5.2.2同角三角函数的基本关系作业设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

学科网作业大赛参赛作品 （学科：高中数学 年级：高一 适用教材：人民教育出版社 A 版《普通高中教科书・数学（必修第一册）》，2019 年版） 一.作品基础信息 项目 内容 作品名称 5.2.2同角三角函数的基本关系课时作业设计 学段学科 高中数学 适用年级 高一年级 教材版本 人教A版（2019）必修第一册 对应内容 5.2.2同角三角函数的基本关系 作业类型 课时作业（基础巩固 + 能力提升 + 拓展探究） 作业性质 课时作业 预计时长 基础巩固作业约25分钟（必做）；能力提升作业约20分钟（分层次必/选做）；拓展探究作业15分钟左右 二.设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求： 本作业对应的数学学科核心素养有数学运算、逻辑推理、数学抽象，需达成水平2学业质量标准；能够理解同角三角函数的基本关系，能利用平方关系.商数关系进行简单的化简、求值与恒等式证明. 教材地位： 本节课是人教A版必修第一册第五章三角函数内容，是在任意角的三角函数定义之后，推导得到同一个角正弦、余弦、正切之间的内在联系；是后面三角化简、求值、证明的重要工具，为后续学习三角恒等变换、解三角形奠定基础.核心方法有数形结合、方程思想、分类讨论.基础巩固作业约25分钟（必做）；能力提升作业约20分钟（分层次必/选做）；拓展探究作业15分钟左右，题目形式多样，符合“双减”背景下作业时长与总量的控制要求。题目提供了详细解答，实行学生自评、同伴互评与教师评价相结合，落实 “教 — 学 — 评” 一致性。 教学重难点： 重点：同角三角函数两个基本关系式：，的理解与综合应用； 难点：已知一个三角函数值求其余三角函数值时的符号分类讨论；三角式化简及简单第三角恒等式证明. 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已经学习过任意角三角函数的定义，会求特殊角的三角函数，知道三角函数在各个象限的符号；能够做简单的代数变形. 现有困惑 1.忽略角所在的象限，开平方不会分类讨论符号； 2.商数关系使用忽略限制条件； 3.化简题不会选择合适的变形方向，恒等式证明找不到变形的思路. 差异分析 基础薄弱的学生能直接套用公式，但不会处理带符号、多情况的问题；中等学生可以完成常规的计算化简求值，但是化简证明比较容易出错；学有余力的学生希望学习齐次式等综合题型. 3. 设计意图 本套分层作业依据学情分为基础巩固、能力提升、拓展探究三个层次，面向不同基础的学生，落实数学运算与逻辑推理核心素养，由浅入深训练同角三角函数基本关系的求值、化简与证明，强化象限符号的意识，规范解题步骤，帮助学生突破分类讨论的易错点，兼顾基础落实与思维拓展.分层作业适配不同水平的学生，让在解题过程中养成认真审题的习惯。 三.作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 复述、辨别同角三角函数平方关系、商数关系，注意公式成立的条件与三角函数象限符号判断 数学抽象 正确率、公式的书写、符号的判断 能力运用 B 运用同角三角函数基本关系解决给值求值、三角化简问题，掌握分类讨论方法 数学运算 解题的步骤、分类是否完整、结果的正确性 思维发展 C 能完成简单的三角恒等式证明，掌握齐次式转化技巧，体会方程的思想、等价变形的思想 逻辑推理 证明的过程、推理的步骤、齐次式处理的思路 情感态度 D 养成做题先判断角所在象限的习惯，主动反思符号类错题 数学运算 错题反思，步骤完整性 四.作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题 给值求值 A.B 基础考察平方关系 + 象限定符号 ；要点：第二象限余弦为负 2 选择题 齐次式化简 B 基础齐次式，分子分母同除以cosα ；要点：齐次式弦化切 3 填空题 化简cosαtanα A,B 直接利用商数关系化简 注意 4 填空题 已知，求 A,B 训练分类讨论两个象限情况 ；评价：只写一个答案扣一半分 5 解答题 证明恒等式： C 基础恒等式证明，交叉相乘或者分母有理化 见解析；注意分母不为零条件 6 选择题 已知第三象限，，求 A,B 给正切求值，平方关系+符号判断 ；第三象限正弦负 7 填空题 已知，，求 B,C 平方处理，方程思想，隐含角范围 ；注意结果符号 8 解答题 化简： A,B 开方化简，，去绝对值 ；易错直接去掉绝对值 9 解答题 已知，求 B,C 二次齐次式，除以 ； 10 解答题（选做） 已知，，求 B,C 拓展，平方求乘积，联立方程组求解，判断角范围 ；排除一个解 11 解答题（选做） 求证： C 较难恒等式证明，切化弦 左右两边分别变形证明相等 12 探究性作业（选做） 探究、、三者之间关系，完成推导、写出结论、归纳易错提醒 E 自主探究三角“知一求二”的模型，体会平方转化，归纳符号易错点 见解析；评价要点：要有推导过程，写出关系式 五.作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，公式书写准确，符号分类完整，能标注公式限制条件 少量细节错误，分类讨论偶尔遗漏，公式基本正确 多处公式误用，完全忽略象限符号 20% 能力运用 方法恰当，解题步骤完整，分类讨论完整，计算准确 方法基本正确，少量计算失误，个别题目缺少分类 方法选择不当，大量跳步，符号频繁出错 30% 思维发展 恒等式证明逻辑严谨，齐次式变形思路清晰，选做题可以独立完成 证明思路正确，但步骤简略，选做题部分可以完成 推理逻辑混乱，证明无从下手 30% 情感态度 分层作业全部完成，错题能标注易错点，主动反思符号类错误 态度端正，按分层要求完成作业，书写工整 被动完成，漏题多，书写潦草不看条件 20% 评价说明： 1．学生自评：学生自行核对答案，标记出错题，简要分析出错的原因。 2．生生互评：学生之间互查，交流各个题目的思考和解答过程。 3．教师评价：主要收集学生做题过程中出现的共性错误，便于后面优化改进课堂教学。 六、试题详情 （一）基础巩固题（所有学生必做，25分钟） 1.已知，是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 2.若，则（） A. B. C. D. 3.化简：. 4.已知，则. 5.求证：. （二）能力提升题（中等及以学生上完成，20分钟） 6.已知是第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 7.已知，，则. 8.化简：. 9.已知，求的值. （三）拓展探究题（选做，15分钟） 10.已知，，求. 11.求证：. 12.数学探究任务：、与的关系探究 （1）请利用完全平方公式和同角平方关系，分别对、展开推导，写出三者之间的关系式。 （2）若已知的值，可以直接求出吗？需要注意什么条件？ （3）归纳总结：完成本探究后，请写下至少1条你发现的易错提示。 七、试题答案解析 1.【答案】B 【解析】由同角三角函数的平方关系，得， 为第二象限，，. 2.【答案】B 【解析】分式齐次式，分子分母同除以得：. 3.【答案】 【解析】，. 4.【答案】 【解析】，若第一象限，；若第二象限，. 5.【答案】见解析 【解析】证法1（作差与交叉验证，注意分母不为0：）： 要证， 只需证. 右边左边，等式成立. 证法2：左边分母有理化，分子分母同乘 左边右边. 6.【答案】B 【解析】，代入平方关系：， 因为第三象限，所以 . 7.【答案】 【解析】对两边平方得： ， 因为，所以0， 所以. 8.【答案】 【解析】， 是第三象限角，， 原式. 9.【答案】 【解析】分母补“1”，，构造二次齐次分式： 分子分母同除以： . 10.【答案】 【解析】，两边平方： ， ， 又，故为第一象限角，. 联立方程组：， 解得. 所以. 11.【解析】右边切化弦： 左边，所以等式得证. 12.【解析】（1）推导： 得到关系式：；； （2）不能直接求出唯一的sina-cosa 因为sina-cosa)2 开平方会得到正负两个结果，必须结合角a 的范围，判断sina-cosa的正负，再取舍符号。 （3）参考易错提示（学生写出任意一条合理即可）： ①平方之后会扩大角的范围，求出结果一定要检验是否符合原来角的范围； ②开平方一定要考虑正负，不能直接取正； 1 学科网（北京）股份有限公司 $