第1章 有理数全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 有理数专项训练通过基础-核心-综合三层架构，系统覆盖概念辨析、运算技巧及综合应用，分层突破高频考点，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|11题型/基础题|正负数识别、有理数分类等概念辨析及基础运算|从概念生成到基本运算，构建知识体系| |核心提升|8题型/中档题|绝对值非负性、数轴移动等重难应用与技巧探究|从运算深化到问题解决，发展推理意识| |综合攻坚|多题型/综合题|跨知识点综合与新定义运算，结合实际情境|从知识整合到模型应用，提升数学语言表达能力|

第一章 有理数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 正负数识别与相反意义的量 题型2 有理数分类辨析 题型3 数轴上点的表示与读数 题型4 绝对值化简、求绝对值 题型5 有理数大小比较 题型6 有理数加减计算 题型7 有理数乘除计算 题型8 乘方运算基础 题型9 科学计数法表示数 题型10 近似数与精确度判断 题型11 有理数简单混合运算 核心提升：重难题型归纳 题型1 绝对值非负性求值 题型2 数轴上点的移动问题 题型3 有理数加减实际应用 题型4 乘方规律探究 题型5 有理数混合运算巧算 题型6 数轴上两点距离计算 题型7 含参数的绝对值分类讨论 题型8 新定义有理数运算 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 正负数识别与相反意义的量 1．下列四个数中，是负数的是（     ） A． B．0 C．1 D． 2．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入元记作元，则支出元可记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．如果增产10吨，记作吨，那么减产8吨，记作( )，吨表示( )． 4．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ ◆题型2 有理数分类辨析 1．下列说法正确的是（     ） A．正数和负数统称为有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．0是整数也是有理数 D．小数都是分数 2．在数，，，，，中，属于整数的个数是（     ） A． B． C． D． 3．在下列各数中选出符合条件的数填入相应的集合内： ，0，，，，． 4．把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合： 分数集合： 非负整数集合： ◆题型3 数轴上点的表示与读数 1．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 3．下面直线上点A表示的数是( )，点B用分数表示是( )． 4．画出数轴，并在数轴上画出表示下列各组数的点： (1)； (2)． ◆题型4 绝对值化简、求绝对值 1．的绝对值是（     ） A． B．5 C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若，且，则_________． 4．___________． ◆题型5 有理数大小比较 1．在、、和中，最小的数是（     ）． A． B． C． D． 2．已知，则，，三者大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 3．用“<”号或“>”号填空： （1）3.6________2.5；     （2）________0； （3）________；  （4）________ （5）________； （6）________． 4．用“”号或“”号填空： （1）因为________，所以________； （2）因为________，所以________． ◆题型6 有理数加减计算 1．与相等的是（     ） A． B． C． D． 2．绝对值小于的所有整数的和是_____． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 4．按运算顺序直接计算： (1)； (2)． ◆题型7 有理数乘除计算 1．（    ） A． B． C． D． 2．计算：_____． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 4．计算（能用简便运算的用简算） (1) (2) ◆题型8 有理数乘方基础 1．计算：（     ） A．16 B．2 C．1 D． 2．计算：_______． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型9 科学计数法表示数 1．电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．2024年，长沙在全球科技集群百强榜中跃升至第位，在全球科研城市排名中升至第位，人才总量达到．人才总量数据用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 3．表示的原数是（    ） A． B． C． D． ◆题型10 近似数与精确度判断 1．用四舍五入法将0.06029精确到十分位，得到的是（     ） A．0.1 B．0.060 C．0.06 D．0.0603 2．2026年某市常住人口约为人，该数据精确到（     ） A．个位 B．十位 C．百位 D．万位 3．某集团全年产值约亿元，它精确到___________位．用科学记数法表示此近似数是___________元（保留两位有效数字）． 4．把5.8965精确到百分位是（用四舍五入法取近似数）__________． ◆题型11 有理数简单混合运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算 (1) (2) (3) 3．计算： (1)； (2) 4．计算： (1)； (2) ◆题型1 绝对值非负性求值 1．若，则多项式的值为（    ） A． B．5 C． D． 2．成立时，______． 3．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 4．已知，求代数式的值． ◆题型2 数轴上点的移动问题 1．点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 2．已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 3．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 4．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． ◆题型3 有理数加减实际应用 1．下表是某地连续4天内每天的最高气温和最低气温记录，在这4天中，温差（最高气温与最低气温的差）最小的是（   ） 第一天 第二天 第三天 第四天 最高温度/℃ 8 5 6 4 最低温度/℃ 1 A．第一天 B．第二天 C．第三天 D．第四天 2．下图以，，，四人的平均体重为零点，表示了其中三人的体重情况．若的体重为，则的体重是___________kg． 3．某运动队队员的平均身高是．下表给出了该运动队6名队员的身高情况（单位：）． 队员 A B C D E F 身高 179 174 182 身高与平均身高的差 0 (1)试完成上表． (2)这6名队员中谁最高，谁最矮？ (3)这6名队员中，最高与最矮的队员身高相差多少？ 4．某仓库周一到周五的货物进出记录如下（表示进库，表示出库，单位：吨）： (1)周五结束后，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ (2)周五结束时，仓库共有货物吨，求仓库原有的货物吨数． ◆题型4 乘方规律探究 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．的值是 _______． 4．如果，则______． ◆题型5 有理数混合运算巧算 1．能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 2．脱式计算（能简算的要简算） (1)； (2)； (3)． 3．计算（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) ◆题型6 数轴上两点距离计算 1．数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 2．点，点，点在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，以点为折点，将数轴向右对折，点落到点处，若，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图，在数轴上，点、分别表示、，、互为相反数且它们之间的距离为6，则点表示的数为______． 4．如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，． (1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数． (2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数． (3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数． 5．数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． ◆题型7 含参数的绝对值分类讨论 1．我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ； (2)的最小值是 ，此时的值为 ； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 2．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是 ___________； (2)①若，则x=___________； ②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为 ___________； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则4表示的点和 ___________表示的点重合； (4)折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和 ___________表示的点重合； ②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是 ___________，点B表示的数是 ___________； 【拓展】 (5)若，则x=___________． 3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）表示－3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m－n|，如果表示数a和－1的两点之间的距离是2，那么a＝ ． （2）若数轴上表示数a的点位于－2与4之间，求|a－4|＋|a＋2|的值． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，这些点表示的数的和是 ． （4）当a＝ 时，|a＋3|＋|a－1|＋|a－4|的值最小，最小值是 ． ◆题型8 新定义有理数运算 1．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 2．若定义一种新运算，规定，则______． 3．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 4．我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：． 例如，． (1)求的值； (2)若的值与互为相反数，求的值． 1．一包奶糖的包装袋上标着：净重（）克．这包奶糖实际最少为（     ）克 A．205 B．195 C．200 D．210 2．数轴上表示的点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 3．在数轴上，表示下列四个数的点在和之间的是（     ） A． B． C． D． 4．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 5．如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．一个两位小数四舍五入取近似值保留一位小数，结果是，这个数最大是( )，最小是( )． 7．某疫苗说明书上标明疫苗保存的温度是，室内温度为，是否符合储存标准________（填是或否）． 8．已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 9．计算： (1) (2) 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 11．某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 12．已知数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)当时，点M表示的数为_____________，点N表示的数为_____________，线段的长是_____________； (2)若点M与点N关于原点对称，求x的值； (3)若点M在点N的左侧，求x的取值范围． 13．某文具厂工人刘师傅一天生产盒铅笔，以每盒克为标准，超过或不足的克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：克） 0 1 3 盒数 1 5 2 4 3 5 (1)盒铅笔中，最重的一盒比最轻的一盒重多少克？ (2)这盒铅笔的实际总质量是多少克？ (3)若生产每克铅笔的成本是元，这批铅笔按每盒元的价格售出盒后，剩余盒以每盒元的优惠价卖出．这盒铅笔全部售出后，刘师傅一共盈利多少元？ 14．如果，那么为的“劳格数”，记为．例如：，，，，，． (1)根据定义，填空：________，________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m，n为正数，则，． ①根据运算性质，填空：________； ②若，分别计算，． 15．阅读材料解决问题 (1)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴时，我们发现有许多重要的规律： 例如，若数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．若在数轴上，点，表示的数分别为，20， 则根据上面的材料可知_________线段的中点表示的数为_________（直接写出结果）； (2)数学李老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方式计算： (3)阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： ①_______； ②计算：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章有理数全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1正负数识别与相反意义的量 1.A 2.C 3.-8吨 减产15吨 4. 22 【详解】解：大于0的数是正数，有+6,54，号，0.001， 小于0的数是负数，有-21，-3.14，-999。 0既不是正数也不是负数。 ◆题型2有理数分类辨析 1.C 2.B 3 【详解】解：正数是大于0的数，有2，+10： 负整数是小于0的整数，有-5： 整数是指不含小数部分的数，有0，-5，+10 4.【答案】正数集合：{①⑤：分数集合：③④⑤⑦小：非负整数集合：{①⑥ ◆题型3数轴上点的表示与读数 1.B 2.C 1/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.-2 3 4. 【答案】(1) -3-2.1 0.5 4号 5432107234 (2) -400 -500 250 -500-400-300-200-1000100200300400500 ◆题型4绝对值化简、求绝对值 1.B 2.C 3.3 4.7 ◆题型5有理数大小比较 1.B 2.A 3.> 4.> ◆题型6有理数加减计算 1.D 2.0 3. 【详解】(1)解：原式=13-(26+21-18) =13-(47-18) 2/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =13-29 =-16: (2)解：原式=1.4+3.6-5.2-4.3)+1.5 =(5-5.2-4.3)+1.5 =(-0.2-4.3)+1.5 =-4.5+1.5 =-3； (3)解：原式=4+4 1 =3+1- 2 4、1 2 7 22 4. 【详解】(1)解：原式=-16+20-10+11=5： 11116,4325 (2)解：原式=2+3461212121212 ◆题型7有理数乘除计算 1.D 2.12 3.. 【详解】(1)解： (( 别 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6: 2解：6÷(025号 =6(》员 =-6x(-49x 24 -2A 11 =11: 3解：（引 -(引3x =(-2)×(-2) =4. 4. 【详解】(1)解：2.5×4÷85 =10÷85 2 179 （a解：24日名引 1 5-24×8 7 =24×+24× 4 6 8 =6+20-21 =5 ◆题型8有理数乘方基础 1.D 2.-8 3. 4/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解： 〔-8 (2)解：（-5)°=-53=-125： (3)解：-（-3}=-32=-9： (4)解：[-（-2)]=2=8」 ◆题型9科学计数法表示数 1.B 2.A 3.A ◆题型10近似数与精确度判断 1.A 2.D 3.千万 1.1×10° 4.5.90 ◆题型11有理数筒单混合运算 1. 【详解】(1)解：53=5×5×5=125： (2)解：(-3)°=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81： )解((》日 (4)解：-（-2°=-[(-2)×(-2)×(-2)]=-(-8)=8 2 5/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：-8+12-(6)， =-8+12+6, =4+6, =10: =》 =3; (3)解：-2+(42-(-)+(-3}， =-16+16-(-1)+9, =-（-1)+9, =1+9, =10, 3. 【解四解(-兮号-6美 =9-27x2-6÷2 89 3 =9-3-9 4 、3 4 a解r-》-2-(] =-1-1x(-8-9) 6 =-1x17） 6 6/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 6 【详解1④解：（←-（兮号6引 =9-27x2-6÷2 89 3 =9-3-9 4 4: 2解：-r-G》[-2-(3门 =-1-2x(-8-9) --1- ←-17) 17 =-1+ 6 11 61 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1绝对值非负性求值 1.A 2.13 3 【详解】(1)解：：la-2+b-3=0, :.a-2=b-3=0, .a=2,b=3, .a+b=2+3=5 (2)解：设到a、b两数距离之和为4的数为x, 7/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则x-2+x-3=4, 当x≤2时，2-x+3-x=4,x= 2 当2<x≤3时，x-2+3-x=4,方程无解： 9 当x>3时，x-2+x-3=4=2: 19 ∴到a、b两数距离之和为4的数为x=2或2 9 -5-4-3-2-012345→ 4. 【详解】解：：a+2+(3-b)=0,a+2≥0，(3-b)2≥0， a+2=0,3-b=0, a=-2,b=3, ∴.2a2b+3ab-4 =2×(-2)}×3+3×(-2)×3-4 =2×4×3+3×(-2)×3-4 =24-18-4 =2. ◆题型2数轴上点的移动问题 1.A 2.A 15 3.2 2 4. 【详解】(1)解：如图1， 图1 8/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意可知，三个火车的长为15-3=12， 则一个火车的长为12÷3=4； (2)解：同(1)可知：奶奶和小如的年龄差为AB, A表示的数为-40，B表示的数为116， 116-(40)=156,156÷3=52,则52是奶奶和小如的年龄差， .116-52=64」 则奶奶现在的年龄是64岁. ◆题型3有理数加减实际应用 1.D 2.45kg 3. 【详解】(1)解：B身高：180+2=182(cm),C身高：180+0=180(cm):D身高与平均身高的差： 174-180=-6(cm):E身高：180+3=183(cm):F身高与平均身高的差：182-180=+2(cm), 填表略： (2)解：183>182>180>179>174. 故E最高，D最矮： (3)解：183-174=9(cm) 答：最高与最矮的队员身高相差9cm. 4. 【详解】(1)解：由题意得： +8+(-3)+(+5)+(6)+(+4)=8(吨)： 答：仓库货物比原来多了，多了8吨. (2)解：由题意得：20-8=12（吨）： 答：仓库原有的货物为12吨. ◆题型4乘方规律探究 1.A 9121 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.B 3.-1 4.-1 ◆题型5有理数混合运算巧算 1. 【详解】(1)解：360÷18-14×0.6 =20-8.4 =11.6: (2)解：32×12.5×0.25 =8×4×12.5×0.25 =12.5×8)×(4×0.25) =100x1 =100; 44+8 (3)解：8÷55 54+8 =8× 45 =10-8 -10+8-号 =18、4 5 1 5 ④期：写+号尚×24 4-24 子24 5 =16+15-22 =9 2. 10/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】（a)解：原式=(-12)x4（-12)×后+(-12)x2 =-3+2-6 =-1. (2)解：原式=-1+(-8)÷4×(5-9) =-1+(-2)×(-4) =-1+8 =7. (3)解：原式=3.75-(0.625+0.5)=3.75-1.125=2.625 3. 1.5.2 【详解】(1)解：×8×5 食引 11 7*4 1 Γ289 (31+3x12 (2)解：426) 3x12-1x12+5x12 2 6 =9-6+10 =13: 解：45写号45 45g =45×3 =15: :传动品 -g0 11/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 =。×40- ×40 8 10 =5-4 =1 ◆题型6数轴上两点距离计算 1.A 2.D 3.-3 4. 【详解】(1)解：点A表示的数是-2， ∴点B,C表示的数分别为4和6： (2)解：：AC之间的距离为8个单位长度，点A,C所表示的数互为相反数， ∴点C表示的数为4， :点B在点C左侧2个单位长度位置， ∴点B表示的数为2. (3)解：当原点在B点的左侧时，则点B表示的数为3， ,点B在点C左侧2个单位长度位置， ∴点C表示的数为5： 当原点在B点的右侧时，则点B表示的数为3， 点B在点C左侧2个单位长度位置， .点C表示的数为-1： 综上，点C表示的数为5或-1. 5. 【详解】(1)解：，点A表示的数是4，点B表示的数是-1， A,B两点之间的距离是4-()=5： (2)解：x-2=3, ∴.x-2=3或x-2=-3, 12/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .x=5或x=-1, (3)解：当m≤-3时，m+3-m-2=-(m+3)-[-(m-2]=-m-3+m-2=-5, 当-3<m<2时，m+3到-m-2=m+3-[-(m-2]=m+3+m-2=2m+1,此时-5<2m+1<5, 当m≥2时，m+3-m-2=m+3-(m-2)=m+3-m+2=5, :当m≥2时，m+3-m-2的值最大，最大值为5. ◆题型7含参数的绝对值分类讨论 【详解】(1)解：根据绝对值的几何意义，得出3的点与-1的点之间的距离为3-(-)=4， (2)解：根据绝对值的几何意义可得，当x=0时，x+2++x-1的最小值是3， 故答案为：3，x=0。 (3)解：由图可得， -1 0 a -2 -1 0 只有当a=1.5且0≤x≤1或a=-1.5且-1≤x≤0时，x+2++x-l的最小值是4.5， 当x+2++x-1的最小值是4.5时，a=1.5且0≤x≤1或a=-1.5且-1≤x≤0. 2. 【详解】(1)表示5和-1两点之间的距离是 5-(-1)=6. 故答案为6： (2)①x-(-1=2, x+1=2或x+1=-2, 解得x=1或x=-3, 故答案为：1或-3： ②要使x所表示的点到表示-3和2的点的距离之和为5， 13/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴x+3+x-2=5, :-3与2的距离是5， .-3≤x≤2， x是整数， x的值为-3，-2，-1,0,1,2 ∴所有符合条件的整数x的和为-3， 故答案为：-3： (3)1表示的点和-1表示的点重合， ∴折叠点对应的数是0， ∴.4表示的点与4表示的点重合， 故答案为：-4； (4)①：3表示的点和-5表示的点重合， 351, .折叠的点表示的数是2 .-2-10=-12, ∴10表示的点和-12表示的点重合， 故答案为：-12： ②设A点表示的数是x,则B点表示的数是x+2022, -1=x+x+2022 2 解得x=-1012 点A表示的数-1012，点B表示的数是1010， 故答案为：-1012,1010 (5)x+2+x-3=8 则(x+2)+(x+3)=8或-(+2)+3-x=8或x+2+3-x=8或-x-2+x-3=8 :x+2+3-x=8或-x-2+x-3=8不成立， .(x+2)+(x+3)=8或-(x+2)+3-x=8 7 解得x=15或x=-2 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，数形结合是解题的关键 14/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(1)表示-3和2两点之间的距离是5,3-2=5：一般地，数轴上表示m和数n的两点之 间的距离等于-川.如果表示数a和-1的两点之间的距离是2，则可记为：|a+1=2,那么a=1或 -3: 故答案为：5,1或-3： (2)-2<a<4, ∴.la-4|+la+2|=4-a+2+a=6, (3)当x>5时，x+2+1x-5|=x+2+x-5=2x-3>7, 当-2≤5时，x+2|+lx-5引=x+2+5-x=7, 当x<-2时，x+2|+|x-5|=-x-2+5-x=-2x+3>7, ∴.使得x+2+x-51=7的所有整数为：-2，-1,0,1,2,3,4,5， -2+(-1)+0+1+2+3+4+5=12, 故答案为：12； (4)当a>4时，1a+31+1a-1|+1w-4|=a+3+a-1+-4=3x-2>10, 当1<4时，la+3|+|c-1|+1a-4|=a+3+c-1+4-a=6+a,则7<6+a≤10， 当-3<a≤1时，1a+3|+1a-1|+|-4|=a+3+1-a+4-a=8-a,则7s8-a<11, 当as-3时，|a+3|+la-1|+la-4|=-x3+1-a+4-a=-3a+2211, 由上可得，当a=1时，1a+3|+1a-1|+1a-4|的值最小，最小值是7， 故答案为：1,7. 【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨论的数学思想解 答 ◆题型8新定义有理数运算 1.A 2.0. 3. 【详解】(1)a©b=a×b-a-b, .（-2)®2=(-2)×2-(-2)-2=-4+2-2=-4： (2)a⊕b=a×b-a-b .50(-3)=5x(-3)-5-(-3)=-15-5+3=-17 15/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (-3)⊕5=-3×5-(-3)-5=-15+3-5=-17 :50(-3)=(-3)@5: (3)a⊕b=a×b-a-b, (-3)©(4⊕1) =(-3)⊕(4×1-4-1) =(-3)⊕(-1) =(-3)×(-1)-(-3)-（-1) =3+3+1 =7 : 【详解】(1)解：3※(-5) =3×(-5)+3-(（-5) =-15+3+5 =-7； (2)解：（-3)※(-2) =(-3)×(-2)+(-3)-(-2) =6-3+2 =5, 因为5的相反数为-5， 所以m的值为-5 题型专练 高频重难特训 1.B 2.B 3.B 4.A 5.A 6.8.94 8.85 16/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.否 8.a<-b<b<-a 9. 【详解】(1)解： -2+24× =-2+24× 643 121212 =224 =-2+(-2) =-4: 2解：m+5-x》-(4+-8到) =1+10×(-}-16*(-2) =1+(-16)-(（-2) =-15+2 =-13 10. 【详解】(1)解：2-2÷×3 =2-2×3×3 =2-18 =-16: ②解*2- 1 =4x4+5 =-1+5 =4: 3)解：-(+05列x(4到 17/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+ 7 = 8: 4解：3-（1-02×引(2) 3-(1-}-2列 =31-2列 -3(x2 -356 25 131 25· 11. 【详解】(1)解：由表可得：周三水果变化量最大，最大变化量为34（吨）： 故答案为：周三：34： (2)解：16-22+34-28-25+30-20=-15， 答：这一周冷库里的水果减少了，变化了15吨： (3)解：每周减少15吨，则上周有20+15=35（吨）， 答：一周前冷库里存有水果35吨： (4)解：(+16+-22+34+-28+-2++30+-20)×12=175×12=2100（元）， 答：这一周共需付2100元装卸费. 12. 【详解】(1)当x=-1时，点M表示的数为：3×(-)-5=-3-5=-8， 点W表示的数为：9-(-1)=9+1=10， 线段MN的长为：10-(-8)=18=18： (2):点M与点N关于原点对称， 它们表示的数互为相反数，即： 18/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3x-5)+(9-x)=0. 3x-5+9-x=0, 2x+4=0, 2x=-4, x=-2; (3):点M在点N左侧， ∴.点M表示的数小于点N表示的数，即： 3x-5<9-x, 3x+x<9+5, 4x<14, 7 x2 13. 【详解】(1)解：3-(4)=7（克）， 答：最重的一盒比最轻的一盒重7克， (2)解：20×50=1000（克） (-4)×1+(-2)×5+(-1)×2+0×4+1x3+3×5 =-4-10-2+0+3+15 =2(克)， 1000+2=1002(克)， 答：这20盒铅笔的实际总质量是1002克. (3)解：15×12+5×10 =180+50 =230(元)， 1002×0.05=50.1(元)， 230-50.1=179.9(元)， 答：刘师傅一共盈利179.9元. 14. 【详解】(1)解：104=10000， .d(10000)=4. 19/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 102= 1 100, 2 23解：①4100 100 =d100)-d1000)=2-3=-1: ②d(2)=0.301 ∴.d(4)=d(2×2)=2d(2)=2×0.301=0.602 d(8)=d(2×2×2)=3d(2)=3×0.301=0.903 15. 【详解】(1)解：：点A,B表示的数分别为-2,20， -2+20=9: ·AB=20-(-2)=22,线段4B的中点M表示的数为2 20:(226)(204号引0s0g [-+f引[4+r+写 [-202o(-2024400][}r(引g =0+ 9 1 (3)解：①3.14-π<0 3.14-=π-3.14： @时分。0 11 5<0,,同理2025202 11 ②326 <0,20262025 <0 台帽片+0sa0 1 1,,11.11 11 =+1+ 11 一十一 十 2 2334 2024202520252026 -1+1-2026 1 4051 2026 20/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21/21 第一章 有理数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 正负数识别与相反意义的量 题型2 有理数分类辨析 题型3 数轴上点的表示与读数 题型4 绝对值化简、求绝对值 题型5 有理数大小比较 题型6 有理数加减计算 题型7 有理数乘除计算 题型8 乘方运算基础 题型9 科学计数法表示数 题型10 近似数与精确度判断 题型11 有理数简单混合运算 核心提升：重难题型归纳 题型1 绝对值非负性求值 题型2 数轴上点的移动问题 题型3 有理数加减实际应用 题型4 乘方规律探究 题型5 有理数混合运算巧算 题型6 数轴上两点距离计算 题型7 含参数的绝对值分类讨论 题型8 新定义有理数运算 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 正负数识别与相反意义的量 1．下列四个数中，是负数的是（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】解：是负数． 2．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入元记作元，则支出元可记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】解：∵收入元记作元，支出与收入是具有相反意义的量， ∴支出元记作元. 3．如果增产10吨，记作吨，那么减产8吨，记作( )，吨表示( )． 【答案】 吨 减产吨 【分析】增产和减产是一对相反意义的量，题干规定增产记为正，则减产记为负，按规则推导即可． 【详解】解：因为增产吨记作吨，即增产记为正， 所以意义相反的减产记为负， 由此可得，减产吨记作吨，吨表示减产吨． 4．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ 【答案】正数有；负数有． 【详解】解：大于0的数是正数，有； 小于0的数是负数，有； 0既不是正数也不是负数． ◆题型2 有理数分类辨析 1．下列说法正确的是（     ） A．正数和负数统称为有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．0是整数也是有理数 D．小数都是分数 【答案】C 【分析】明确有理数定义、整数分类及小数与分数的关系，逐一判断选项． 【详解】解：选项A，整数和分数统称为有理数，是有理数但既不是正数也不是负数，且正数、负数中包含无理数，故A错误； 选项B，整数分为正整数、和负整数，故B错误； 选项C，是整数也是有理数，故C正确； 选项D，有限小数和无限循环小数是分数，无限不循环小数不是分数，故D错误． 2．在数，，，，，中，属于整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在，，，，，中：是整数，是无理数，是分数，是整数，是整数，是分数，所以整数有，，共3个． 3．在下列各数中选出符合条件的数填入相应的集合内： ，0，，，，． 【答案】正数集：，；负整数集：；整数集：，， 【分析】利用正数，负整数以及整数的定义填数即可． 【详解】解：正数是大于0的数，有，； 负整数是小于0的整数，有； 整数是指不含小数部分的数，有，，． 4．把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合： 分数集合： 非负整数集合： 【答案】正数集合：{①⑤…}；分数集合：{③④⑤⑦…}；非负整数集合：{①⑥…} 【分析】根据正数、分数、非负整数的定义，逐一判断各数所属类别后完成归类，即可求解． 【详解】解：正数是大于的数，和都大于， 所以正数集合：{①⑤…} 分数包含正分数、负分数，有限小数与百分数也属于分数范畴，、、、都满足分数的定义， 所以分数集合：{③④⑤⑦…} 非负整数是正整数和0，是正整数，属于非负整数， 所以非负整数集合：{①⑥…}． ◆题型3 数轴上点的表示与读数 1．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可得，被方块遮挡住的点表示的数在和0之间，由此即可得解． 【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0， 四个选项中只有B选项中的数符合题意． 2．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在数轴上的位置即可判断． 【详解】解：由数轴可知，点在1和2之间， ∴点表示的数可能是． 3．下面直线上点A表示的数是( )，点B用分数表示是( )． 【答案】 【详解】解：由图可知，向右为正方向，向左为负方向， 点位于左侧个单位长度处，即与的中点， 点表示的数为； 点位于与之间，该区间被平均分成3份，每份长度为，点位于右侧第2个分点处， 点表示的数为． 4．画出数轴，并在数轴上画出表示下列各组数的点： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：略； （2）解：略． ◆题型4 绝对值化简、求绝对值 1．的绝对值是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，则 ． 3．若，且，则_________． 【答案】3 【分析】根据绝对值的定义得到的所有可能取值，再结合即可得． 【详解】解：∵， ∴或， 又∵， ∴． 4．___________． 【答案】 【详解】解：． ◆题型5 有理数大小比较 1．在、、和中，最小的数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分数化为小数，统一数的形式后比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴最小的数是． 2．已知，则，，三者大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可判断出和的范围，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 3．用“<”号或“>”号填空： （1）3.6________2.5；     （2）________0； （3）________；  （4）________ （5）________； （6）________． 【答案】 【分析】根据有理数比较大小的法则“正数大于，大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”分别对各小题进行比较即可得答案． 【详解】解：(1) ∵、是两个正数， ∴． (2) ∵是负数，负数都小于， ∴． (3) ∵，，且， ∴ ． (4) ∵是正数，是负数，正数大于负数， ∴． (5) ∵是负数，为正数，正数大于负数， ∴． (6) ∵，，且 ， ∴ ． 4．用“”号或“”号填空： （1）因为________，所以________； （2）因为________，所以________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，在负数里绝对值大的反而小． 【详解】（1），， ， 又负数中绝对值大的反而小， ． （2），， ， 又负数中绝对值大的反而小， ． ◆题型6 有理数加减计算 1．与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．绝对值小于的所有整数的和是_____． 【答案】0 【分析】先根据绝对值的性质找出绝对值小于的所有整数，再根据有理数加法法则计算求和即可． 【详解】解：绝对值小于的所有整数为， ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 4．按运算顺序直接计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. ◆题型7 有理数乘除计算 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将除法转化为乘法后按从左到右的顺序计算即可． 【详解】解： ． 2．计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再按顺序从左到右计算即可． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将带分数化为假分数，把除法转化为乘法，确定符号后约分计算即可； （2）将小数转化为分数，把除法转化为乘法，约分计算即可； （3）将除法转化为乘法，确定符号后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．计算（能用简便运算的用简算） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型8 有理数乘方基础 1．计算：（     ） A．16 B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：． 2．计算：_______． 【答案】 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】按照乘方的定义(求个相同因数的积的运算)和运算顺序(先算括号内，再算乘方，最后处理符号)，结合“负数的偶次幂为正，奇次幂为负”的符号规则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． ◆题型9 科学计数法表示数 1．电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为正整数． 【详解】解：将1200000000的小数点向左移动，直到得到的数满足，可得，1200000000的小数点向左移动了9位，所以．因此1200000000用科学记数法表示为． 2．2024年，长沙在全球科技集群百强榜中跃升至第位，在全球科研城市排名中升至第位，人才总量达到．人才总量数据用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一个较大的数用科学记数法表示为的形式，其中，为正整数，的值等于原整数位数减1即可． 【详解】解：． 3．表示的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的定义，移动小数点即可得到原数． 【详解】解：科学记数法形式为（，为正整数），还原原数时需将的小数点向右移动位， 本题中，，将的小数点向右移动位， 得到原数为． ◆题型10 近似数与精确度判断 1．用四舍五入法将0.06029精确到十分位，得到的是（     ） A．0.1 B．0.060 C．0.06 D．0.0603 【答案】A 【详解】解：将0.06029精确到十分位，观察百分位数字为6，向十分位进1，得0.1． 2．2026年某市常住人口约为人，该数据精确到（     ） A．个位 B．十位 C．百位 D．万位 【答案】D 【分析】将科学记数法表示的数还原为原数，根据最后一位有效数字所在数位确定精确度． 【详解】解：，数字5位于万位，即该数据精确到万位． 3．某集团全年产值约亿元，它精确到___________位．用科学记数法表示此近似数是___________元（保留两位有效数字）． 【答案】 千万 【分析】先判断亿最后一位数字对应的数位得到精确度，再转换单位为元，按要求保留有效数字用科学记数法表示． 【详解】解：亿的单位为亿，最后一位数字对应数位是千万位， 亿元精确到千万位； 亿元元． 4．把5.8965精确到百分位是（用四舍五入法取近似数）__________． 【答案】 【详解】解：∵千分位上的数字是， ∴把精确到百分位是（用四舍五入法取近似数）． ◆题型11 有理数简单混合运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 2．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 先计算平方、立方、绝对值，再算乘除，最后算减法； （2） 先算乘方与小括号，再算中括号，接着算乘法，最后做减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型1 绝对值非负性求值 1．若，则多项式的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，求代数式的值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据得，求得，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．成立时，______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出的值，然后将它们的值代入中求解即可． 【详解】， ， 解得， ． 3．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 4．已知，求代数式的值． 【答案】2 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，根据非负数的性质计算得出，，代入所求代数式计算即可得出结果，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． ◆题型2 数轴上点的移动问题 1．点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上表示的数，由题意可得点表示的数是或，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点在数轴上距原点5个单位长度， ∴点表示的数为：或， 当点表示的数为时，， 当点表示的数为时，， ∴点表示的数是或， 故选：A． 2．已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题． 点C到点A和点B的距离相等，故点C为线段的中点，利用中点公式即可求解． 【详解】解：∵点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位得到点B， ∴点B对应的数为． ∵点C到点A和点B的距离相等， ∴点C为的中点， ∴点C对应的数为． 故选：A． 3．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 4．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． ◆题型3 有理数加减实际应用 1．下表是某地连续4天内每天的最高气温和最低气温记录，在这4天中，温差（最高气温与最低气温的差）最小的是（   ） 第一天 第二天 第三天 第四天 最高温度/℃ 8 5 6 4 最低温度/℃ 1 A．第一天 B．第二天 C．第三天 D．第四天 【答案】D 【分析】本题考查了温差的定义，有理数的减法，分别求出每天的温差，作比较即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：第一天的温差， 第二天的温差， 第三天的温差， 第四天的温差， ∵， ∴温差最小的是第四天， 故选：D． 2．下图以，，，四人的平均体重为零点，表示了其中三人的体重情况．若的体重为，则的体重是___________kg． 【答案】 【分析】本题考查正负数的实际意义，有理数的加减运算，掌握相关知识是解决问题的关键．由四个人体重的平均数为零且其余三人的体重记数已知，可求出D的体重计数，再由甲的实际体重可得标准体重数值，则丙的体重可求． 【详解】解：∵四个人的体重的平均数为0， 而, ∴D的体重应记为， ∵的体重为，记为， ∴标准为， 则D的体重为． 故答案为：. 3．某运动队队员的平均身高是．下表给出了该运动队6名队员的身高情况（单位：）． 队员 A B C D E F 身高 179 174 182 身高与平均身高的差 0 (1)试完成上表． (2)这6名队员中谁最高，谁最矮？ (3)这6名队员中，最高与最矮的队员身高相差多少？ 【答案】(1) 队员 A B C D E F 身高 179 182 180 174 183 182 身高与平均身高的差 0 (2)E最高，D最矮 (3) 【详解】（1）解：B身高：；C身高：；D身高与平均身高的差：；E身高：；F身高与平均身高的差：， 填表略； （2）解：， 故E最高，D最矮； （3）解： 答：最高与最矮的队员身高相差． 4．某仓库周一到周五的货物进出记录如下（表示进库，表示出库，单位：吨）： (1)周五结束后，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ (2)周五结束时，仓库共有货物吨，求仓库原有的货物吨数． 【答案】(1)多了，多吨 (2)12吨 【详解】（1）解：由题意得： （吨）； 答：仓库货物比原来多了，多了吨． （2）解：由题意得：（吨）； 答：仓库原有的货物为12吨． ◆题型4 乘方规律探究 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值与平方的非负性分别求解未知数，再代入计算即可． 【详解】解：由非负性可知：∣x−∣=0，（y+2）2 =0， 解得：x= ，y=−2， ∴(xy)2021=[×（-2）]2021=（-1）2021=－1． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性，理解基本性质并准确列式求解未知数是解题关键． 3．的值是 _______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方运算的符号规律是解题的关键．根据乘方运算的符号规律得到每一项的结果，然后相加即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 4．如果，则______． 【答案】 【分析】此题考查了非负数的性质、乘方运算、求代数式的值等知识，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键．根据绝对值和平方的非负性求出a和b的值，再代入即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：． ◆题型5 有理数混合运算巧算 1．能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)100 (3) (4)9 【分析】按照四则运算顺序进行计算，然后要注意合理利用乘法分配律和结合律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．脱式计算（能简算的要简算） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算法则：1．先乘方，再乘除，最后加减；2．同级运算，从左往右进行；3．如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行，解题的关键是掌握基本的运算法则，要注意运算的顺序． （1）利用乘法分配律进行简便计算，即可完； （2）先算括号内的运算，然后进行乘除运算，最后相加，即可完成运算； （3）分数化成小数，然后去括号，两数相减，即可完成运算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式． 3．计算（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)13 (3)15 (4)1 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键． （1）原式运用乘法结合律进行计算即可； （2）原式运用乘法分配律进行计算即可； （3）原式运用乘法分配律进行计算即可； （4）原式把除法转换为乘法，运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ◆题型6 数轴上两点距离计算 1．数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出对应数轴上9个单位长度，结合刻度尺上对应长度为，求出数轴1个单位长度对应刻度尺长度，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点A表示，点C表示， ∴，即对应数轴上9个单位长度． ∵刻度尺上对应长度为， ∴数轴1个单位长度对应刻度尺长度为：， ∵原点到点A的距离为个单位长度， ∴原点对应的刻度为：． 2．点，点，点在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，以点为折点，将数轴向右对折，点落到点处，若，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的折叠问题与两点间距离的计算，解题的关键是利用折叠的对称性，结合的条件分情况讨论点的位置． 【详解】解：设点表示的数为，点表示的数为，由折叠的对称性可知，点与点关于点对称， 所以，即． 已知点表示的数是，且， 则，即． 分两种情况： 情况一：，解得． 情况二：，解得． 因此，点表示的数为或． 故选：D． 3．如图，在数轴上，点、分别表示、，、互为相反数且它们之间的距离为6，则点表示的数为______． 【答案】 【分析】利用互为相反数的定义进行求解． 【详解】解：∵、互为相反数且它们之间的距离为6， ∴， ∴， ∴点表示的数为． 4．如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，． (1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数． (2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数． (3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数． 【答案】(1)点，表示的数分别为和 (2)点表示的数为 (3)点表示的数为或 【分析】本题考查了相反数的定义、利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离； （1）根据数轴，直接写出点，表示的数． （2）根据点，所表示的数互为相反数得出点表示的数为，结合数轴即可求解． （3）分两种情况，原点在点的左侧或右侧分别讨论，即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数是， ∴点，表示的数分别为和； （2）解：∵之间的距离为个单位长度，点，所表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为． （3）解：当原点在点的左侧时，则点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为； 当原点在点的右侧时，则点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为； 综上，点表示的数为或． 5．数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或，在数轴上标记x所在的位置如图所示： (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． ◆题型7 含参数的绝对值分类讨论 1．我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ； (2)的最小值是 ，此时的值为 ； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 【答案】(1)4 (2)3，0 (3)或 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为4． （2）根据绝对值的几何意义，得出的最小值； （3）画出数轴，分两种情况进行讨论：当或时，的最小值是4.5． 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为． （2）解：根据绝对值的几何意义可得，当时，的最小值是3， 故答案为：3，． （3）解：由图可得， 只有当或时，的最小值是4.5， ∴当的最小值是4.5时，或． 2．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是 ___________； (2)①若，则x=___________； ②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为 ___________； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则4表示的点和 ___________表示的点重合； (4)折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和 ___________表示的点重合； ②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是 ___________，点B表示的数是 ___________； 【拓展】 (5)若，则x=___________． 【答案】(1)6 (2)①1或，② (3) (4)①，②， (5)或 【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）①根据题意可得方程或，求出x的值即可； ②根据绝对值的几何意义可知时，，求出符合条件的整数x即可； （3）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （4）①利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； ②设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； ③根据①②结合中点坐标公式可求， （5）根据绝对值的几何意义，分情况讨论即可． 【详解】（1）表示5和两点之间的距离是 ， 故答案为6； （2）①， 或， 解得或， 故答案为：1或； ②要使x所表示的点到表示和2的点的距离之和为5， ， 与2的距离是5， ， x是整数， x的值为，，，0，1，2， 所有符合条件的整数x的和为， 故答案为：； （3）1表示的点和表示的点重合， 折叠点对应的数是0， 4表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （4）①3表示的点和表示的点重合， 折叠的点表示的数是， ， 表示的点和表示的点重合， 故答案为：； ②设A点表示的数是x，则B点表示的数是， 解得 ∴点A表示的数，点B表示的数是， 故答案为：，． （5） 则或或或 或不成立， 或 解得 或． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，数形结合是解题的关键． 3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）表示－3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m－n|，如果表示数a和－1的两点之间的距离是2，那么a＝ ． （2）若数轴上表示数a的点位于－2与4之间，求|a－4|＋|a＋2|的值． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，这些点表示的数的和是 ． （4）当a＝ 时，|a＋3|＋|a－1|＋|a－4|的值最小，最小值是 ． 【答案】（1）5，1或−3；（2）6，（3）12；（4）1，7． 【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案； （2）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案； （3）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案． （4）根据分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：（1）表示－3和2两点之间的距离是5，|-3−2|＝5；一般地，数轴上表示m和数n的两点之间的距离等于|m−n|．如果表示数a和−1的两点之间的距离是2，则可记为：|a＋1|＝2，那么a＝1或−3； 故答案为： 5，1或−3； （2）∵−2＜a＜4， ∴|a−4|＋|a＋2|＝4−a＋2＋a＝6， （3）当x＞5时，|x＋2|＋|x−5|＝x＋2＋x−5＝2x−3＞7， 当−2≤x≤5时，|x＋2|＋|x−5|＝x＋2＋5−x＝7， 当x＜−2时，|x＋2|＋|x−5|＝−x−2＋5−x＝−2x＋3＞7， ∴使得|x＋2|＋|x−5|＝7的所有整数为：−2，−1，0，1，2，3，4，5， ∵−2＋（−1）＋0＋1＋2＋3＋4＋5＝12， 故答案为：12； （4）当a＞4时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|＝a＋3＋a−1＋a−4＝3a−2＞10， 当1＜a≤4时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|＝a＋3＋a−1＋4−a＝6＋a，则7＜6＋a≤10， 当−3＜a≤1时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|＝a＋3＋1−a＋4−a＝8−a，则7≤8−a＜11， 当a≤−3时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|＝−a−3＋1−a＋4−a＝−3a＋2≥11， 由上可得，当a＝1时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|的值最小，最小值是7， 故答案为：1，7． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨论的数学思想解答． ◆题型8 新定义有理数运算 1．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，先比较和的大小，由于，即，故使用定义，代入计算即可． 【详解】解：当， 时， ∵， ∴， ∴， 故选A． 2．若定义一种新运算，规定，则______． 【答案】0 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 3．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， ． 34．我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：． 例如，． (1)求的值； (2)若的值与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义、有理数的混合运算、相反数，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算的值，再根据相反数的定义即可求出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ，   因为5的相反数为， 所以的值为． 1．一包奶糖的包装袋上标着：净重（）克．这包奶糖实际最少为（     ）克 A．205 B．195 C．200 D．210 【答案】B 【详解】解：由净重（）克可知，实际最少质量为（克）． 2．数轴上表示的点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：数轴上表示的点到原点的距离为． 3．在数轴上，表示下列四个数的点在和之间的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各数表示在数轴上判断各选项即可． 【详解】解：，， 如下图： 在和之间的点表示的数为． 4．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 5．如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设P，Q运动秒，写出P，Q点表示的数，计算，比较即可选出答案． 【详解】解：设P，Q运动秒， 则点表示的数为：， 点表示的数为：， ∴， ∴， ∴． 6．一个两位小数四舍五入取近似值保留一位小数，结果是，这个数最大是( )，最小是( )． 【答案】 【分析】根据四舍五入规则，“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，分别确定原数的最大值和最小值即可． 【详解】解：分两种情况讨论：当“四舍”得到近似值时， 因为原数是两位小数，四舍时百分位的数字小于，直接舍去，得到， 所以原数的十分位为，百分位最大取， 所以此时这个数最大是； 当“五入”得到近似值时， 因为原数是两位小数，五入时百分位的数字大于等于，向十分位进后得到， 所以原数的十分位为，百分位最小取， 所以这个数最小是． 7．某疫苗说明书上标明疫苗保存的温度是，室内温度为，是否符合储存标准________（填是或否）． 【答案】否 【分析】先根据给出的温度标识计算出合格保存温度的范围，再比较室内温度与该范围即可得到结论． 【详解】解：∵疫苗保存温度标识为，，， ∴合格保存温度的范围是， ∵室内温度为，不在该合格范围内， ∴不符合储存标准， 故答案为否． 8．已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 【答案】 【分析】先区分四个数的正负，再根据绝对值比较同号数的大小，结合负数小于所有正数得到排序结果． 【详解】解：由题意得，，， 因此可得，， 比较两个负数：， 因此， 比较两个正数：， 因此， 综上所述，． 9．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先括号里的有理数的加减运算，再根据有理数的乘法和加减运算法则求解即可； （2）先乘方和绝对值运算，再乘除运算，最后加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 【答案】(1)周三； (2)减少了，减少了吨 (3)吨 (4)元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟悉相反意义的量是解题的关键． （1）根据表格作答即可； （2）把出入数据相加即可； （3）根据每周的变化推导即可； （4）运算出总出入的数量，再乘价钱即可求解． 【详解】（1）解：由表可得：周三水果变化量最大，最大变化量为（吨）； 故答案为：周三；； （2）解：， 答：这一周冷库里的水果减少了，变化了吨； （3）解：每周减少吨，则上周有（吨）， 答：一周前冷库里存有水果吨； （4）解：（元）， 答：这一周共需付元装卸费． 12．已知数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)当时，点M表示的数为_____________，点N表示的数为_____________，线段的长是_____________； (2)若点M与点N关于原点对称，求x的值； (3)若点M在点N的左侧，求x的取值范围． 【答案】(1)；10；18． (2)． (3)． 【分析】本题考查了数轴的相关知识、关于原点对称的点的性质以及一元一次不等式的求解，掌握数轴上两点间距离公式、关于原点对称的点的数的关系以及利用点的位置关系列不等式是解题的关键． （1）将代入点的表达式求出对应数，再求两点间距离； （2）根据关于原点对称的点的数互为相反数列方程求解； （3）根据点M在点N左侧列不等式求解． 【详解】（1）当时，点表示的数为：， 点N表示的数为：， 线段的长为：； （2）∵点与点关于原点对称， ∴它们表示的数互为相反数，即： ， ， ， ， ； （3）∵点在点左侧， ∴点表示的数小于点表示的数，即： ， ， ， ． 13．某文具厂工人刘师傅一天生产盒铅笔，以每盒克为标准，超过或不足的克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：克） 0 1 3 盒数 1 5 2 4 3 5 (1)盒铅笔中，最重的一盒比最轻的一盒重多少克？ (2)这盒铅笔的实际总质量是多少克？ (3)若生产每克铅笔的成本是元，这批铅笔按每盒元的价格售出盒后，剩余盒以每盒元的优惠价卖出．这盒铅笔全部售出后，刘师傅一共盈利多少元？ 【答案】(1)克 (2)克 (3)元 【分析】（1）先找到最重、最轻对应的质量差值，再用最重差值减去最轻差值，求出重量差． （2）先算出20盒铅笔的标准总质量，再计算所有盒数对应的质量偏差总和，标准总质量加上偏差总和得到实际总质量． （3）先计算全部销售总收入，再根据实际总质量算出生产总成本，利用盈利=总收入‑总成本求出盈利． 【详解】（1）解：（克）， 答：最重的一盒比最轻的一盒重7克． （2）解：（克） （克）， （克）， 答：这20盒铅笔的实际总质量是1002克． （3）解： （元）， （元）， （元）， 答：刘师傅一共盈利179.9元． 14．如果，那么为的“劳格数”，记为．例如：，，，，，． (1)根据定义，填空：________，________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m，n为正数，则，． ①根据运算性质，填空：________； ②若，分别计算，． 【答案】(1)4； (2)①；②， 【分析】（1）根据定义，找到10的多少次方等于对应数，这个指数就是劳格数； （2）①利用除法性质，拆分计算； ②把4、8拆成2相乘的形式，用乘法性质展开计算． 【详解】（1）解：， ； ， ． （2）解：①； ②， ， ． 15．阅读材料解决问题 (1)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴时，我们发现有许多重要的规律： 例如，若数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．若在数轴上，点，表示的数分别为，20， 则根据上面的材料可知_________线段的中点表示的数为_________（直接写出结果）； (2)数学李老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方式计算： (3)阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： ①_______； ②计算：． 【答案】(1)22，9 (2) (3)①；② 【分析】（1）（2）根据材料提供的方法求解即可； （3）根据绝对值的性质取绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵点，表示的数分别为，20， ∴，线段的中点表示的数为； （2）解： ； （3）解：①∵ ∴； ②，，，同理， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $