16.1.1 同底数幂的乘法 知识清单2026-2027 学年人教版八年级数学上册

16.1.1 同底数幂的乘法 知识清单 人教版（2024）八年级数学上册　第十六章　整式的乘法 知识地图 ① 乘方的意义　 表示 n 个 a 相乘，a 叫底数，n 叫指数，结果叫幂。 ② 同底数幂相乘　两个幂底数相同，才能用法则。 ③ 乘法法则　· = （m、n 为正整数）。 ④ 法则的语言表述　同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ⑤ 法则的推广　·· = 。 ⑥ 指数为 1 的幂　a = ，参与运算时不能漏掉。 ⑦ 底数的多样性　底数可以是负数、单项式或多项式。 ⑧ 法则的逆用　 = ·。 ⑨ 重要辨析　幂的乘法「指数相加」，与合并同类项「系数相加」不同。 一、学习目标与重难点 1. 学习目标 层次 具体要求 理解 理解乘方的意义，能说出幂的底数、指数所表示的意义 掌握 掌握同底数幂的乘法法则，会用法则进行同底数幂的乘法运算 掌握 掌握指数为 1 的幂的写法，运算时不遗漏 应用 能运用法则解决含负底数、多项式底数及指数为字母的问题 应用 理解并会逆用同底数幂的乘法法则 2. 本节重难点 重点：同底数幂的乘法法则「底数不变，指数相加」及其推导与应用。 难点：法则推导过程的理解；法则的灵活运用（含漏指数 1、化同底、逆用等易错点）。 二、乘方的意义（复习） 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。把 n 个 a 相乘记作 ，即： 　　 = a · a · … · a（n 个 a 相乘） 在 中，a 叫做底数，n 叫做指数， 叫做幂。读作「a 的 n 次方」，也可读作「a 的 n 次幂」。 名称 符号 含义 底数 a 相同的因数，可以是数、单项式或多项式 指数 n 相同因数 a 的个数，是正整数 幂 乘方的结果（n 个 a 相乘的积） 特别说明：（1）指数 n 表示相同因数 a 的个数；（2）a 可以是有理数、单项式或多项式，此时应把整个式子看作一个整体（底数）。 三、同底数幂的乘法法则 1. 从特殊到一般：法则的探究 计算下列各式，并观察结果中底数与指数的变化（m、n 是正整数）： 算式 根据乘方的意义展开 结果 指数的变化 × (10×10)×(10×10×10) 2 + 3 = 5 × (a·a·a)×(a·a·a·a·a) 3 + 5 = 8 × (a·a·…·a)×(a·a·…·a) m + n 观察发现：三个算式的两个因式底数相同，积的幂的底数与原底数相同，而指数恰好等于两个因式的指数之和。 2. 法则的推导 利用乘方的意义和乘法的结合律，一般地： 　　 · = (a·a·…·a) · (a·a·…·a) = a·a·…·a = （第一个括号内有 m 个 a，第二个括号内有 n 个 a，共有 m + n 个 a 相乘） 图 1 同底数幂乘法法则的推导：· = = ，底数不变、指数相加 3. 法则的表述 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 符号语言： · = （m、n 都是正整数）。 使用法则要抓住两个条件：① 是乘法运算；② 底数相同。两个条件缺一不可。 4. 法则的推广 同底数幂的乘法法则也适用于三个或三个以上的同底数幂相乘，即： 　　 · · = （m、n、p 都是正整数）。 三个指数连续相加，仍满足「底数不变，指数相加」。 5. 指数为 1 的幂 单个字母或数字都可以看作指数为 1 的幂，即 a = ，如 x = 、5 = 。 因此，a · = · = = 。 易错提醒：单独一个字母或数字的指数是 1，运算时千万不要漏掉这个「1」。 四、法则的应用 1. 底数是负数 当底数是负数时，要分清负号是否在括号内，并用「负数乘方」的符号规律确定结果： 　　(-2) × × = = = 256 这里 (-2) 的指数为 1，三个幂的底数都是 -2，指数相加得 8，结果为正。 2. 底数是多项式 当底数是多项式时，把整个多项式看作一个整体，法则同样适用： 　　 · · (x+y) = = 3. 与合并同类项的区别 图 2 同底数幂乘法（指数相加）与合并同类项（系数相加）的区别 运算 算式举例 依据 结果 同底数幂相乘 · 同底数幂乘法法则 （指数 2+2=4） 合并同类项 + 合并同类项法则 2（系数 1+1=2） 核心区别：乘法是「指数相加、字母不变」，加法是「系数相加、字母部分不变」。千万不要把 · 误算成 2（那是加法），也不要把 + 误算成 （那是乘法）。 五、法则的逆用 把同底数幂的乘法法则反过来用，就得到： 　　 = · （m、n 都是正整数）。 当已知底数相同的两个幂的值，求它们的积的幂（指数之和）时，常用此法。 图 3 同底数幂乘法法则的正用与逆用 典型应用：已知 = 3、 = 4，求 的值。 解： = · = 3 × 4 = 12。 六、典型例题 【基础题】 例 1 下列各式中，计算正确的是（　　）。 A. · = 　　B. · = C. · = 2　　D. + = 解：选 B。根据同底数幂的乘法法则，底数不变、指数相加，故 · = = 。 A 把指数相乘（应为 2 + 3 = 5，不是 6）；C 多写了系数 2；D 是加法不是乘法，不能套用法则。 例 2 计算： · a = ______。 解：因为 a = ，所以 · a = · = = 。 答：。 例 3 计算： × = ______。 解：底数都是 -3，指数相加： × = = = 729。 答：729。 【提升题】 例 4 计算： · − · 。 解： · = ， · = 。 所以原式 = − = 0。 答：0。 例 5 计算： · （m 为正整数）。 解：底数都是 a，指数相加： · = = 。 答：。 例 6 已知 = 5， = 3，求 的值。 解：逆用同底数幂的乘法法则，得 = · = 5 × 3 = 15。 答：15。 【拓展题】 例 7 计算： · 。 解：先化同底。因为 = （偶次方，括号内整体变号不变）， 所以原式 = · = 。 答：。 例 8 已知 = 2， = 5， = 3，求 的值。 解：逆用法则（推广形式）： = · · = 2 × 5 × 3 = 30。 答：30。 例 9 若 = 4，求 的值。 解： = · = 4 × 9 = 36。 答：36。 例 10 已知 = 2， = 3，求 的值。 解： = · = ( · ) · = 2 × 2 × 3 = 12。 答：12。 例 11 计算： · · 。 解：三个同底数幂相乘，指数相加：原式 = = = 100000。 答：100000。 例 12 已知 = 6， = 2，求 与 的值。 解： = · = 6 × 2 = 12； = · = · ( · ) = 6 × 2 × 2 = 24。 答： = 12， = 24。 例 13 已知 = 3，求 的值。 解：把指数拆开：2 + x = x + 2，逆用法则得 = = · = 3 × 4 = 12。 答：12。 七、易错清单 序号 常见错误 正确理解 1 把 · 算成 同底数幂相乘是「指数相加」： · = 2 把 · 算成 后又与 2 混淆 幂的乘法结果仍是一个幂，系数为 1，不是 2 3 漏掉指数为 1 的幂，如 a · 算成 （漏加 1） 因为 a = ，所以 a · = = 4 把 + 算成 加法是合并同类项： + = 2 5 底数不同时也直接套用法则 法则的前提是「同底数」；底数不同应先化为同底数再运算 6 把 × 的负号处理错 两幂底数相同（都是 -2），指数相加即可，符号由指数的奇偶决定 7 忽略底数可以是多项式 · 中把 (x + y) 看作整体，结果为 8 逆用时把 误写成 + 逆用应是乘积： = · 八、方法总结与知识结构 1. 常用结论与思维方法 项目 内容 乘方的意义 n 个 a 相乘记作 ，a 是底数，n 是指数，结果为幂 乘法法则 · = （m、n 为正整数） 法则的表述 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 法则的推广 · · = 指数为 1 的幂 a = ，运算时不能漏掉这个「1」 底数的多样性 底数可以是负数、单项式或多项式，把整体看作底数 法则的逆用 = · 2. 知识结构 幂的乘法　乘方意义： 表示 n 个 a 相乘 　同底数幂相乘：底数不变，指数相加 法则　 · = （m、n 为正整数） 　推广： · · = 易错点　漏指数 1；与合并同类项混淆；底数不同直接套用 逆用　 = · 一句话总结：同底数幂相乘，底数不变、指数相加；牢记 a = 、别与合并同类项混淆，还要会逆用 = · 。 九、学以致用（即时自测） 1. 下列计算正确的是（　　）。 A. · = 　　B. · = 2 C. · = 　　D. + = 2. 计算： × = ______。 3. 计算：m · = ______。 4. 已知 = 5， = 2，则 = ______。 5. 若 = 3，则 = ______。 参考答案：1. C（同底数幂相乘，指数相加，· = ）。 2. （指数 5 + 4 = 9）。 3. （m = ，指数 1 + 5 = 6）。 4. 10（ = · = 5 × 2 = 10）。 5. 15（ = · = 3 × 5 = 15）。 解题小贴士：（1）先看是不是「同底数」「相乘」，两个条件都满足才能用「指数相加」；（2）别忘 a = ；（3）已知幂的值求指数和，优先逆用法则。 十、知识拓展与思考 1. 现实中的应用：科学记数法与大数运算 同底数幂的乘法是整式乘法的「第一块基石」。科学记数法里的大数运算就常常用到它，例如某电子计算机每秒运算 次，工作 秒，总运算次数为 × = 次。 （像这样的超大数，用幂的形式表示并相乘，比写成一大串数字再算要简洁、准确得多。） 2. 综合运用 例 1 计算： · + · 。 解： · = ， · = 。 所以原式 = + = 2 × = 2 × 256 = 512。 答：512。 例 2 已知 = 3， = 5，求 的值。 解：先拆分指数 a + b + 2，再逆用法则： = · · = 3 × 5 × 4 = 60。 答：60。 3. 思考与辨析 思考题（选做）：（1）三个同底数幂相乘，指数是相加还是相乘？（2）若 = 8， = 9，能否求出 ？能否求出 ？ 拓展结论：（1）三个（或多个）同底数幂相乘，仍是「底数不变、指数相加」；（2）由已知可求 = · = 8 × 9 = 72；但 属于「幂的乘方」，是下一课时的内容，不能由本课时法则求出。 学习提示：牢记一条法则「同底数幂相乘，底数不变，指数相加」，注意三点：① 底数必须相同；② 别忘 a = ；③ 分清乘法与合并同类项。 学科网（北京）股份有限公司 $