精品解析：湖北武汉市硚口区2026-2027学年上学期九年级数学第一次学情自测试题

九年级数学作业 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. ，3 D. ，2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的特点即可求解． 【详解】一元二次方程的二次项和常数项分别为，3 故二次项系数和常数项分别是2，3 故选B． 【点睛】此题主要考查一元二次方程一般式，解题的关键是熟知一元二次方程的特点． 2. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设主干长出x个支干，则长出x2个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43，即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设主干长出x个支干，则长出个小分支． 根据题意得． 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是反比例函数，不符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、是二次函数，符合题意． 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ， ， ． 5. 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红．某商店一月份的销售量为200套，三月份的销售量为288套．设一月份到三月份销售量的月平均增长率为，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从一月份到三月份销售量经过两个月增长，每月增长率相同，因此使用几何增长模型列方程． 【详解】解：设月平均增长率为x， ∴一月份销售量200套，二月份销售量为套，三月份销售量为套 ∴可得． 6. 二次函数的图象如图所示，下列结论不正确的是（ ） A. B. 图象与x轴的负半轴交于点 C. 函数的最大值为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，与y轴交点坐标和对称轴公式求出，，，然后逐项判断即可． 【详解】解：由图象得，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，故A正确； 由图象得，抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的负半轴交于点，故B正确； 由图象得，抛物线开口向下， ∴， ∴当时，函数的最大值为，故C正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故D错误．符合题意. 7. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 2.5米 【答案】C 【解析】 【分析】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键．假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将种植地平移拼接为长方形，即可列出方程，进一步求出x的值即可． 【详解】解：假设修建的路宽应x米，则， ， 整理得： 解得：米，米(不合题意舍去)， 故选C． 8. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表所示，设方程的一个根为m，则m的取值范围可能是（ ） x … 1 … y … … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过观察函数值符号变化，确定方程根所在区间；当函数值由负变正时，对应区间内必有一根． 【详解】解：当时，， 当时，， 在到之间，函数值由负变正， 故方程的一个根m在至的范围内． 9. 如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．在这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A（平面直角坐标系的原点）的水平距离x（单位：m）的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立直角坐标系，再设函数解析式为，然后将点代入解析式可得答案． 【详解】解：如图所示，以点为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立直角坐标系， 由题意可知顶点，其过点， 设球的竖直高度关于水平距离的函数关系式为， ， 解得， ∴函数解析式为． 10. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园（墙的长度不限）．若矩形菜园的面积为，则a的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为，根据长方形面积公式可得方程，根据方程要有正实数根求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为， 由题意得，， ∴， ∵该方程要有实数根， ∴， ∴， ∵， ∴； 当方程有实数根时，两根之和为，两根之积为， 故方程有实数根时，则实数根一定是正数， ∴符合题意， ∴a的最小值是． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 试写一个两实数根为相反数的一元二次方程：________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由一个一元二次方程的两个根是互为相反数，可得这个一元二次方程的一次项系数为0，常数项与二次项系数的积为负数即可求解． 【详解】由一个一元二次方程的两个根是互为相反数，可得这个一元二次方程的一次项系数为0，常数项与二次项系数的积为负数即可，如； 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，正确理解一元二次方程根的概念是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线平移法则：左加右减、上加下减，根据题中所给条件，按照函数图像的平移法则操作即可得到答案． 【详解】解：抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是． 13. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________． 【答案】x(x+12)=864 【解析】 【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可． 【详解】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12， 故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864， 故答案：x(x+12)=864． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可． 14. 2026年湖北省城市足球联赛，是湖北省首次由省体育局、省文旅厅、省商务厅联合主办的高水平群众足球赛事．常规赛的赛制为单循环形式，如果常规赛结束后共比赛136场，则参赛球队数是___________． 【答案】17 【解析】 【分析】利用比赛的总场数参赛球队数参赛队伍数，即可列出一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设有x支球队参加比赛， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 则参赛球队数是． 15. 抛物线（a，c为常数，，）经过点．下列五个结论： ①； ②； ③，两点在抛物线上，若，则； ④，其中m为任意实数； ⑤若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5． 其中正确的是_________．（填写序号） 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】利用待定系数法，抛物线与x轴的交点的性质，二次函数的图象与性质对每个结论进行逐一判断，即可得出结论． 【详解】解：把代入解析式可得， ， ， ， ，故①正确； 对称轴为直线， 所以抛物线经过点， 当时，， 即，故②正确； 根据二次函数的性质可得，当时，，故③错误； ， 当时，函数取最大值为， ， ，故④正确； 整理，可得， 抛物线经过点， 关于的一元二次方程的两根分别为，，故⑤正确． 16. 已知，方程①，②，③，恰有一个公共解，另一个解分别为，，．则的值是__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意可得，解得，推出，分别代入三个式子即可解答． 【详解】解：根据题意可得，，， 三个式子相加可得， 则， ， ∴， 把代入①得：， ， ， 或， 解得或， 同理把代入②，解得或， 把代入③，解得或， 所以公共解， ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解法，比较简单，采用公式法即可求得，首先确定的值，然后利用判别式检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．解题的关键是准确应用一元二次方程的求根公式求解． 【详解】解：，，， ， ， ， 18. 某种传染病的传染速度很快．如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有100个人被传染，求每轮传染中平均1个人传染了多少个人． 【答案】每轮传染中平均1个人传染了9个人 【解析】 【分析】设每轮每人传染人数为个人，根据两轮后总感染人数列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均1个人传染了个人， 根据题意， 得， 解得，（舍去）． 答：每轮传染中平均1个人传染了9个人． 19. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为． （1）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？ （2）求小球被击出后在空中飞行多长时间． 【答案】（1）当小球飞行时，它的飞行高度为． （2）小球被击出后在空中飞行4秒 【解析】 【分析】（1）把代入，再解方程即可解答； （2）当时，，解方程即可解答． 【小问1详解】 解：当时，由函数关系，列得方程， 即 ． 解方程，得． 这说明，当自变量时，二次函数的函数值为20， 即当小球飞行时，它的飞行高度为． 【小问2详解】 解：当时，由函数关系，列得方程， 解方程，得，（不合题意，舍去）． ∴小球被击出后在空中飞行4秒． 20. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 【答案】（1） 证明：， 故方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）求出即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合得出，代入计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 21. 如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线记为． （1）点，的坐标分别为            ，            ，抛物线的顶点坐标为            ； （2）当函数的值大于0时，的取值范围是           ； （3）当时，函数的取值范围是            ； （4）当时，的取值范围是            ． 【答案】（1），， （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）令，可求得点，的坐标；再将二次函数解析式化成顶点式可求顶点； （2）结合图象即可解答； （3）根据二次函数的性质可得在时取最大值，在时取最小值； （4）结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：令时，可得， 解得， 点在点左边， ，； ， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：结合图象可得当函数的值大于0时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：， 当时取最大值，为； ， 当时取最小值，为； 当时，函数的取值范围是； 【小问4详解】 解：结合图象，可得当时，的取值范围是或． 22. 某校九年级开展了以“匀变速直线运动中的数学”主题实践活动． 知识背景匀变速直线运动中，每个时段内运动距离同一时段内的平均速度时间t，． 其中是开始时的速度，是t秒时的速度． 信息收集 信息1：如图，钢球从长为斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． 信息2：钢球从斜面顶端滚到底端后，继续在足够长的水平地面上滚动，速度每秒减少． 模型建立 （1）直接写出钢球在斜面滚动距离y（单位：）与滚动的时间t（单位：）之间的函数解析式． 问题解决 （2）求钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间； （3）求钢球在水平地面上滚动距离的最大值． 【答案】（1） （2）钢球从斜面顶端滚到底端用的时间是4秒 （3）钢球在水平地面上滚动距离的最大值为36米 【解析】 【分析】（1）首先求出平均速度，然后列式即可； （2）将代入求解即可； （3）设钢球在水平地面滚动的时间为秒，滚动的距离为米，表示出，，然后利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， （舍去负值）， ， 答：钢球从斜面顶端滚到底端用的时间是4秒； 【小问3详解】 解：设钢球在水平地面滚动的时间为秒，滚动的距离为米， 依题意得，钢球在水平地面滚动时开始时的速度， 秒时的速度， ， ， ∵， 当时，取得最大值36， 钢球在水平地面上滚动距离的最大值为36米． 23. 在菱形中，，点是对角线上的动点（端点除外），连接． （1）如图（1），延长交于点，若点是的中点，直接写出的值： （2）如图（2），以为边作等边，连接，为的中点，连接，． ①探究与的数量关系，并证明你的结论； ②若，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）①猜想： 证明：如图（2），延长至点H，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． ②的最小值为2． 【解析】 【分析】（1）先求出，再证明，运用相似三角形的性质可得出结论； ①如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明是等边三角形，再由是等边三角形，得条件证明，则，根据是的中位线，得，由等量代换可得结论． ②先判断出点N在的延长线上时，最小，最小为，再判断出，即可用三角函数求出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①略 ②如图2，由①知，， ∴要最小，则最小， 即：点C，H，N在同一条线上时，最小， 此时，点D和点Q重合， 即：的最小值为，如图3， 由①知，是等边三角形， ∴． ∵是菱形的对角线， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为2． 24. 抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），点为第四象限抛物线上的一点，连接交轴于点，交线段于点，当时，求点的横坐标； （3）如图（2），平移抛物线 ，使其顶点为原点得到抛物线．点为第一象限抛物线上的动点，过点作直线轴，过点作另一条直线与抛物线有唯一公共点，将直线沿翻折得到直线，求点到直线距离的最大值． 【答案】（1），， （2） （3）到直线距离的最大值为 【解析】 【点睛】（1）分别令，，解答即可； （2）过作轴于点，当时，，根据面积求出，再求出直线的解析式，从而得出点的坐标，求出直线的解析式，与抛物线解析式联立即可解答； （3）由平移可知抛物线，延长交轴于，延长交轴于，过作轴于，设，求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立，结合与抛物线只有一个公共点，求出，从而得，根据平行线的性质和折叠的性质证明，设，则，根据，得出，即可得过定点，即可解答； 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， ∴，； 令，得，即； 【小问2详解】 解：过作轴于点， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， ，，设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 在线段上， ， ， ∴， ，，设直线的解析式为：， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 联立得， ， ， ， 解得；，， 在第四象限， ， 即点的横坐标为； 【小问3详解】 解：由平移可知抛物线， 延长交轴于，延长交轴于，过作轴于， 设，直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， ， ， 与抛物线只有一个公共点， ， ， 直线的解析式为：， ， ， ∵直线轴， ∴， ∵将直线沿翻折得到直线， ∴， ∴， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 过定点， 当轴时，点到直线的距离最大， 到直线距离的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学作业 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. ，3 D. ，2 2. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红．某商店一月份的销售量为200套，三月份的销售量为288套．设一月份到三月份销售量的月平均增长率为，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，下列结论不正确的是（ ） A. B. 图象与x轴的负半轴交于点 C. 函数的最大值为 D. 7. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 2.5米 8. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表所示，设方程的一个根为m，则m的取值范围可能是（ ） x … 1 … y … … A. B. C. D. 9. 如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．在这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A（平面直角坐标系的原点）的水平距离x（单位：m）的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园（墙的长度不限）．若矩形菜园的面积为，则a的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 试写一个两实数根为相反数的一元二次方程：________________． 12. 在平面直角坐标系中，把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是__________． 13. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________． 14. 2026年湖北省城市足球联赛，是湖北省首次由省体育局、省文旅厅、省商务厅联合主办的高水平群众足球赛事．常规赛的赛制为单循环形式，如果常规赛结束后共比赛136场，则参赛球队数是___________． 15. 抛物线（a，c为常数，，）经过点．下列五个结论： ①； ②； ③，两点在抛物线上，若，则； ④，其中m为任意实数； ⑤若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5． 其中正确的是_________．（填写序号） 16. 已知，方程①，②，③，恰有一个公共解，另一个解分别为，，．则的值是__________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程： 18. 某种传染病的传染速度很快．如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有100个人被传染，求每轮传染中平均1个人传染了多少个人． 19. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为． （1）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？ （2）求小球被击出后在空中飞行多长时间． 20. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 21. 如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线记为． （1）点，的坐标分别为            ，            ，抛物线的顶点坐标为            ； （2）当函数的值大于0时，的取值范围是           ； （3）当时，函数的取值范围是            ； （4）当时，的取值范围是            ． 22. 某校九年级开展了以“匀变速直线运动中的数学”主题实践活动． 知识背景匀变速直线运动中，每个时段内运动距离同一时段内的平均速度时间t，． 其中是开始时的速度，是t秒时的速度． 信息收集 信息1：如图，钢球从长为斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． 信息2：钢球从斜面顶端滚到底端后，继续在足够长的水平地面上滚动，速度每秒减少． 模型建立 （1）直接写出钢球在斜面滚动距离y（单位：）与滚动的时间t（单位：）之间的函数解析式． 问题解决 （2）求钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间； （3）求钢球在水平地面上滚动距离的最大值． 23. 在菱形中，，点是对角线上的动点（端点除外），连接． （1）如图（1），延长交于点，若点是的中点，直接写出的值： （2）如图（2），以为边作等边，连接，为的中点，连接，． ①探究与的数量关系，并证明你的结论； ②若，直接写出的最小值． 24. 抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），点为第四象限抛物线上的一点，连接交轴于点，交线段于点，当时，求点的横坐标； （3）如图（2），平移抛物线 ，使其顶点为原点得到抛物线．点为第一象限抛物线上的动点，过点作直线轴，过点作另一条直线与抛物线有唯一公共点，将直线沿翻折得到直线，求点到直线距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $