精品解析：河北省邯郸市万江高级中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

邯郸市万江高级中学2026-2027学年第一学期第一次月考 高三数学（人教A版）试题 内容与范围：高一、高二全部内容+必修第一册一章一第三章第二节 时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，则中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 2. 设，是两个不同的平面，则“内至少有一条直线与平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题p：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则下列成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，为正实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式 的解集是（    ） A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，，当时，的最小值为，则a的值等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 函数定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是中心对称图形 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 若，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 13. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 14. 若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 17. 函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. （1）证明：在上是增函数； （2）证明：是偶函数； （3）如果，解不等式. 18. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 19. 设二次函数，且的两个实根满足. （1）若函数的图象关于对称，求的解集； （2）若. （i）求证：； （ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邯郸市万江高级中学2026-2027学年第一学期第一次月考 高三数学（人教A版）试题 内容与范围：高一、高二全部内容+必修第一册一章一第三章第二节 时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，则中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，故集合的元素个数为． 2. 设，是两个不同的平面，则“内至少有一条直线与平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由“内至少有一条直线与平行”，可得平面与平面平行或相交，即充分性不成立； 反之：若“”，则“平面内任一条直线与平行”，即必要性成立， 所以“内至少有一条直线与平行”是 “”的必要不充分条件. 3. 已知命题p：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由存在量词命题的否定的规律可知，命题的否定为： 4. 已知，则下列成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件，利用指数函数，对数函数的单调性以及不等式性质，逐一分析即可. 【详解】对，等价于，因为，显然，不等式不成立； 对，因为是增函数，又因为，故，故不等式不成立； 对，因为是增函数，又因为，故，故不等式不成立； 对，等价于，因为，显然，故不等式成立. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的性质，以及利用对数和指数函数的单调性比较大小，属基础题. 5. 已知，为正实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原式可化为：， 因为 ，由基本不等式，当且仅当 ，即 时取等号． 所以原式的最小值为： 6. 不等式 的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】方法一：由，得， 所以，即， 即，所以， 所以不等式的解集是. 方法二： ，得或， 解得或， 所以不等式的解集是. 7. 已知定义在R上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，，当时，的最小值为，则a的值等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】借助函数的奇偶性与周期性，求出参数的值. 【详解】已知函数是偶函数，所以，即函数图像关于对称，即， 当时，，所以， 因为，所以，即， 在区间中，的最小值为，解得. 8. 函数定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数定义域是，所以， 解得，所以的定义域是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】，，，A错误； 为的真子集，故，B错误，D正确；，C正确. 10. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由指数函数的单调性可判断，对于BCD，通过作差法可判断. 【详解】选项A：当时，指数函数 在R上单调递减， 又，所以，故A错误； 选项B：变形得： ， 因为 且 ，所以 ，即 ，B正确； 选项C：作差整理： ， 因为，则，， 可得 ，， 故，即 ，C正确； 选项D：作差整理： ， 因为，得 ，其余项都为正， 故，即 ，D错误. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是中心对称图形 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 若，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：结合函数的对称性及图像平移判断即可. 选项B：结合函数的单调性判断即可. 选项C：结合函数的单调性及余弦函数的性质判断即可. 选项D：结合作差法及基本不等式求解即可. 【详解】因为关于原点对称，所以关于对称，所以的图象是中心对称图形，故A正确； ， 又，均在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 易得在上单调递增，又当时，，所以，所以，所以，故C错误； 由，得，即， 又，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，成立，从而得到答案 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． 13. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 14. 若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为是方程的两个实数根，令，得到有两个不同的正实数根，结合二次函数的图像与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数在上为单调递增函数， 要使得在上的值域为，则满足 ， 所以是方程的两个实数根， 又由，可得， 令，则，则方程有两个不同的正实数根， 则满足 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，得到，，根据并集概念求出答案； （2）先得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 解不等式得，所以， 当时，，所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以. 当时，，解得，此时 成立. 当时，由得， 解得， 综上，实数的取值范围是. 16. （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【解析】 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 17. 函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. （1）证明：在上是增函数； （2）证明：是偶函数； （3）如果，解不等式. 【答案】（1） 设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数； （2） 因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得， 再令，得，从而， 于是有，所以是偶函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数； （2）令，求得，再由，求得，进而得出，即可证明结论； （3）由（2）可得不等式可变为，结合（1）可求得不等式的解集. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于，所以， 于是不等式可化为， 由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 又由（1）可知在上是增函数，所以可得， 解得，所以不等式的解集为． 18. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】（1）7； （2）①36；②. 【解析】 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题. 当且仅当，即时取等号； 【小问2详解】 ①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 19. 设二次函数，且的两个实根满足. （1）若函数的图象关于对称，求的解集； （2）若. （i）求证：； （ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式. 【答案】（1）当时，的解集为； 当时，的解集为； （2）（i）由得，则， 得，则； （ii）. 【解析】 【分析】（1）求出两根，再分类讨论解不等式； （2）（i）根据韦达定理化简； （ii）化简，求出对称轴，分、、三种情况讨论即可. 【小问1详解】 由题意得，则，则， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由，得或. 设， 则 的零点分别为和，对称轴为 ①当时，， 则在上递增，在上递减， 所以； ②当时，， 则在上递减， 则； ③当时，， 则在上递减，在上递增， 则； 综上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $