精品解析：安徽省阜阳第一中学2025-2026学年高一上学期9月教学质量检测数学试题

安徽省阜阳第一中学2025级9月教学质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 不等式的解为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中的假命题为（ ） A. ， B. 集合与集合是同一个集合 C. “为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件 D. 命题p：．命题q：．则p是q的充分不必要条件 10. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式与的解集相同 11. 若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（ ） A. 3数集A有6个非空真子集 B. 4数集B有6个2子集 C. 若集合，则C的等和子集有2个 D. 若集合，则D的等和子集有24个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设全集，集合，则实数__________. 13. 已知命题，，如果命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______. 14. 在数列中，，为的前项和，关于的方程有唯一解，若不等式，对任意的恒成立，则实数的取值范围为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求实数m的取值范围； （2）若且，求实数m的取值范围． 16. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的实数存在，求的取值范围；若问题中的实数不存在，请说明理由． 已知集合，，是否存在实数，使得______？ 17. 已知不等式． （1）若，使不等式恒成立，求的取值范围； （2）若，使不等式能成立，求的取值范围； （3）是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． 18. 已知a，b为正实数． （1）证明：； （2）若，求的最小值． 19. 已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质． （1）当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由； （2）当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省阜阳第一中学2025级9月教学质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求出集合，再解一元二次不等式求出集合，图中阴影部分为，根据交集、补集的定义计算可得. 【详解】解：，由，即，解得， 所以， 所以， 所以图中阴影部分为； 故选：B 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列出集合、，可判断两者之间的关系. 【详解】∵集合， ， ∴. 故选：B. 3. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式和一元二次不等式，结合充分条件、必要条件的概念根据两范围的大小即可得出结论. 【详解】将不等式可化为，解得； 等价，解得； 所以可得“”可以推出“”，即充分性成立； 而“”时也可能“”，推不出“”，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 5. 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 6. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的基本性质，结合作差法判断各个选项. 【详解】因为，， 根据不等式的性质 则，，A、B错误； ，所以，C正确； ，所以，D错误. 故选：C 7. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 8. 不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意得，进而得，再根据二次不等式的解法即可得答案. 【详解】解：等价于 ∴，即：，解得：. 所以不等式的解为 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中的假命题为（ ） A. ， B. 集合与集合是同一个集合 C. “为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件 D. 命题p：．命题q：．则p是q的充分不必要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，当时，满足要求，故A为真命题；B选项，求出，，故B为假命题；CD选项，可举出反例. 【详解】A选项，当时，，故，，A为真命题； B选项，集合与集合不是同一个集合，B为假命题； C选项，不妨设，此时“为空集”，但不满足“A与B至少一个为空集”，故充分性不成立，C为假命题； D选项，，解得或，不妨设，满足，但不能推出．则p不是q的充分条件，D为假命题. 故选：BCD 10. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式与的解集相同 【答案】AB 【解析】 【分析】依题意和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，即可求出、的值，再解一元二次不等式和分式不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以和为方程的两根，所以，解得，故A正确，B正确； 不等式即，所以，即， 解得或，所以不等式的解集为，故C错误； 不等式等价于，解得或，故不等式的解集为或，所以D错误； 故选：AB 11. 若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（ ） A. 3数集A有6个非空真子集 B. 4数集B有6个2子集 C. 若集合，则C的等和子集有2个 D. 若集合，则D的等和子集有24个 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合的新定义结合子集及真子集的性质分别判断各个选项即可. 【详解】3数集A有个非空真子集，A正确. 假设， 则B的2子集有，，，，，，共6个，B正确. C的等和子集有，，，共3个，C错误. 因为，，，所以在D中， 只有，两组符合条件的等式.在D的4子集中， D的等和子集有，，共2个； 在D的5子集中，D的等和子集有，，，，，，，共7个； 在D的6子集中，D的等和子集有，，，，，，，，，共9个； 在D的7子集中，D的等和子集有，，，，，共5个； 在D的8子集中，D的等和子集有，共1个. 综上，D的等和子集有个，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设全集，集合，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，解方程求参数，结合集合中元素的互异性确定参数值. 