精品解析：河北邢台市部分学校2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

河北邢台市部分学校2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则（ ） A. ：， B. ：， C. ：， D. ：， 【答案】D 【解析】 【详解】：，的否定为：，. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角函数和指数函数的值域求解即可. 【详解】由题可得，，所以 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简函数，再利用最小正周期计算公式计算求解. 【详解】因为 ， 所以函数最小正周期为. 4. 已知函数则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况结合指数函数和对数函数单调性求解即可. 【详解】当时，， 因为指数函数在上单调递增，因此，解得， 因为，所以. 当时，， 移项整理得， 因为对数函数在上单调递减，且， 因此， 因为，所以. 综上所述，. 5. 研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)与震级M之间的关系为 (其中λ， μ为常数).已知3级地震所释放的能量为焦耳，4级地震所释放的能量为 焦耳，则5.8级地震所释放的能量约为（ ）(参考数据：，) A. 焦耳 B. 焦耳 C. 焦耳 D. 焦耳 【答案】B 【解析】 【详解】由可知， 依题意，， 解得，，则时，， 则（焦耳）， 即5.8级地震所释放的能量约为焦耳. 6. 已知对任意的实数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造单调奇函数，将原不等式转化为，再结合均值不等式求出的最小值． 【详解】已知，即， 设函数，求导得，故在上单调递增， 又，故是奇函数， 不等式可化为，则， 由单调性可得，即， 所以，当且仅当时等号成立， 结合可得，当且仅当时等号成立， 故的最小值为2． 7. 已知是定义域为的奇函数，满足，且在上单调递减.若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ） A. 56 B. 30 C. 12 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先确定函数是周期为4的周期函数，然后分析函数的单调性，然后确定方程在各区间的实根情况，最后计算所有实根之和. 【详解】已知，可得函数的图象关于直线对称，即. 又是定义域为的奇函数，故，且. 将中的替换为得. 再将上式中的替换为得. 因此函数是周期为4的周期函数. 已知在上单调递减，由奇函数性质可得在上也单调递减， 故在上单调递减. 由关于对称，可得在上单调递增，结合周期为4， 可知在每个长度为2的区间上单调，且相邻区间的单调性相反. 已知方程在上有实数根，设为，由在上单调递减， 可知该区间内仅有1个实根. 由奇函数性质，，故内无实根； 由关于对称，，且，故内有1个实根； 由在上单调递增，故内无实根； 由周期为4，对应，其中对应无实根，对应有1个实根； 同理，对应有1个实根，无实根； 以此类推，区间有1个实根，有1个实根； 区间对应，无实根. 将所有实根相加，. 8. 已知，，，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造函数，求导，分析单调性即可判断与的大小；再构造函数，求导，分析单调性即可判断与的大小；再构造函数，求导，分析单调性即可判断与的大小，进而即可得到答案． 【详解】令，， 则，所以在上单调递减， 又，则，即，所以，即； 令，， 则，所以在上单调递减， 又，则，即，即，即， 令，， 则，所以在上单调递减， 又，则，即，即，即， 所以，即， 综上，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上的平均变化率为3 B. 若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为 C. 幂函数在上是减函数的充要条件是 D. 函数的定义域是 【答案】BC 【解析】 【分析】由平均变化率的定义直接计算可判断A错误，根据弧长公式以及扇形面积公式计算可得B正确，由幂函数定义和其单调性可判断C正确，利用正切函数定义求出函数定义域可得D错误. 【详解】对于A，函数在区间上的平均变化率为，不为3，因此A错误； 对于B，设扇形半径为，由圆心角为，弧长为可得，所以； 则扇形的面积为，即B正确； 对于C，由幂函数定义可知，即，解得或； 又因为该函数在上是减函数，所以， 因此，此时充分性成立； 当时，该幂函数解析式为，满足在上是减函数，因此必要性成立，所以C正确； 对于D，易知函数的定义域需满足， 解得， 即函数的定义域是，即D错误. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个对称中心是 B. 函数的单调递增区间为， C. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 若方程在区间上恰有2个不同的解，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，代入检验即可；B选项，整体法进行求解；C选项，利用伸缩变换和平移变换，得到解析式，结合诱导公式可得C正确；D选项，转化为在上恰有2个不同的解，得到，求出答案 【详解】A选项，由于， ，函数的一个对称中心是，A正确； B选项，令，， 解得，， 故函数的单调递增区间为，，B错误； C选项，函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到 再向右平移个单位长度，得到， 由诱导公式可得， ，C正确； D选项，，即，， ，则， 方程在区间上恰有2个不同的解， 即在上恰有2个不同的解，则， 解得，则的最大值为，D正确 11. 对于给定的实数，，且，定义集合，，，的“长度”均为，则下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集的“长度”为 B. 若集合的“长度”为，则实数为 C. 若且，则集合的“长度”可以为 D. 若，则满足不等式的解集中各集合的“长度”之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】解二次不等式得到解集区间，直接计算区间长度，判断选项A；利用韦达定理和根差公式列方程求解a，结合开口方向判断选项B；利用赋值法验证存在性，判断选项C；通分转化为分式不等式，由韦达定理和零点顺序计算解集总长度，判断选项D． 【详解】解不等式得，解集为， 区间长度为，故A正确； 集合长度为，则抛物线开口向下，即， 设方程的两根为， 则，则， 整理得，解得（舍去）或，故，B错误； 取，满足，且，不等式为， 解集为，此时长度为2，故C正确； ，则， 即， 设分子二次方程两根为，由韦达定理得， ，由开口向上可得零点顺序：， 解集为，长度之和为：，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数.若曲线在处的切线方程为，则________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据导数的几何意义计算求解即可. 【详解】求导可得， 因为曲线在处的切线方程为， 所以，， 所以，. 13. 2026年第20届亚运会（爱知·名古屋亚运会）于9月19日开幕，某小区为了方便居民观看比赛，小区广场大屏幕会滚动直播各类赛事，已知大屏幕下沿离地面米，大屏幕的高度为3米，若某位居民眼睛离地面米，则这位居民在距离大屏幕________米远时，可以获得观看的最佳视野.（最佳视野是指眼睛到屏幕上沿、下沿的视线夹角达到最大） 【答案】2 【解析】 【分析】利用正切函数的差角公式求解. 【详解】 如图所示，，，，则问当取多少时，取得最大值？ 不妨设，，，则，，， 所以，由基本不等式得：， 当且仅当时取等号，此时，， 即：当时，有最大值，此时获得最佳视野. 14. 若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将和代入代数式，则不等式为，移项整理，求出关于二次函数的最小值，得到，解得或恒成立，根据分别对两种情况进行讨论，即可得到的取值范围. 【详解】对固定的，把，看作关于的二次函数， ， 二次项系数，抛物线开口向上，最小值在顶点处， 题目条件：恒成立， 等价于：对任意，的最小值大于， ，，， 得到：或， 即，①；，②， 要求对，①式成立或者②式成立（两式不可能同时成立）， 情况一：不等式①对恒成立， ， 令， 由对勾函数性质：在递减，递增， ，所以， 要对全部成立，则， 情况二：不等式②对恒成立， ， 令， 在区间单调递减， ， 要对全部成立，则， 当时，存在使得，不满足题意. 综上，实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象过点，且. （1）求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）的单调递增区间为，；单调递减区间为;极大值：;极小值： （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）结合题意求得，，再求导研究函数的单调性与极值即可； （2）结合（1）得在区间上的单调性，再结合极值与端点值求解即可. 【小问1详解】 解：对求导得 因为函数的图象过点，且 所以，解得，， 所以， 令，解得， 所以，，与的变化情况如下表： + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以，的单调递增区间为，；单调递减区间为. 极大值： 极小值： 【小问2详解】 解：由（1）知在区间上的单调性的情况为： 函数在单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以，在区间上的最大值为，最小值为. 16. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到偶函数的图象. （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先根据函数的性质求得，再结合诱导公式求解即可； (2)解方程得或，进而结合函数周期性求解即可. 【小问1详解】 解：因为函数的图象的相邻两条对称轴距离为， 所以，函数的半周期，即， 所以，，解得，所以 将函数的图象向右平移个单位得 因为为偶函数，所以，解得 又因为，所以，. 所以， 因为，即， 所以 【小问2详解】 解：由（1）知， 所以，即， 所以，或， 解得或， 因为的周期，在一个周期内，两根之差的绝对值最小为 所以，. 17. 已知函数. （1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （2）若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知条件等价于方程在上有解，然后进行化简和参变分离得到，最后利用基本不等式的性质计算即可. （2）将，，都有恒成立，等价于：对任意，有，即任意满足恒成立，进一步转化为，然后根据单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 在上存在零点，等价于方程在上有解， 根据对数定义化简得，令， 当时，，代入得. 整理后参变分离：，即. 令. 由均值不等式，，当且仅当时取等号，因此的最大值为； 计算区间端点值：. 因此的最小值为. 因此，则. 【小问2详解】 设，则当时，是单调递减函数，因此. 由题意，若，，都有恒成立，等价于： 对任意，有，即任意满足恒成立， 进一步转化为，即. 令，当时，，代入不等式得. 处理左侧不等式，整理得，由于，两边除以得. 令，该函数在区间上单调递增，因此的最大值为. 故，解得. 处理右侧不等式，整理得，由于，两边除以得 . 令，该函数在区间上单调递减，因此的最小值为， 故，解得. 综合两个不等式的结果，的取值范围是. 18. 已知函数. （1）当时，求的零点个数； （2）若不等式恒成立，求的值； （3）在（2）的条件下，求证：. 【答案】（1）1 （2） （3）由（2）知，， 要证，只需证. 设，， 设， 则， 设，， 当时，， 当时， ，，，，则， 则在上是单调递增函数， 当时， ，，，，则， 则在上是单调递减函数， 则在处取最小值，且最小值为， 则在上恒成立，即在上恒成立， 则在上为单调递增函数， 又， 则当时，，即，则在上是单调递减函数； 当时，，即，则在上是单调递增函数； 则在处取最小值，且最小值为， 则在上恒成立，即在上恒成立， 即，故成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用导数法求出函数的单调性，利用单调性得到的最小值，利用单调性和最小值结合零点存在性定理得到结论； （2）由题意得到恒成立，构造函数，由于对一切成立，而，从而得到就是的最小值点，必有，从而得到的值. （3）要证，只需证.通过构造函数结合导数的单调性求最小值进行证明. 【小问1详解】 ，当时， ，定义域为， ，令，得. 当时，，则在上是单调递减函数， 当时，，则在上是单调递增函数， 则在处取最小值，且， 当时，，故； 当时，. 则在上函数从递减到，始终为负，无零点； 在上从负值单调递增到正无穷，函数图象穿过横轴一次. 则有且仅有个零点. 故当时，的零点个数为个. 【小问2详解】 ，不等式恒成立， 则恒成立， 令，. 由于对一切成立，而， 说明就是的最小值点，因此必有 . ， ，解得， 当 时，，. 当时，，则在上是单调递减函数； 当时，，则在上是单调递增函数. 则的最小值，故恒成立. 故. 【小问3详解】 略 19. 设函数在非空数集上的取值集合为，即，如果，那么称函数为上的“子集函数”． （1）分别判断函数，是否为上的“子集函数”，并说明理由； （2）若存在实数，使得函数为上的“子集函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为上的“子集函数”，求证：． 【答案】（1）不是上的“子集函数”， 是上的“子集函数”． 因为是上的增函数， 所以有，即，即， 因为不是的子集，所以不是上的“子集函数”． 因为是上的增函数， 所以有，即，即， 因为，所以是上的“子集函数”． （2） （3）由，则，解得，所以的定义域为， 设，是内任意两个实数，且，则有， 因为，则，且，， 所以，即， 所以，即， 所以在上单调递减，且， 所以的值域为， 由“子集函数”定义可得， 则，即，即，即， 所以， 令，，由，所以， 则，由，即取不到等号， 所以，解得， 又，所以，则， 即，即，，证毕． 【解析】 【分析】（1）根据“子集函数”的定义，结合函数单调性进行判断即可； （2）根据二次函数开口向上，对称轴为，分三段讨论对称轴位置，即可得出实数的取值范围； （3）先根据定义法证明的单调性，从而列出边界不等式，整理得到，再通过换元法，结合基本不等式得到，再转化成指数式，并结合指数函数单调性即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由函数为上的“子集函数”， 令在上的值域为，则， 又是开口向上的二次函数，且对称轴为，则分种情况讨论： ①当时，在上单调递增，则， 由，则需满足，即， 两个不等式相加消去得，解得，结合，得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 记表示中最大的数， 则， 由，则需满足， 因为，，所以， 故存在满足条件，因此均成立； ③当时，在上单调递减，则， 由，则需满足，即， 两个不等式相加消去得，解得，结合，得， 综上所述，实数的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北邢台市部分学校2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则（ ） A. ：， B. ：， C. ：， D. ：， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)与震级M之间的关系为 (其中λ， μ为常数).已知3级地震所释放的能量为焦耳，4级地震所释放的能量为 焦耳，则5.8级地震所释放的能量约为（ ）(参考数据：，) A. 焦耳 B. 焦耳 C. 焦耳 D. 焦耳 6. 已知对任意的实数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义域为的奇函数，满足，且在上单调递减.若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ） A. 56 B. 30 C. 12 D. 2 8. 已知，，，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上的平均变化率为3 B. 若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为 C. 幂函数在上是减函数的充要条件是 D. 函数的定义域是 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个对称中心是 B. 函数的单调递增区间为， C. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 若方程在区间上恰有2个不同的解，则的最大值为 11. 对于给定的实数，，且，定义集合，，，的“长度”均为，则下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集的“长度”为 B. 若集合的“长度”为，则实数为 C. 若且，则集合的“长度”可以为 D. 若，则满足不等式的解集中各集合的“长度”之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数.若曲线在处的切线方程为，则________. 13. 2026年第20届亚运会（爱知·名古屋亚运会）于9月19日开幕，某小区为了方便居民观看比赛，小区广场大屏幕会滚动直播各类赛事，已知大屏幕下沿离地面米，大屏幕的高度为3米，若某位居民眼睛离地面米，则这位居民在距离大屏幕________米远时，可以获得观看的最佳视野.（最佳视野是指眼睛到屏幕上沿、下沿的视线夹角达到最大） 14. 若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象过点，且. （1）求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到偶函数的图象. （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值. 17. 已知函数. （1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （2）若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）当时，求的零点个数； （2）若不等式恒成立，求的值； （3）在（2）的条件下，求证：. 19. 设函数在非空数集上的取值集合为，即，如果，那么称函数为上的“子集函数”． （1）分别判断函数，是否为上的“子集函数”，并说明理由； （2）若存在实数，使得函数为上的“子集函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为上的“子集函数”，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $