精品解析：安徽省阜阳市城郊中学2026-2027学年高一年级上学期第一次月考数学试题

阜阳市城郊中学2026级高一年级上学期第一次月考（2026.10.8） 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：北师大版必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可得出集合. 【详解】因为，，则. 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定即可求解. 【详解】命题“，”为全称量词命题，则其否定为“，”，故B正确. 故选：B. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. 或. C. D. 或. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，通分变形转化为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，即， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B 4. 若，，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知条件结合不等式的性质，判断各选项结论是否正确. 【详解】若，，，， 由，则，得，A选项错误； 由，有，则，B选项错误； 由，，有，C选项正确； 由，有，D选项错误. 故选：C. 5. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知不等式的解集求出，再求解不等式. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以1是方程的解，所以，解得， 所以不等式可化为， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 6. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，求出，得到最大值. 【详解】，故， 因为，，所以，解得， 故， 故当时，取得最大值，最大值为4. 故选：B 7. 为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、书法社团和围棋社团，若高一（10）班共有45名学生，每个学生至少参加一个社团，其中有29人参加篮球社团，26人参加书法社团，24人参加围棋社团，三个社团均参加的有4人，则恰好参加一个社团的学生有（ ） A. 8人 B. 10人 C. 13人 D. 15人 【答案】D 【解析】 【分析】利用Venn图求解即可. 【详解】如图所示： 设恰好参加一个社团的人数为，恰好参加两个社团的人数为，则①， 又②， 联立①②得，. 故选：D. 8. “集合恰有3个真子集”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据真子集个数求出集合元素个数，确定参数的充要范围，再利用集合间的包含关系判断充分性与必要性. 【详解】若一个集合的元素个数为，则它的真子集个数为. 因为集合恰有个真子集，所以集合中只有个元素， 因为，，则有当，时，；当，时，；当，时，， 则的取值范围为． 充分不必要条件要求选项对应的的范围应该是集合的真子集. 选项，：与集合相等，为充要条件，错误； 选项，：是集合的真子集，为充分不必要条件，正确； 选项，：包含集合，为必要不充分条件，错误； 选项，：与集合相交，互相不包含，为既不充分也不必要条件，错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式，注意等号成立条件判断A、B、D，根据不等式性质判断C. 【详解】当时，， 当且仅当时，即时等号成立，故A正确； 当时，， 当且仅当时，即时等号成立，故B正确； 当时，显然不成立，故C错误； 因为， 当且仅当时等号成立，此时无解，故取不到等号，故D错误． 故选：AB 10. 下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A. B. C. ：关于的方程有解， 或 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】对于A选项， ，即， ，即， 所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B选项，若取，则满足，不满足，则不是的充分条件， 显然，即是的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，：关于的方程 有解，即， 而或， 所以是的充要条件，故C错误； 对于D选项， 仅是方程的一组解， 所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：AB. 11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为或 D. 若，则关于的不等式的解集为或 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；利用根与系数的关系可判断B选项；利用一元二次不等式的解法可判断C选项；设，利用一元二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集为或，则，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，，则，B错； 对于C选项，由B选项可知，由可得， 可得，即，解得或， 所以，关于的不等式的解集为或，C对； 对于D选项，不妨设，其中，则，，， 由可得，可得， 即，即，解得， 此时，关于的不等式的解集为，D错. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则实数的取值集合为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，求出的值，再检验是否满足集合元素的互异性. 【详解】因为， 当时，则，不满足元素互异性，舍去； 当时，即，解得或或（舍去）， 当时，符合题意； 当时，符合题意； 故实数的取值集合为． 故答案为： 13. 已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】作差法比较大小即可. 【详解】 ， 由x＞0，y＞0且x≠y知，， , 即 故答案为： 14. 已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 若命题：“，恒成立”是真命题， 则，可得， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】根据集合的交并补的定义分别计算各小题即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为，，所以或， 所以或. 【小问3详解】 因为，，所以或， 所以. 16. 记全集，集合或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用并集的结果，列式求解即可. （2）利用交集的结果，结合包含关系列式求解即得. 【小问1详解】 全集，集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 由，得， 当，即时，，满足，因此； 当，即时，，而，则或， 解得或，因此或，从而或， 所以的取值范围为或． 17. 已知函数． （1）若对，恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）分析可知，恒成立，由可得出关于的不等式，解之即可； （2）将所求不等式变形为，对、的大小关系进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【小问1详解】 对，恒成立，即恒成立， 所以， 整理得，解得，所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 ，即，即， 即，即， 当，即时，原不等式即为，解得； 当，即时，解原不等式得或； 当，即时，解原不等式得或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 18. 如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为. （1）求关于的函数表达式； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 【答案】（1） （2）海报长42，宽24时，用纸量最少，最少用纸量为. 【解析】 【分析】（1）由实际问题得出长和宽，建立函数的表达式即可； （2）由（1）知，然后由基本不等式求解最小值，及取得等号的条件即可. 【小问1详解】 由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， ， 整理得. 【小问2详解】 由（1）知，即， 由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或. ，当且仅当即时等号成立， 海报长42，宽24时，用纸量最少，最少用纸量为. 19. 问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】（1） （2）证明:因为、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. （3）当时，取最小值 【解析】 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值. 【小问1详解】 因为、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 对于代数式，有，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜阳市城郊中学2026级高一年级上学期第一次月考（2026.10.8） 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：北师大版必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式的解集为（ ） A. B. 或. C. D. 或. 4. 若，，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 6. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 7. 为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、书法社团和围棋社团，若高一（10）班共有45名学生，每个学生至少参加一个社团，其中有29人参加篮球社团，26人参加书法社团，24人参加围棋社团，三个社团均参加的有4人，则恰好参加一个社团的学生有（ ） A. 8人 B. 10人 C. 13人 D. 15人 8. “集合恰有3个真子集”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 10. 下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A. B. C. ：关于的方程有解， 或 D. 11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为或 D. 若，则关于的不等式的解集为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则实数的取值集合为___________． 13. 已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为______． 14. 已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，求： （1）； （2）； （3）. 16. 记全集，集合或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）若对，恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式：． 18. 如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为. （1）求关于的函数表达式； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 19. 问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $