2|+|x+1|。 x<−1：−2x+1；−1≤x<2：3；x≥2：2x−1。 8．化简 |x+3|−|x−1|。 x<−3：−4；−3≤x<1：2x+2；x≥1：4。 9．已知 a<0<b，且 |a|>|b|，化简 |a+b|+|a−b|。 a+b<0，a−b<0。原式=−2a。 10．有理数 a、b、c 满足 a<b<0<c，化简 |a−b|−|b+c|+|c−a|。 a−b<0，c−a>0；b+c符号不定。原式=−a+b−|b+c|+c−a。 模型三　绝对值方程模型 11．解方程 |2x−1|=5。 x=3或x=−2。 12．解方程 |3x+2|=4。 3x+2=±4→x=2/3或x=−2。 13．解方程 |x−2|+|x+1|=5。 x<−1：−2x+1=5→x=−2；x>2：2x−1=5→x=3。 14．数轴上点 P 到 −2 和 3 的距离之和为 8，求 P。 x=−7/2或x=9/2。 15．解方程 |x−3|=2x。 x≥3：x−3=2x→x=−3（舍）；x<3：3−x=2x→x=1。 16．已知 |a|=4，|b|=3，且 a<b，求 a+b。 a=−4，b=±3。a+b=−1或−7。 模型四　绝对值最值模型 17．求 |x+2|+|x−3| 的最小值及 x 范围。 最小值=5，−2≤x≤3。 18．求 |x−1|+|x−2|+|x−3| 的最小值。 奇数点取中位数x=2，最小值=2。 19．三村庄 A、B、C 对应数轴 −3、1、4，建快递点使距离和最小。 （1）建在哪？（2）最小距离和？ x=1时最小，距离和=7。 20．求 |x+1|+|x−2|+|x−4|+|x−7| 的最小值。 偶数点取中间区间−1≤x≤2... 实际为−1到7，中间区间2≤x≤4，最小值=10。 21．求 |x−2|−|x+3| 的最大值和最小值。 最大值=5（x≤−3），最小值=−5（x≥2）。 模型五　绝对值与数轴动点 22．数轴上 A(−6)、B(4)，P 从 A 向右每秒 2，Q 从 B 向左每秒 1。 （1）几秒相遇？（2）几秒相距 2？ P=−6+2t，Q=4−t。（1）t=10/3；（2）t=4或8/3。 23．点 A(−2)，P 从 A 向右每秒 1。 （1）t 秒后 P 到原点距离；（2）距离为 3 时 t。 P=−2+t。（1）|t−2|；（2）t=5。 24．数轴上 A(−10)、B(20)，P 从 A 向右每秒 3，Q 从 B 向左每秒 2。 （1）几秒相遇？（2）相遇点位置？ −10+3t=20−2t→t=6，相遇点=8。 25．点 A(−5)，P 从 A 向右每秒 2，同时 Q 从原点向右每秒 1。 （1）几秒 P 追上 Q？（2）追上时位置？ −5+2t=t→t=5，位置=5。 26．数轴上 A(−8)、B(4)，P 从 A 向右每秒 2，Q 从 B 向左每秒 1。 几秒后 P、Q 到原点距离相等？ |−8+2t|=|4−t|，平方得(t−4)²=0，t=4。 27．点 A(−3)，P 从 A 向右每秒 1，Q 从 A 向左每秒 2。 （1）t 秒后 P、Q 距离；（2）距离为 9 时 t。 P=−3+t，Q=−3−2t，距离=3t。3t=9→t=3。 模型六　实际应用与探究 28．质检员检测零件，标准 50 mm，|x−50|≤2 合格。 （1）合格范围；（2）|x−50|>3 不合格范围。 （1）48≤x≤52；（2）x>53或x<47。 29．四时刻气温 −5℃、−1℃、3℃、7℃。 （1）温差；（2）绝对值之和；（3）再降 4℃ 后温度。 （1）12℃；（2）16；（3）3℃。 30．探究 |a+b| 与 |a|+|b| 关系。 （1）a=3,b=5；（2）a=3,b=−5；（3）猜想结论。 （1）相等；（2）|a+b|<|a|+|b|；（3）|a+b|≤|a|+|b|，同号取等。 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版数学七年级上册 第1章有理数 绝对值模型专题30题（试题版） （六大模型：非负性/化简/方程/最值/数轴动点/应用探究） 模型一　绝对值的非负性 1．已知 |a−3|+|b+2|=0，求 a+b。 2．已知 |x−1|+(y+4)²=0，求 3x+2y−1。 3．已知 |a+2|+|b−3|+|c+1|=0，求 a−b+c。 4．若 |2x−6|+(y+1)²=0，求 x²−2y 的值。 模型二　绝对值化简模型 5．有理数 a、b、c 在数轴上位置如图，化简 |a+b|−|c−a|+|b−c|。 6．有理数 a、b 在数轴上位置如图，化简 |a−b|−|a+b|。 7．化简 |x−2|+|x+1|。 8．化简 |x+3|−|x−1|。 9．已知 a<0<b，且 |a|>|b|，化简 |a+b|+|a−b|。 10．有理数 a、b、c 满足 a<b<0<c，化简 |a−b|−|b+c|+|c−a|。 模型三　绝对值方程模型 11．解方程 |2x−1|=5。 12．解方程 |3x+2|=4。 13．解方程 |x−2|+|x+1|=5。 14．数轴上点 P 到 −2 和 3 的距离之和为 8，求 P。 15．解方程 |x−3|=2x。 16．已知 |a|=4，|b|=3，且 a<b，求 a+b。 模型四　绝对值最值模型 17．求 |x+2|+|x−3| 的最小值及 x 范围。 18．求 |x−1|+|x−2|+|x−3| 的最小值。 19．三村庄 A、B、C 对应数轴 −3、1、4，建快递点使距离和最小。 （1）建在哪？（2）最小距离和？ 20．求 |x+1|+|x−2|+|x−4|+|x−7| 的最小值。 21．求 |x−2|−|x+3| 的最大值和最小值。 模型五　绝对值与数轴动点 22．数轴上 A(−6)、B(4)，P 从 A 向右每秒 2，Q 从 B 向左每秒 1。 （1）几秒相遇？（2）几秒相距 2？ 23．点 A(−2)，P 从 A 向右每秒 1。 （1）t 秒后 P 到原点距离；（2）距离为 3 时 t。 24．数轴上 A(−10)、B(20)，P 从 A 向右每秒 3，Q 从 B 向左每秒 2。 （1）几秒相遇？（2）相遇点位置？ 25．点 A(−5)，P 从 A 向右每秒 2，同时 Q 从原点向右每秒 1。 （1）几秒 P 追上 Q？（2）追上时位置？ 26．数轴上 A(−8)、B(4)，P 从 A 向右每秒 2，Q 从 B 向左每秒 1。 几秒后 P、Q 到原点距离相等？ 27．点 A(−3)，P 从 A 向右每秒 1，Q 从 A 向左每秒 2。 （1）t 秒后 P、Q 距离；（2）距离为 9 时 t。 模型六　实际应用与探究 28．质检员检测零件，标准 50 mm，|x−50|≤2 合格。 （1）合格范围；（2）|x−50|>3 不合格范围。 29．四时刻气温 −5℃、−1℃、3℃、7℃。 （1）温差；（2）绝对值之和；（3）再降 4℃ 后温度。 30．探究 |a+b| 与 |a|+|b| 关系。 （1）a=3,b=5；（2）a=3,b=−5；（3）猜想结论。 学科网（北京）股份有限公司 $