【详解】由且，则， 当，则，不满足集合元素的互异性； 当，此时，满足题设； 综上，. 故答案为： 13. 已知命题，，如果命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求解可得出命题q满足的条件.进而由已知逻辑关系得出集合之间的包含关系，即可得出答案. 【详解】解，即可得，或. 设，或， 则由命题p是命题q的充分不必要条件， 可知，所以有. 故答案为：. 14. 在数列中，，为的前项和，关于的方程有唯一解，若不等式，对任意的恒成立，则实数的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】设，分析可得，求得，，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】设函数，该函数的定义域为， 因为， 则函数为偶函数，因为方程有唯一解，则， 所以，且，故数列是以为公差和首项的等差数列， 故，，由题意可得. 若为奇数，则，因为，当且仅当时，等号成立， 所以，，可得； 若为偶数，则，令，则，， 当时，,， 且数列中的偶数项从开始单调递增，因为，此时. 综上所述，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求实数m的取值范围； （2）若且，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解； （2）对于的结果分类讨论，分别得到不等式（方程）组，解得即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴， 当时，即时， 解得，此时满足题意， 当时，即时， 解得， 则，解得，即； 综上所述m的取值范围为； 【小问2详解】 解：因为， ①时，，解得； ②时，，此时满足条件的m不存在； ③时，，解得， 综上得，m的取值范围为． 16. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的实数存在，求的取值范围；若问题中的实数不存在，请说明理由． 已知集合，，是否存在实数，使得______？ 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】选择条件①：先求出，对集合B是否为进行分类讨论，求出的取值范围； 选择条件②：先求出，由，列不等式组，即可求解； 选择条件③：由判断出，对集合B是否为进行分类讨论，求出的取值范围. 【详解】方案一 选择条件①． 易知． 由，得 当时，，解得； 当时，或，解得． 综上，存在实数，使得，且的取值范围为 方案二 选择条件②． 易知 由，得，无解， 所以不存在实数，使得． 方案三 选择条件③． 由，可知． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，存在实数，使得，且的取值范围为． 17. 已知不等式． （1）若，使不等式恒成立，求的取值范围； （2）若，使不等式能成立，求的取值范围； （3）是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由如下： 可化为， 若不等式对恒成立，因为， 所以也即，无解 故不存在. 【解析】 【分析】（1）讨论和两类情况即可； （2）将不等式化为，通过换元，借助基本不等式即可求解； （3）将不等式化为，借助一次函数单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，不等式为，可得，不符合题意； 将不等式化为：，由于，不等式恒成立， 所以解得：， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 因为，使不等式能成立， 也即，使得成立， 令，则， 则， 当时取等号，所以 【小问3详解】 不存在，理由略. 18. 已知a，b为正实数． （1）证明：； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用作差法证明即可； （2）由题可得，然后通过变形，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 ， 因为，所以，当且仅当时取等号，又， 所以， 即； 【小问2详解】 法一：因为，，， 即， 所以， 所以 ． 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为； 法二因为，，， 即，所以， 令，则， ， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为． 19. 已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质． （1）当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由； （2）当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由为： 当时，集合， 不具有性质， 因为对任意不大于的正整数，都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立， 集合具有性质， 因为可取，对于该集合中任一元素， 都有； （2）①具有性质，理由为： 当时，则， ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质， 首先因为，任取，其中， 因为，所以， 从而，即，所以， 由具有性质，可得存在不大于的正整数， 使得对中任意一对元素，都有， 对于上述正整数，从集合中任取一对元素，其中，则有， 所以集合具有性质； ② 【解析】 【分析】（1）当时，集合，，根据性质的定义可知其不具有性质；，令，利用性质的定义可验证； （2）当时，则， ①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义即可验证； ②设集合有个元素，由①得，任取一个元素，则与中必有一个不超过，从而得到集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过，然后利用性质的定义进行分析即可求出，即，解此不等式即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②设集合有个元素，由①得，若集合具有性质，那么集合一定具有性质， 任取一个元素，则与中必有一个不超过， 所以集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过， 不妨设中有个元素不超过，分别记为， 由集合具有性质，得存在正整数，使得对中任意两个元素 ，都有，所以都不是中的元素， 又，故都是中的元素， 即集合中至少有个元素不在子集中， 因此，所以，解得， 当时，取， 易得集合中的任意两个元素，都有， 即集合具有性质，此时集合中有个元素， 因此集合中元素个数的最大值为． 【点睛】本题考查集合之间包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义问题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $