学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（贵州专用，范围：新教材北师大版八上第一～二章）

**基本信息** 立足北师大版八上1-2章，以实数与勾股定理为核心，通过七巧板、赵爽弦图等文化情境与生活问题，分层考查抽象能力、几何直观与推理意识，适配八年级9月学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|实数分类、二次根式化简、勾股定理判定|第2题结合计算器数据培养数感，第11题七巧板情境渗透文化| |填空题|4/16|无理数估算、数轴与勾股定理、动点最值|第15题数轴表示体现几何直观，第16题动点问题发展空间观念| |解答题|9/98|实数运算、勾股定理应用、材料探究|24题赵爽弦图证明强化推理意识，25题篱笆问题与面积最值培养模型观念|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：北师大版八上第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1． 的相反数是（　　） A．﹣ B． C．﹣3 D．3 2．下表是利用计算器算出的部分正数的平方： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 根据上表，求的值（结果保留整数）为（   ） A．187 B．188 C．189 D．190 3．下列个数：、、0、、…（每两个之间依次多一个），其中有理数有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 4．下列说法中正确的有（    ）个． （1）实数不是有理数就是无理数． （2）无限小数都是无理数． （3）无理数都是无限小数．       （4）带根号的数都是无理数．             （5）两个无理数之和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（   ） A．b2- c2=a2 B．a:b:c= 5:12:13 C．∠A:∠B:∠C = 3:4:5 D．∠C =∠A -∠B 7．下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，点E是边上一点，连接，矩形沿折叠，点D的对应点恰好落在上的点F处．则的长为（    ） A． B． C．2 D． 9．能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．若则的值为（　　） A． B． C． D． 11．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为（   ） A． B． C． D． 12．如图，四个全等直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点，．已知，正方形的面积为10，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．2 B．2.5 C．4.5 D．5 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．比较大小：________. 14．已知M是满足不等式的所有整数的和，N是满足不等式x≤的最大整数，则M＋N的平方根为________． 15．如图，中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于．若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为______．    16．如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是______． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中：17每题16分，18、23题每题8分，19、24题每题12分，20题每题10分，21、22题每题9分，25题每题14分。 17．计算下列各题： （1）；     （2）； （3）；     （4）. 18．求下列各式中的． (1)； (2)． 19．把下列各数填入相应的集合内. -,-,-,0,-π,-,-4.0,3.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1). 有理数集合:{　　　　　　　　　…}； 无理数集合:{　　　　　　　　　…}； 整数集合:{　　　　　　　　　…}； 分数集合:{　　　　　　　　　…}； 正实数集合:{　　　　　　　　　…}； 负实数集合:{　　　　　　　　　…}. 20．实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 21．如图，中，的垂直平分线分别交，于点P，Q． (1)若，求证：； (2)在（1）的前提下，若，，求的长． 22．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为． (1)设点，点运动时间为，则______，______； (2)点，运动几秒时，它们相距？ 23．如图透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），它的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少． 24．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______． （3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______． 25．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13._______________ 14. ___________ 15. _________________ 16. __________________ 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（16分） （1）；     （2）； （3）；     （4）. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） (1)； (2)． 19．（12分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 22．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ========一--==-==-======一一===一=-=-===-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【]【/1 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 6.[A][B][CI[D] 10.[AJ[B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 11.A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.（16分) 1)320-10层+v5. 2(细-周m (3)√(-3-V25+2×V-27+(-2)2: (4) v3z+v50-7周 xV⑧ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) (1)(2x+1)2-1=8: (2)2(x+1)3+16=0. 19.(12分) 20.(10分) a06 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) B ▣ Q 22.(9分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) A B 24.(12分) b a C a b 图1 图2 图3 S S2 S 3 图4 图5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) D 墙 A 花园 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B C B D C B D C C A A 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．＜ 14．±2 15．/ 16． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中：17每题16分，18、23题每题8分，19、24题每题12分，20题每题10分，21、22题每题9分，25题每题14分。 17．（本题16分）【解析】】解：（1）原式 .（4分） （2）原式 . （8分） （3）原式 . （12分） （4）原式 . （16分） 18．（本题8分）【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或；（4分） （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴．（8分） 19．（本题12分）【解析】有理数集合:; （2分） 无理数集合:; （4分） 整数集合:（6分） 分数集合:; （8分） 正实数集合:; （10分） 负实数集合:. （12分） 20．（本题10分）【解析】解：由数轴可知：，， ∴，（1分） ∵，， ∴，（2分） ∴ ；（5分） ∴，时，原式．（10分） 21．（本题9分）【解析】(1)证明：∵的垂直平分线分别交，于点P，Q， ∴．（1分） ∵， ∴， ∴，（3分） ∴是直角三角形，且为最长边， ∴；（4分） （2）在中，，，， 设，则， ∵， ∴．（6分） 在中，， 即，（7分） 解得，（9分） 答：的长为． 22．（本题9分）【解析】（1）解：由题意得，，， ∴（4分） 故答案为：，； （2）解：设运动秒时，，两点相距15厘米， ∵， ∴， 即， 解得：，， 运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米．（9分） 23．（本题8分）【解析】解：如图：将容器侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离， （2分） ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，，（4分） ∴， 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是．（8分） 24．（本题12分）【解析】（1）①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）；（2分） ②证明：图1：大正方形的面积为， 四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为， 则；（3分） 图2：大正方形的面积为， 四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为， 则， 即；（4分） 图3：直角梯形的面积为， 三个直角三角形的面积之和为， 则， 即；（5分） （2）设对应的直角边长为，对应的直角边长为，对应的斜边长为， 由圆的面积公式得：， ， ， 由勾股定理得：， 则， 即，（8分） 故答案为：； （3）设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为， 由（2）可知，， 则阴影部分的面积为， ， ，（12分） 故答案为：． 25．（本题14分）【解析】解：（1）∵，且， ∴； 当时，，（4分） 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米，（6分） 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米．（8分） （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ，（10分） 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为．（14分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：北师大版八上第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1． 的相反数是（　　） A．﹣ B． C．﹣3 D．3 【答案】C 【分析】根据和只有符号不同的两个数为相反数，可得答案． 【详解】＝3，3的相反数是﹣3， 故选C． 【点睛】本题考查了算术平方根和相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2．下表是利用计算器算出的部分正数的平方： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 根据上表，求的值（结果保留整数）为（   ） A．187 B．188 C．189 D．190 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的概念，熟知算术平方根的概念是解题的关键．结合表格，即可得到答案． 【详解】解：结合表格可得， 结果保留整数为， 故选：B． 3．下列个数：、、0、、…（每两个之间依次多一个），其中有理数有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查有理数定义，根据题中所给的数及有理数定义即可判断答案，熟记有理数定义是解决问题的关键． 【详解】解：下列个数：、、0、、…（每两个之间依次多一个），其中有理数是、、0，即有理数有3个， 故选：C． 4．下列说法中正确的有（    ）个． （1）实数不是有理数就是无理数． （2）无限小数都是无理数． （3）无理数都是无限小数．       （4）带根号的数都是无理数．             （5）两个无理数之和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用实数、有理数、无理数的定义，逐个判断得结论． 【详解】解：有理数和无理数统称实数，故（1）说法正确； 无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故（2）说法错误； 无理数都是无限小数，故（3）说法正确； 、等数虽然带根号，但它们都不是无理数，故选项（4）说法错误； π+（-π）=0，所以两个无理数之和不一定是无理数，故选项（5）说法错误． 综上，正确的有（1）（3）共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数，掌握实数、有理数、无理数的定义是解决本题的关键． 5．已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件即可得到答案． 【详解】要使有意义，则， ∴． 要使有意义，则， ∴． 故同时满足在实数范围内有意义，只有． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是明确二次根式被开方数必须是非负数这一特性． 6．△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（   ） A．b2- c2=a2 B．a:b:c= 5:12:13 C．∠A:∠B:∠C = 3:4:5 D．∠C =∠A -∠B 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】A. b2- c2=a2，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC是直角三角形，故不符合题意； B. a:b:c= 5:12:13，设，则， 则，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC是直角三角形，故不符合题意； C. ∠A:∠B:∠C = 3:4:5，设∠A、∠B、∠C分别是， 则，，则， 所以△ABC是不直角三角形，故符合题意； D. ∠C =∠A -∠B，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠A=90°，是直角三角形，故不符合题意， 故选C. 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，涉及了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 7．下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式必须满足以下两个条件：①被开方数的因数是（整数），因式是（ 整式 ）（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的（ 因数 ）或（ 因式 ）． 【详解】A． =3， 不是最简二次根式； B． ，最简二次根式；    C． =，不是最简二次根式； D． =，不是最简二次根式． 故选B． 【点睛】本题考核了最简二次根式的概念．解题关键点：理解最简二次根式两个必备条件． 8．如图，在矩形中，，，点E是边上一点，连接，矩形沿折叠，点D的对应点恰好落在上的点F处．则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理，根据矩形的性质及折叠的性质，在中、在中和在中，利用勾股定理即可求解，解题的关键是掌握折叠的性质及勾股定理． 【详解】解：四边形是矩形，且，， ，，， 是沿折叠得到， ，， 在中，根据勾股定理得：， 即：， 解得：， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即：， 解得：， ， 在中，根据勾股定理得：， 即：， 解得：， 故选D． 9．能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， 故选：C． 10．若则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将两边同时平方，求出，可凑出，再开方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用和开平方的运算，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 11．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了七巧板，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是看懂图形．根据题意对应上图1和图2中七巧板，过点E作交的延长线于点H，只要算出，，再根据勾股定理即可求解； 【详解】解：如图，图1和图2中七巧板对应如下， ∵正方形的边长为4， ∴，，，，， ∴，则， 过点E作交的延长线于点H， 则， ， ， ， ， ， 故选：A． 12．如图，四个全等直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点，．已知，正方形的面积为10，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．2 B．2.5 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】由题意可得，设，则，由勾股定理可得，由题意可得，，即可得出，进而得出，由图形可得，则，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， 由题意可得：，， ∴， ∴， 由图形可得， ∴， ∴阴影部分的面积之和为 ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．比较大小：________. 【答案】＜ 【详解】因，，所以. 14．已知M是满足不等式的所有整数的和，N是满足不等式x≤的最大整数，则M＋N的平方根为________． 【答案】±2 【分析】首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵M是满足不等式－的所有整数a的和， ∴M＝－1＋0＋1＋2＝2， ∵N是满足不等式x≤的最大整数， ∴N＝2， ∴M＋N的平方根为：±＝±2． 故答案为：±2． 【点睛】此题主要考查了估计无理数的大小，得出M，N的值是解题关键． 15．如图，中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于．若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为______．    【答案】/ 【分析】由勾股定理求出，从而得出，再由点在数轴上表示的数为得出，最后根据，即可得到答案． 【详解】解： 中，，，， 由勾股定理得：， 以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于， ， 点在数轴上表示的数为， ， ， 点表示的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，利用勾股定理求出是解此题的关键． 16．如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，作点D关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，，，则所求的最小值即为，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，E，F，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长， ∵矩形中，，， ∴，， 过点作的垂线，交的延长线于点H，则四边形为矩形， ∴， ∵M为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中：17每题16分，18、23题每题8分，19、24题每题12分，20题每题10分，21、22题每题9分，25题每题14分。 17．计算下列各题： （1）；     （2）； （3）；     （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）6. 【分析】（1）先化简二次根式即可得，再计算加减可得； （2）利用二次根式除法运算，将除法变形成乘法计算即可得； （3）先化简各二次根式，再合并同类二次根式，即可得； （4）先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算； 【详解】解：（1）原式 . （2）原式 . （3）原式 . （4）原式 . 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18．求下列各式中的． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程： （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．把下列各数填入相应的集合内. -,-,-,0,-π,-,-4.0,3.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1). 有理数集合:{　　　　　　　　　…}； 无理数集合:{　　　　　　　　　…}； 整数集合:{　　　　　　　　　…}； 分数集合:{　　　　　　　　　…}； 正实数集合:{　　　　　　　　　…}； 负实数集合:{　　　　　　　　　…}. 【答案】；-，，-，3.1010010001，-，0； . 【分析】根据无限不循环小数是无理数，小于零的有理数是负有理数，大于零的分数是正分数，大于或等于零的整数是非负整数，可得答案． 【详解】有理数集合:; 无理数集合:; 整数集合: 分数集合:; 正实数集合:; 负实数集合:. 【点睛】本题考查了实数，有理数和无理数统称实数，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数． 20．实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 【答案】， 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的化简求值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； ∴，时，原式． 21．如图，中，的垂直平分线分别交，于点P，Q． (1)若，求证：； (2)在（1）的前提下，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵的垂直平分线分别交，于点P，Q， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且为最长边， ∴； (2)的长为 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理的应用，解题关键在于熟练应用线段垂直平分线性质勾股定理逆定理． （1）依据垂直平分线的性质，得，通过等量代换，最后利用勾股定理的逆定理得直角三角形，从而得出结论证明． （2） 设，则，．再次运用勾股定理建立方程，求解得出长度． 【详解】（1）略 （2）在中，，，， 设，则， ∵， ∴． 在中，， 即， 解得， 答：的长为． 22．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为． (1)设点，点运动时间为，则______，______； (2)点，运动几秒时，它们相距？ 【答案】(1)； (2)9秒或12秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理. （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）设运动秒时，，两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴ 故答案为：，； （2）解：设运动秒时，，两点相距15厘米， ∵， ∴， 即， 解得：，， 运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米． 23．如图透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），它的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键． 如图，将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，， ∴， 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 24．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______． （3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______． 【答案】（1）①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）； ②证明：图1：大正方形的面积为， 四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为， 则； 图2：大正方形的面积为， 四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为， 则， 即； 图3：直角梯形的面积为， 三个直角三角形的面积之和为， 则， 即； （2）； （3）． 【分析】（1）①根据勾股定理的内容即可得； ②图1和图2：利用四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和等于大正方形的面积即可得；图3：利用三个直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积即可得； （2）根据勾股定理、圆的面积公式即可得； （3）根据阴影部分的面积等于以两直角边为直径的两个半圆面积与直角三角形的面积之和减去以斜边为直径的半圆面积即可得． 【详解】（1）①略 ②略 （2）设对应的直角边长为，对应的直角边长为，对应的斜边长为， 由圆的面积公式得：， ， ， 由勾股定理得：， 则， 即， 故答案为：； （3）设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为， 由（2）可知，， 则阴影部分的面积为， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的定义、证明、以及应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 25．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：北师大版八上第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1． 的相反数是（　　） A．﹣ B． C．﹣3 D．3 2．下表是利用计算器算出的部分正数的平方： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 根据上表，求的值（结果保留整数）为（   ） A．187 B．188 C．189 D．190 3．下列个数：、、0、、…（每两个之间依次多一个），其中有理数有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 4．下列说法中正确的有（    ）个． （1）实数不是有理数就是无理数． （2）无限小数都是无理数． （3）无理数都是无限小数．       （4）带根号的数都是无理数．             （5）两个无理数之和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（   ） A．b2- c2=a2 B．a:b:c= 5:12:13 C．∠A:∠B:∠C = 3:4:5 D．∠C =∠A -∠B 7．下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，点E是边上一点，连接，矩形沿折叠，点D的对应点恰好落在上的点F处．则的长为（    ） A． B． C．2 D． 9．能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．若则的值为（　　） A． B． C． D． 11．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为（   ） A． B． C． D． 12．如图，四个全等直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点，．已知，正方形的面积为10，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．2 B．2.5 C．4.5 D．5 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．比较大小：________. 14．已知M是满足不等式的所有整数的和，N是满足不等式x≤的最大整数，则M＋N的平方根为________． 15．如图，中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于．若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为______．    16．如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是______． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中：17每题16分，18、23题每题8分，19、24题每题12分，20题每题10分，21、22题每题9分，25题每题14分。 17．计算下列各题： （1）；     （2）； （3）；     （4）. 18．求下列各式中的． (1)； (2)． 19．把下列各数填入相应的集合内. -,-,-,0,-π,-,-4.0,3.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1). 有理数集合:{　　　　　　　　　…}； 无理数集合:{　　　　　　　　　…}； 整数集合:{　　　　　　　　　…}； 分数集合:{　　　　　　　　　…}； 正实数集合:{　　　　　　　　　…}； 负实数集合:{　　　　　　　　　…}. 20．实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 21．如图，中，的垂直平分线分别交，于点P，Q． (1)若，求证：； (2)在（1）的前提下，若，，求的长． 22．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为． (1)设点，点运动时间为，则______，______； (2)点，运动几秒时，它们相距？ 23．如图透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），它的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少． 24．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______． （3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______． 25．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $