5.2.2　同角三角函数的基本关系课时练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练通过“基础落实”与“素能提升”分层设计，以同角三角函数基本关系为核心，构建从单一知识应用到综合问题解决的巩固路径，强化运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础落实|平方关系、商数关系直接应用，含选择、填空、证明|题量占比约60%，如已知cosα求sinα（题1）、化简（题8），夯实概念理解与基本运算| |素能提升|符号判断、方程与三角函数综合，含选择、填空、解答|题量占比约40%，如结合角范围的根号化简（题11）、方程根与三角函数综合（题14-15），发展逻辑推理与模型意识|

5.2.2　同角三角函数的基本关系 一、基础落实 1.已知α是第四象限角,cos α=,则sin α=(　　) A. B.- C. D.- 2.若cos x=-,且<x<π,则tan x+sin x的值是(　　) A.- B.- C. D. 3.已知tan α=-,0<α<π,则sin α+cos α=(　　) A. B. C.- D.- 4.已知tan α=2,则的值为(　　) A.- B. C. D. 5.已知α∈(0,π),sin α+cos α=,则sin α-cos α=(　　) A. B.- C. D.- 6.(多选题)已知θ∈(π,2π),sin θ+cos θ=-,则下列结论正确的是(　　) A.θ∈(,2π) B.cos θ= C.tan θ=- D.sin θ-cos θ=- 7.若α是第四象限角,且tan α=-,则cos α=　　　　　.  8.化简(1-cos α)的结果是　　　　　.  9.求证: (1)2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2; (2)sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β=1. 二、素能提升 10.若β∈[0,2π),且=sin β-cos β,则β的取值范围是(　　) A.[0,) B.[,π] C.[π,] D.[,2π) 11.化简cos α+sin α(π<α<)的结果为(　　) A.-sin α-cos α-2 B.2-sin α-cos α C.sin α-cos α D.cos α-sin α 12.若cos α+2sin α=-,则tan α=　　　　　.  13.若tan α+=3,则sin αcos α=　　　　　,tan2α+=　　　　　　　.  14.已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sin θ和cos θ.求: (1)m的值; (2)的值. 15.设α是第三象限角,问是否存在实数m,使得sin α,cos α是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两个根?若存在,求出实数m;若不存在,请说明理由. 参考答案 一、基础落实 1.B 解析:由已知得sin α=-=-. 2.B 解析:∵cos x=-,且<x<π, ∴sin x=, ∴tan x==-, ∴tan x+sin x=-=-. 3.C 解析:因为tan α=-<0,0<α<π, 所以<α<π, 所以sin α>0,cos α<0. 因为tan α==-, 所以sin α=-cos α. 所以sin2α+cos2α=cos2α+cos2α=cos2α=1, 所以cos α=-, 所以sin α=-×(-)=, 所以sin α+cos α==-. 故选C. 4.B 解析:因为tan α=2,所以. 故选B. 5.A 解析:因为sin α+cos α=, 所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=, 所以2sin αcos α=-, 所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=. 又sin αcos α<0,α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0, 所以sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=. 故选A. 6.ABD 解析:∵sin θ+cos θ=-, ∴(sin θ+cos θ)2=(-)2, 即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=, ∴2sin θcos θ=-<0. 又θ∈(π,2π), ∴sin θ<0,cos θ>0,∴θ∈(,2π), ∴sin θ-cos θ=- =-=-, ∴sin θ=-,cos θ=, ∴tan θ==-. 故选ABD. 7. 解析:因为tan α=-,所以sin2α=3cos2α. 又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=. 又α是第四象限角,所以cos α=. 8.sin α 解析:原式=()(1-cos α)==sin α. 9.证明:(1)左边=2(1-sin α+cos α-sin αcos α)=2+2(cos α-sin α)-2sin αcos α=cos2α-2sin αcos α+sin2α+2(cos α-sin α)+1=(cos α-sin α)2+2(cos α-sin α)+1=(cos α-sin α+1)2=右边,所以原等式成立. (2)左边=sin2α+sin2β(1-sin2α)+cos2αcos2β=sin2α+cos2α(sin2β+cos2β)=sin2α+cos2α=1=右边,所以原等式成立. 二、素能提升 10.B 解析:∵=|sin β|+|cos β|=sin β-cos β,∴sin β≥0且cos β≤0. 又β∈[0,2π),∴β∈[,π].故选B. 11.A 解析:∵π<α<, ∴sin α<0,cos α<0, ∴cos α+sin α=cos α+sin α =cos α+sin α =cos α·+sin α· =-sin α-1-cos α-1 =-sin α-cos α-2. 故选A. 12.2 解析:由cos α+2sin α=-,得cos α=-2sin α-,因为sin2α+cos2α=1, 所以sin2α+(-2sin α-)2=1, 化简得5sin2α+4sin α+4=0, 即(sin α+2)2=0, 解得sin α=-, 所以cos α=-2×(-)-=-, 所以tan α==2. 13.　7 解析:∵tan α+=3, ∴=3, 即=3, ∴sin αcos α=. tan2α+=(tan α+)2-2tan α·=9-2=7. 14.解:(1)∵sin θ,cos θ是方程2x2-(+1)x+m=0的两个根,∴sin θ+cos θ=,sin θcos θ=, ∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=1+m=, ∴m=. (2)=sin θ+cos θ=. 15.解:假设存在实数m满足条件, 由题设得,Δ=36m2-32(2m+1)≥0, ① ∵α是第三象限角, ∴sin α<0,cos α<0, ∴sin α+cos α=-m<0, ② sin αcos α=>0. ③ 又sin2α+cos2α=1, ∴(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1, 即(-m)2-2×=1, 即9m2-8m-20=0, 解得m1=2,m2=-. ∵m1=2不满足条件①,舍去, m2=-不满足条件③,舍去, ∴满足题意的实数m不存在. 7 学科网（北京）股份有限公司 $