贵州省镇宁民族中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

镇宁高中教育集团第一次阶段性评价 评价时间：2026年10月 镇宁高中教育集团2026-2027学年第一学期第一次阶段性评价 八年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（共12小题，共36分，每个小题只有一个选项符合题意)。 1.花江峡谷大桥连接贵州安顺市关岭县和黔西南州贞丰县两岸，因跨越被誉为“地球裂缝”的花江大 峡谷而得名，大桥全长2890m,主桥跨径1420.如图，索塔的顶端、拉索与桥面围成的图形大致成 三角形，其中蕴含的数学道理是( (第1题) (第3题) (第5题) (第6题) A.三角形具有稳定性B.三角形的内角和等于180°C.两点确定一条直线D.垂线段最短 2.下列各选项中的两个图形属于全等图形的是( ) 3.如图，人字梯的支架AB,AC的长度都为2（连接处的长度忽略不计），则B、C两点之间的距离可 能是() A.3m B.4.2m C.5m D.6m2 4.下列四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（ ) A B D. 5.如图，经测量，点B在点A处南偏西50°的方向上，点C在点A处南偏东15°的方向上，点C在点 B处北偏东82°的方向上，则∠C的度数是（ A.65 B.70° C.73 D.83° 6.如图，∠1是△ABC的一个外角，若∠1=85°，∠C=30°，则∠B的度数() A.459 B.55° C.65 D.75° 7.我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF, GE=GF,则△AEG≌△AFG的依据是() A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 8.如图，已知△AOC≌△BOD,点C与点D是对应点，下列结论中错误的是() (第8题) (第9题) (第10题) (第11题) A.AC=BD B.∠AOC=∠BOD C.AO=DO D.∠A=∠B 9.如图，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB,BP、CP交于点P.若∠ABC=50°，∠ACB =70°，则∠BPC的度数为() A.100° B.110° C.120° D.130° 10.如图，∠A+∠B+∠C+∠DH∠E等于( A.180 B.240 C.280° D.360 11.如图1，已知∠a,∠B,线段m,求作△ABC 作法：如图2，①作线段AB=m:( ②在AB的同旁作∠A=∠，∠B=∠B,∠A与∠B的另一边交于 点C.则△ABC就是所作三角形，这样作图的依据是() A.SAS B.SSS C.ASA D.SSA 12.如图，己知点P(6m-4,3m-1)在第一象限射线OC上，若∠APB是直角顶点P在OC上，角两 边与x轴y轴分别交于A点，B点，且PB=PA,则OA+OB等于() 0 (第12题) (第14题) (第15题) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分) 13.已知等腰三角形一边长是12cm,另一边长是5cm,则它的周长是 cn. 14.如图，AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B,C,要根据“HL”直接证明Rt△ABC≌Rt△DCB,应添加 的条件是 15.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,AB=3,AC=4,DF =1.5,则DE= 16.已知△ABC的三边长为a,b,c,化简：la-c+b-b-c-a= 镇宁高中教育集团第一次阶段性评价评价时间：2026年10月 三、解答题(9个小题，共98分) 17.一个等腰三角形的一边长为6，周长为20，求其他两边的长. 18.如图，AD是△ABC的角平分线 (1)若AB=4,AC=6,则边BC的长度的取值范围是 (2)若∠B=60°，∠ADC=100°，求∠BAD和∠C的度数. 19.如图，点E在△BCD的边CD上，BC与AE交于点F,AB=CB,BE=BD,∠1=∠2， (1)求证：△ABE≌△CBD: (2)若∠1=62°，求∠3的度数. 20.如图，点A,D,C,F在同一条直线上，AB=DE,BC=EF.有下列三个条件：①AC=DF,②∠ ABC=∠DEF,③∠ACB=∠DFE (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF. 你选取的条件为（填写序号） （只需选一个条件，多选不得分)， 你判定△ABC≌△DEF的依据是 (填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”): (2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证：AB∥DE, 21.阅读材料：为了证明“三角形的内角和是180°，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法.回答下列问题： (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是 A,转化思想 B.整体思想 E CF C C.方程思想 D.数形结合思想 (2)请选用③或④证明三角形的内角和为180°·过点c作EFAB A R A B A B 延长AC到点F, 过AB上一点D作如图，过点C作 过点C作CE∥AB DE BC DF/AC CD∥AB 图O 图② 图③ 图④ 22.项目学习：数学兴趣小组的同学就“测量河两岸A,B两点间距离”这一问题，设计了如下方案. 课题 测量河两岸A,B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 .......-E 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D,使得点A,B,C在一条 直线上，且CD=BC:②测得∠DCB=100°，∠ADC=65°； ③在CD的延长线上取点E,使得∠BEC=l5°： ④测得DE的长度为30米. (1)猜想A,B两点间距离是 米 (2)请你验证(1)中猜想是否正确 23.如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD. (1)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°， ∠B=36°，求∠DAE的度数， (2)当AD为边BC上的中线时，若AB=10, △ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度. 24.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E在AD上. (1)图中全等三角形有： (2)请你选择其中两组进行说明它们为什么会全等？ 25.(1)如图①，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点A,BD⊥m于D,CE⊥m 于E,求证：DE=BD+CE: (2)拓展：如图②，将(1)中的条件改为：△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，并 且∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,Q为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD十CE是否成立？如成立，请证 明；若不成立，请说明理由： (3)应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,∠BAD>∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC, 直线m与BC的延长线交于点F,若BC=2CF,△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和. E m AD 图① 图② 图③ 镇宁高中教育集团2026-2027学年第一学期第一次阶段性评价 八年级数学试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A A D D B D C C A C 题号 12 答案 D 一．选择题（共12小题） 1．花江峡谷大桥连接贵州安顺市关岭县和黔西南州贞丰县两岸，因跨越被誉为“地球裂缝”的花江大峡谷而得名，大桥全长2890m，主桥跨径1420m．如图，索塔的顶端、拉索与桥面围成的图形大致成三角形，其中蕴含的数学道理是（　　） A．三角形具有稳定性 B．三角形的内角和等于180° C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【考点】三角形的稳定性．版权所有 【答案】A 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【解答】解：由题意得，大桥的这类结构利用了三角形三条边确定后形状与大小固定不变的特性，也就是三角形具有稳定性． 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的性质，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 2．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】全等图形．版权所有 【答案】A 【分析】根据完全重合的图形为全等图形进行逐项分析，即可作答． 【解答】解：A、这两个图形能够完全重合，它们属于全等图形，所以该选项正确，符合题意； B、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，所以该选项错误，不符合题意； C、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，所以该选项错误，不符合题意； D、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，所以该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了全等图形，关键是全等图形定义的熟练掌握． 3．如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B、C两点之间的距离可能是（　　） A．3m B．4.2m C．5m D．6m 【考点】三角形三边关系．版权所有 【答案】A 【分析】根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出BC的取值范围，判断各选项即可得的答案． 【解答】解：∵AC＝AC＝2m， ∴2﹣2＜BC＜2+2， 即0m＜BC＜4m． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握据三角形任意一边小于其它两边两边之和是解决问题的关键． 4．下列四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】D 【分析】过点B作AC边的垂线，垂足为D，那么线段BD即为△ABC的高，据此逐一判断即可． 【解答】解：由三角形高的定义可得，四个图中只有D选项中的图符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的高的定义，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．如图，经测量，点B在点A处南偏西50°的方向上，点C在点A处南偏东15°的方向上，点C在点B处北偏东82°的方向上，则∠C的度数是（　　） A．65° B．70° C．73° D．83° 【考点】方向角．版权所有 【答案】D 【分析】由方向角的定义得到∠BAD＝50°，∠CAD＝15°，∠CBE＝82°，求出∠BAC＝65°，由平行线的性质推出∠ABE＝∠BAD＝50°，求出∠ABC＝32°，由三角形内角和定理即可求出∠C的度数． 【解答】解：由题意得到：∠BAD＝50°，∠CAD＝15°，∠CBE＝82°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝65°， ∵BE∥AD， ∴∠ABE＝∠BAD＝50°， ∴∠ABC＝∠CBE﹣∠ABE＝32°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝83°． 故选：D． 【点评】本题考查方向角，三角形内角和定理，关键是掌握方向角的定义． 6．如图，∠1是△ABC的一个外角，若∠1＝85°，∠C＝30°，则∠B的度数（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【考点】三角形的外角性质．版权所有 【答案】B 【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【解答】解：∵∠1＝85°，∠C＝30°， ∴∠B＝∠1﹣∠C＝55°． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 7．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】解：在△AEG和△AFG中， ， ∴△AEG≌△AFG（SSS）， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 8．如图，已知△AOC≌△BOD，点C与点D是对应点，下列结论中错误的是（　　） A．AC＝BD B．∠AOC＝∠BOD C．AO＝DO D．∠A＝∠B 【考点】全等三角形的性质．版权所有 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应边相等，对应角相等解答即可． 【解答】解：∵△AOC≌△BOD，点C与点D是对应点， ∴AC＝BD，∠AOC＝∠BOD，∠A＝∠B，AO＝BO，CO＝DO， ∴A、B、D正确，不符合题意；C结论错误，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，BP、CP交于点P．若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BPC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】C 【分析】由BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，求得∠PBC＝∠ABC＝25°，∠PCB＝∠ACB＝35°，则∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝120°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°， ∴∠PBC＝∠ABC＝×50°＝25°，∠PCB＝∠ACB＝×70°＝35°， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣25°﹣35°＝120°， 故选：C． 【点评】此题得点考查角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，正确理解和应用三角形内角和定理是解题的关键． 10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（　　） A．180° B．240° C．280° D．360° 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【答案】A 【分析】延长BE，交AC于点G，根据三角形外角的性质，得∠GFC＝∠D+∠DEF，∠BGC＝∠A+∠B，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【解答】解：延长BE，交AC于点G， ∴∠GFC＝∠D+∠DEF（外角的性质）， ∵∠BGC＝∠A+∠B（外角的性质）， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠GFC+∠C+∠BGC＝180°， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形外角、三角形内角和的知识，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键． 11．如图1，已知∠α，∠β，线段m，求作△ABC． 作法：如图2，①作线段AB＝m；②在AB的同旁作∠A＝∠α，∠B＝∠β，∠A与∠B的另一边交于点C．则△ABC就是所作三角形，这样作图的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．SSA 【答案】C 【分析】根据作图可知，两角及其两角的夹边一定，利用ASA可以作出唯一三角形，即可得出结论． 【解答】解：由作图可知，两角及其两角的夹边一定， 故利用ASA可以作出唯一三角形， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的应用． 12．如图，已知点P（6m﹣4，3m﹣1）在第一象限角平分线OC上，若∠APB是直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则OA+OB等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质．版权所有 【答案】D 【分析】根据做辅助线可得三角形全等可得关于m的方程，解方程即可求得点P的坐标，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，证明△PDA≌△PEB即可． 【解答】解：由条件可知6m﹣4＝3m﹣1， 解得：m＝1， 则点P的坐标为（2，2）， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则∠PDA＝∠PEB＝90°， ∴∠EPD＝∠EPB+∠BPD＝90°， ∴∠EPB＝∠DPA， 由点P的坐标知，PE＝PD＝OD＝OE＝2， ∴△PDA≌△PEB（ASA）， ∴DA＝BE， ∴OA+OB＝OD+DA+OB＝OD+BE+OB＝OD+OE＝2+2＝4， ∴OA+OB＝4． 故选：D． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握以上知识点是关键． 二．填空题（共4小题） 13．已知等腰三角形一边长是12cm，另一边长是5cm，则它的周长是　29　 cm． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【答案】29． 【分析】由已知条件结合三角形任意两边之和大于第三边，判断第三边的值为12cm，从而求出它的周长． 【解答】解：∵等腰三角形的一边长为5cm，另一边长12cm，又三角形任意两边之和大于第三边， ∴这个等腰三角形的第三边的长为12cm． ∴这个等腰三角形的周长为：5+12+12＝29（cm）． 故答案为：29． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质的应用以及三角形的三边关系定理．依据定理得出第三边的值是解题的关键． 14．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，要根据“HL”直接证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的条件是AC＝BD ． 【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的判定．版权所有 【答案】AC＝BD． 【分析】根据“HL”判定方法求解即可． 【解答】解：应添加的条件是AC＝BD，理由是： ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∵BC＝CB，AC＝BD， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），即应添加的条件是AC＝BD， 故答案为：AC＝BD． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“HL”是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝　2　 ． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】2． 【分析】由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求． 【解答】解：∵△ABC中，AD为中线， ∴BD＝DC， ∴S△ABD＝S△ADC， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5， ∴•AB•ED＝•AC•DF， ∴×3×ED＝×4×1.5， ∴ED＝2， 故答案为：2． 【点评】此题考查三角形的中线，三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分．本题的解答充分利用了面积相等这个知识点． 16．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a| 【考点】三角形三边关系；绝对值．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】由三角形三边关系定理得到a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0，即可化简|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a| 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a| ＝a﹣c+b﹣[﹣（b﹣c﹣a）]＝a﹣c+b+b﹣c﹣a＝2b﹣2c． 【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． 三．解答题（共11小题） 17．一个等腰三角形的一边长为6，周长为20，求其他两边的长． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【答案】7、7或8、6． 【分析】已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． 【解答】解：①底边长为6，则腰长为：（20﹣6）÷2＝7，所以另两边的长为7，7，能构成三角形； ②腰长为6，则底边长为：20﹣6×2＝8，底边长为8，另一个腰长为6，能构成三角形． 综上，其他两边的长为7、7或8、6． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 18．如图，AD是△ABC的角平分线． （1）若AB＝4，AC＝6，则边BC的长度的取值范围是　2＜BC＜10　 ； （2）若∠B＝60°，∠ADC＝100°，求∠BAD和∠C的度数． 【考点】三角形三边关系；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义．版权所有 【答案】（1）2＜BC＜10； （2）∠BAD＝40°，∠C＝40°． 【分析】（1）根据三角形三边关系，直接代入AB＝4、AC＝6，即可得到BC的取值范围； （2）先利用三角形外角性质求出∠BAD，再通过角平分线定义得到∠BAC，最后根据三角形内角和定理算出∠C． 【解答】解：（1）根据三角形三边关系，在△ABC中，AC﹣AB＜BC＜AC+AB， ∵AB＝4，AC＝6， ∴根据三角形的三边关系得，6﹣4＜BC＜6+4， 解得2＜BC＜10． 故答案为：2＜BC＜10； （2）∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝60°， ∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝100°﹣60°＝40°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝40°， ∴∠BAC＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°． 答：∠BAD＝40°，∠C＝40°． 【点评】本题考查三角形三边关系，三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题关键． 19．如图，点E在△BCD的边CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）若∠1＝62°，求∠3的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】（1）∵∠1＝∠2．∴∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）；（2）62°． 【分析】（1）根据等式的性质得∠ABE＝∠CBD，再利用SAS即可证明结论成立； （2）根据全等三角形的对应角相等得∠A＝∠C，对顶角相等得∠AFB＝∠CFE，利用三角形内角和定理可得结论． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2． ∴∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）解：∵△ABE≌△CBD， ∴∠A＝∠C， ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠1＝∠3， ∵∠1＝62°， ∴∠3＝62°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE． （1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF． 你选取的条件为（填写序号） 　①　 （只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是 SSS （填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）； （2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE． 【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．版权所有 【答案】（1）①，SSS；（答案不唯一）． （2）证明过程见解答． 【分析】（1）根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，即可解决问题； （2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题． 【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF， 选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS． 故答案为：①，SSS；（答案不唯一）． （2）证明：∵△ABC≌△DEF． ∴∠A＝∠EDF， ∴AB∥DE． 【点评】本题考查了平行线的判定和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 21．阅读材料：为了证明“三角形的内角和是180°，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： （1）图①，②在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是 A ． A．转化思想 B．整体思想 C．方程思想 D．数形结合思想 （2）请选用③或④证明三角形的内角和为180°． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】（1）A； （2）答案见解答过程． 【分析】（1）根据利用图①，②在证明三角形内角和的过程即可得出答案； （2）选择图③进行证明时，可先由DE∥BC，DF∥AF得∠B＝∠EDA，∠A＝∠FDB，∠C＝∠EDF，然后根据平角的定义得∠FDB+∠EDA+∠EDF＝180°，据此即可得出结论；选择图④证明时，可先由CD∥AB得∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，然后根据∠BCD＝∠ACB+∠ACD即可得出结论． 【解答】解：（1）利用图①进行证明时，把∠A+∠B+∠ACB转化为∠ACE+∠BCF+∠ACB＝180°，从而得出结论； 利用图②进行证明时，把∠A+∠B+∠ACB转化为∠FCE+∠BCE+∠ACB＝180°，从而得出结论， 因此，在利用图①，②在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是转化思想． 故选：A． （2）选择图③证明如下： ∵DE∥BC，DF∥AF， ∴∠B＝∠EDA，∠A＝∠FDB，∠C＝∠EDF， 根据平角的定义得：∠FDB+∠EDA+∠EDF＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°； 选择图④证明如下： ∵CD∥AB， ∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD， ∴∠B+∠ACB+∠ACD＝180°， 即∠A+∠B+∠ACB＝180°． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质，理解平角的定义是解决问题的关键． 22．项目学习：数学兴趣小组的同学就“测量河两岸A，B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A，B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且CD＝BC； ②测得∠DCB＝100°，∠ADC＝65°； ③在CD的延长线上取点E，使得∠BEC＝15°； ④测得DE的长度为30米． （1）猜想A，B两点间距离是　30　 米． （2）请你验证（1）中猜想是否正确． 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【答案】（1）30； （2）正确， 理由如下：在△ACD中， ∵∠ACD＝100°，∠ADC＝65°， ∴∠A＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝15°． ∵∠BEC＝15°， ∴∠A＝∠BEC． 在△ACD和△ECB中，∠A＝∠BEC，∠C＝∠C，CD＝BC， ∴△ACD≌△ECB（AAS） ∴AC＝EC． ∴AC﹣BC＝EC﹣CD． 即AB＝DE＝30米． 【分析】（1）证明△DCA≌△BCE（AAS），推出AC＝EC，即可得到结论； （2）利用全等三角形的性质来证明即可． 【解答】解：（1）∵∠DCB＝100°，∠ADC＝65°， ∴∠A＝180°﹣∠DCB﹣∠ADC＝15°， ∵∠BEC＝15°， ∴∠A＝∠BEC， 在△DCA和△BCE中， ， ∴△DCA≌△BCE（AAS）， ∴AC＝EC， ∵BC＝CD， ∴AC﹣BC＝CE﹣CD，即AB＝DE， ∴测得DE的长就是A、B两点间的距离，即30米， 故答案为：30； （2）正确， 理由如下：在△ACD中， ∵∠ACD＝100°，∠ADC＝65°， ∴∠A＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝15°． ∵∠BEC＝15°， ∴∠A＝∠BEC． 在△ACD和△ECB中，∠A＝∠BEC，∠C＝∠C，CD＝BC， ∴△ACD≌△ECB（AAS） ∴AC＝EC． ∴AC﹣BC＝EC﹣CD． 即AB＝DE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 23．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． （2）当AD为边BC上的中线时，若AB＝10，△ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】（1）15°； （2）8． 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出∠BAC，进而求出∠BAD，然后根据两锐角互余求出∠BAE，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先结合已知条件和中线的性质确定AB，AC的数量关系，继而可以求解． 【解答】解：（1）由条件可知∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣66°﹣36°＝78°． 由角平分线定义可知： ． ∵AE为边BC上的高， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣39°＝15°． （2）∵AD为边BC上的中线，∴BD＝CD． 又∵△ADC的周长比△ABD的周长少2， ∴（AD+BD+AB）﹣（AD+DC+AC）＝2， ∴AB﹣AC＝2， ∴AC＝AB﹣2＝10﹣2＝8． 【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高，熟练掌握以上知识点是关键． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上． （1）图中全等三角形有：　△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE ； （2）请你选择其中两组进行说明它们为什么会全等？ 示例：选择　△ABD ≌　△ACD ．答案不唯一 证明： 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由全等三角形的判定方法容易得出结果； （2）由SSS得出△ABD≌△ACD即可． 【解答】解：（1）图中全等三角形有△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE； 故答案为：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE； （2）选择△ABD≌△ACD；理由如下： ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ACD中，， ∴△ABD≌△ACD（SSS）； 故答案为：△ABD，△ACD． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定；熟记全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 25．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，即可得出结论； （2）由∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA即可得出答案； （3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）解：结论DE＝BD+CE成立；理由如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ABD和△CEA中，， ∴△ABD≌△CEA（AAS）， ∴S△ABD＝S△CEA， 设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h， ∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ACF＝CF•h， ∵BC＝2CF， ∴S△ACF＝6， ∵S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝S△CEF+S△ABD＝6， ∴△ABD与△CEF的面积之和为6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出∠CAE＝∠ABD是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $