15.3 等腰三角形 知识清单2026-2027 学年人教版八年级数学上册

15.3 等腰三角形 知识清单 人教版（2024）八年级数学上册　第十五章　轴对称 知识地图 ① 等腰三角形的定义　两条边相等的三角形叫等腰三角形。 ② 性质1：等边对等角　AB = AC 则 ∠B = ∠C。 ③ 性质2：三线合一　顶角平分线、底边中线、底边高互相重合。 ④ 判定：等角对等边　∠B = ∠C 则 AB = AC。 ⑤ 等边三角形的定义　三边都相等的三角形叫等边三角形。 ⑥ 等边三角形性质　三个角都相等，每个角都等于 60°。 ⑦ 等边三角形判定　三角相等 / 有一个角是 60° 的等腰三角形。 ⑧ 含30°角的直角三角形　30° 所对的直角边 = 斜边的一半。 ⑨ 重要提醒　等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线。 一、学习目标与重难点 1. 学习目标 层次 具体要求 掌握 理解等腰三角形的概念（腰、底边、顶角、底角），会用「等边对等角」进行推理 掌握 掌握等腰三角形「三线合一」的性质，并能用它进行证明和计算 掌握 掌握等腰三角形的判定（等角对等边），能判定一个三角形是等腰三角形 掌握 掌握等边三角形的性质与判定，知道含 30° 角的直角三角形的边角关系 应用 能综合运用等腰（等边）三角形的性质与判定解决计算与证明问题 2. 本节重难点 重点：等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）；等边三角形的性质与判定。 难点：三线合一的灵活运用；等腰三角形中需要分类讨论的问题（已知一角或两边时，分顶角与底角、腰与底两种情况）。 二、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。如图 1，在 △ABC 中，若 AB = AC，则 △ABC 是等腰三角形，其中 AB、AC 是腰，BC 是底边，∠A 是顶角，∠B、∠C 是底角。 图 1 等腰三角形 △ABC（AB = AC）：AB、AC 是腰，BC 是底边，∠A 是顶角，∠B、∠C 是底角 特别提醒：等边三角形是特殊的等腰三角形（三边都相等的等腰三角形），但等腰三角形不一定是等边三角形。 三、等腰三角形的性质与判定 1. 性质 1：等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称「等边对等角」）。 几何语言：如图 2(1)，在 △ABC 中，∵ AB = AC，∴ ∠B = ∠C（等边对等角）。 2. 判定：等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称「等角对等边」）。 几何语言：如图 2(2)，在 △ABC 中，∵ ∠B = ∠C，∴ AB = AC（等角对等边）。 对比记忆：「等边对等角」是性质（由边推角），「等角对等边」是判定（由角推边），二者互为逆命题；使用时必须在同一个三角形内，边与角要对应同一三角形。 图 2 (1) 由边推角（性质）：AB = AC 则 ∠B = ∠C；(2) 由角推边（判定）：∠B = ∠C 则 AB = AC 四、性质 2：三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称「三线合一」）。 如图 3，在 △ABC 中，AB = AC，AD 是顶角平分线，则 AD 也是底边 BC 上的中线和高。 图 3 AB = AC 时，AD 既是顶角平分线，又是底边上的中线，还是底边上的高（三线合一） 三线合一的三种用法（只要知道其中一条，就能得到另外两条） 已知 由此可得的结论 AB = AC，AD 平分 ∠BAC AD ⊥ BC，BD = DC AB = AC，BD = DC AD ⊥ BC，AD 平分 ∠BAC AB = AC，AD ⊥ BC BD = DC，AD 平分 ∠BAC 书写规范：「三线合一」不能直接当作「三条线都重合」来用，书写时要写明是哪两条重合推出第三条，例如「∵ AB = AC，AD ⊥ BC，∴ BD = DC」。 重要：等腰三角形的对称轴，就是顶角平分线（底边垂直平分线）所在的直线。 五、等腰三角形中的分类讨论 等腰三角形中，若题目没有明确告诉哪个角是顶角、哪条边是腰，往往需要分类讨论： 已知条件 分类方法 注意 已知一个内角 分「该角是顶角」与「该角是底角」两种情况 若已知角是直角或钝角，则它只能是顶角（底角不能是直角或钝角） 已知两条边长 分「已知边是腰与底」两种情况，分别求周长 每种情况都要用三边关系（两边之和大于第三边）检验是否成立 解题要点：等腰三角形常用结论：① 顶角 = 180° − 2 × 底角；② 底角 = (180° − 顶角) ÷ 2；③ 若已知角 α 是底角，则 2α < 180°，即 α < 90°。 六、等边三角形 1. 定义与性质 三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形。 性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 60°。 图 4 等边三角形 △ABC：AB = BC = CA，且 ∠A = ∠B = ∠C = 60° 2. 判定 判定一个三角形是等边三角形，有以下三种方法： 判定方法 内容 方法一 三条边都相等的三角形是等边三角形 方法二 三个角都相等的三角形是等边三角形 方法三 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 易错提醒：「有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形」中的「60° 角」无论是顶角还是底角，结论都成立；但如果只知「有一个角是 60°」而不知是等腰三角形，则不能判定。 图 5 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形（顶角 60° 或底角 60° 均可） 七、含 30° 角的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：如图 6，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，则 BC = AB。 常用结论：在含 30° 角的直角三角形中，三边的比为 短直角边 : 长直角边 : 斜边 = 1 : √3 : 2。 用法：求长度时，若已知斜边，则 30° 角所对的直角边 = 斜边 ÷ 2；若已知 30° 角所对的直角边，则斜边 = 该直角边 × 2。 图 6 Rt△ABC 中 ∠A = 30°、∠C = 90°，则 30° 角所对的直角边 BC = 斜边 AB 的一半 八、典型例题 【基础题】 例 1 已知等腰三角形的一个底角是 40°，则它的顶角是（　　）。 A. 40°　　B. 70°　　C. 100°　　D. 140° 解：选 C。顶角 = 180° − 2 × 40° = 180° − 80° = 100°。 例 2 在 △ABC 中，AB = AC，∠A = 50°，则 ∠B = ______，∠C = ______。 解：∠B = ∠C = (180° − 50°) ÷ 2 = 130° ÷ 2 = 65°。答：∠B = ∠C = 65°。 例 3 若一个等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则它的周长是（　　）。 A. 13　　B. 17　　C. 13 或 17　　D. 10 解：选 B。分两种情况： ① 若腰为 3、底为 7，则 3 + 3 = 6 < 7，不能构成三角形，舍去； ② 若腰为 7、底为 3，则 7 + 7 = 14 > 3，成立，周长 = 7 + 7 + 3 = 17。 【提升题】 例 4 已知等腰三角形的一个角是 100°，求它的另外两个角的度数。 解：因为 100° > 90°，所以 100° 的角不可能是底角，只能是顶角。 此时两个底角相等，各为 (180° − 100°) ÷ 2 = 40°。 答：另外两个角都是 40°。 例 5 如图，在 △ABC 中，AB = AC，AD 是底边 BC 上的高。已知 BD = 3，求 BC 的长，并说明 AD 与 ∠BAC 的关系。 解：因为 AB = AC，AD ⊥ BC，由「三线合一」知 AD 也是底边 BC 上的中线， 所以 BD = DC = 3，BC = BD + DC = 6。 同时 AD 也是顶角 ∠BAC 的平分线，即 AD 平分 ∠BAC。 答：BC = 6，AD 平分 ∠BAC。 例 6 在 △ABC 中，∠B = ∠C，AB = 5，BC = 4，求 △ABC 的周长。 解：因为 ∠B = ∠C，由「等角对等边」得 AC = AB = 5，所以 △ABC 是等腰三角形。 周长 = AB + AC + BC = 5 + 5 + 4 = 14。 答：△ABC 的周长为 14。 【拓展题】 例 7 在 △ABC 中，AB = AC，∠A = 36°，BD 是 ∠ABC 的平分线，交 AC 于点 D。求 ∠ABD 与 ∠BDC 的度数。 解：因为 AB = AC，所以 ∠ABC = ∠C = (180° − 36°) ÷ 2 = 72°。 因为 BD 平分 ∠ABC，所以 ∠ABD = ∠DBC = 72° ÷ 2 = 36°。 在 △BDC 中，∠BDC = 180° − ∠DBC − ∠C = 180° − 36° − 72° = 72°。 答：∠ABD = 36°，∠BDC = 72°。 例 8 在等边三角形 ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 AD ⊥ BC。若 AB = 8，求 BD 的长。 解：因为 △ABC 是等边三角形，所以 AB = AC，且 ∠B = 60°。 因为 AB = AC，AD ⊥ BC，由「三线合一」知 BD = DC = BC。 又 BC = AB = 8，所以 BD = × 8 = 4。 答：BD = 4。 例 9 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 12。求 BC 的长。 解：因为 ∠C = 90°，∠A = 30°，所以 ∠A 所对的直角边是 BC，斜边是 AB。 由含 30° 角的直角三角形性质，得 BC = AB = × 12 = 6。 答：BC = 6。 例 10 如图，在 △ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 于点 E。若 BD = 4，求 DC 的长。 解：因为 AB = AC，∠BAC = 120°，所以 ∠B = ∠C = (180° − 120°) ÷ 2 = 30°。 因为 DE 垂直平分 AB，所以 DA = DB = 4，∠DAB = ∠B = 30°。 所以 ∠DAC = ∠BAC − ∠DAB = 120° − 30° = 90°，即 △ADC 是直角三角形。 在 Rt△ADC 中，∠C = 30°，所以 AD = DC，即 DC = 2AD = 2 × 4 = 8。 答：DC = 8。 例 11 已知等腰三角形的周长为 20，其中一边长为 6，求另外两边的长。 解：分两种情况讨论。 ① 若 6 是底边，则两腰之和为 20 − 6 = 14，每腰长 7，三边为 7、7、6，满足 7 + 6 > 7，成立； ② 若 6 是腰，则另一腰也为 6，底边为 20 − 6 − 6 = 8，三边为 6、6、8，满足 6 + 6 > 8，成立。 答：另外两边长为 7、7 或 6、8。 例 12 在 △ABC 中，∠A = 50°，当 ∠B 为多少度时，△ABC 是等腰三角形？（写出所有可能） 解：分三种情况讨论。 ① 若 ∠A = ∠B，则 ∠B = 50°； ② 若 ∠A = ∠C，则 ∠C = 50°，∠B = 180° − 50° − 50° = 80°； ③ 若 ∠B = ∠C，则 ∠B = ∠C = (180° − 50°) ÷ 2 = 65°。 答：∠B 为 50° 或 80° 或 65°。 例 13 如图，△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 AD = AE。求证：△ADE 是等边三角形。 证明：因为 △ABC 是等边三角形，所以 ∠A = 60°。 因为 AD = AE，所以 △ADE 是等腰三角形。 又 ∠A = 60°，由「有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形」， 所以 △ADE 是等边三角形。 九、易错清单 序号 常见错误 正确理解 1 把「等边对等角」用在两个不同的三角形中 该性质必须在同一个三角形内使用，边与角要对应同一三角形 2 把「三线合一」理解成任意三角形都有 三线合一只对等腰三角形（顶角平分线、底边中线、底边高）成立 3 已知等腰三角形一角，直接当成底角计算 应分「该角是顶角」和「该角是底角」两种情况讨论 4 已知等腰三角形两边，直接算周长不做检验 要分「已知边是腰/底」讨论，并用三边关系检验能否构成三角形 5 认为顶角也可以是直角或钝角都行 底角只能是锐角（2α < 180°），直角或钝角只能是顶角 6 把「等角对等边」当成「等边对等角」来用 等边对等角是性质（边→角），等角对等边是判定（角→边） 7 认为「有一个角是 60° 的三角形」就是等边三角形 必须是「有一个角是 60° 的等腰三角形」才是等边三角形 8 含 30° 角直角三角形中，把 30° 所对的边当成斜边 30° 角所对的是较短直角边，等于斜边的一半 十、方法总结与知识结构 1. 常用结论与思维方法 项目 内容 等腰三角形定义 有两条边相等的三角形（腰、底边、顶角、底角） 性质 1（等边对等角） AB = AC 则 ∠B = ∠C 性质 2（三线合一） 顶角平分线、底边中线、底边高互相重合 判定（等角对等边） ∠B = ∠C 则 AB = AC 等边三角形 三边相等，三角都等于 60°；有一个 60° 角的等腰三角形是等边三角形 含 30° 角的直角三角形 30° 角所对的直角边等于斜边的一半，三边比为 1 : √3 : 2 2. 知识结构 等腰三角形　定义：两边相等（腰、底边、顶角、底角） 　性质：等边对等角、三线合一 判定　等角对等边（两个角相等） 等边三角形　三边相等；三角都等于 60° 　判定：三角相等 / 有一个 60° 角的等腰三角形 重要应用　含 30° 角的直角三角形：30° 所对直角边 = 斜边一半 一句话总结：等腰三角形「等边对等角、等角对等边」，还有「三线合一」；等边三角形三个角都是 60°；在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 十一、学以致用（即时自测） 1. 已知等腰三角形的一个角是 70°，则它的另外两个角是（　　）。 A. 70°、40°　　B. 55°、55°　　C. 70°、40° 或 55°、55°　　D. 无法确定 2. 在 △ABC 中，AB = AC，∠B = 65°，则 ∠A = ______。 3. 若等腰三角形的两边长分别为 4 和 9，则它的周长是 ______。 4. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，AC = 5，则 AB = ______。 5. 在 △ABC 中，AB = AC，∠A = 80°，则 ∠B = ______。 6. 若一个等边三角形的边长为 6，则它的周长是 ______，每个内角是 ______。 参考答案：1. C（70° 可为顶角，则底角 55°；也可为底角，则另一底角 70°、顶角 40°）。 2. ∠A = 180° − 2 × 65° = 50°（等边对等角）。 3. 若腰为 4，则 4 + 4 = 8 < 9，不成立；若腰为 9，则 9 + 9 > 4，成立，周长 = 9 + 9 + 4 = 22。 4. ∠B = 30° 所对的直角边是 AC，斜边是 AB，所以 AB = 2AC = 10。 5. ∠B = ∠C = (180° − 80°) ÷ 2 = 50°。 6. 周长 = 6 × 3 = 18；每个内角都等于 60°。 解题小贴士：（1）遇「等腰三角形 + 已知角/边」先想分类讨论，再检验是否成立；（2）证明线段相等或角相等时，优先找等腰三角形，用「等边对等角」或「等角对等边」；（3）出现底边上的高、中线或顶角平分线时，马上想到「三线合一」。 十二、证明书写规范 等腰三角形的证明与计算，书写要注意推理有据、步骤完整： （1）先写「在 △ABC 中」或「∵ AB = AC」，明确使用的大前提； （2）每一步推理后面，用括号注明依据，如「（等边对等角）」「（三线合一）」； （3）出现分类讨论时，要写清「分两种情况」，并逐一对每种情况检验是否成立； （4）证明题的结尾要用「∴」写出结论，计算题要写「答」。 示例（规范书写）：已知 △ABC 中 AB = AC，AD ⊥ BC 于 D，BD = 3。求 BC。 解：∵ AB = AC，AD ⊥ BC（已知），∴ BD = DC（等腰三角形三线合一）。 又 BD = 3，∴ BC = BD + DC = 3 + 3 = 6。答：BC = 6。 十三、易混概念辨析 易混概念 区别 性质 vs 判定 「等边对等角」是性质（已知边相等推角相等）；「等角对等边」是判定（已知角相等推边相等） 等腰三角形 vs 等边三角形 等腰三角形只需两边相等，等边三角形三边都相等，等边三角形是特殊的等腰三角形 三线合一 vs 任意三角形的高 三线合一只在等腰三角形中成立，且是「顶角平分线、底边中线、底边高」三条重合 有一个角 60° vs 有一个角 60° 的等腰三角形 前者不能判定是等边三角形，必须加上「等腰三角形」这一条件 学科网（北京）股份有限公司 $