福建南平市2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.命题“3x∈R,sinx十cosx>1”的否定是 A.]x∈R,sinx+cosx<1 B.]x∈R,sinx+cosx1 C.Hx∈R,sinx+cosx<1 D.Hx∈R,sinx+cosx≤l 2.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)的部分图象如图所示，则 A.f(0)>f(b)>f(a) B.f(b)>f(0)>f(a) C.f(a)>f(0)>f(b) D.f(0)>f(a)>f(b) 3.已知f(x)是幂函数，则“f(x)=x2”是“f(x)的图象经过点（一1,1）”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.不等式2x十≥1的解集为 A[-1,-》 B[-1,-2] C(-o,-1]U(-2,+∞) D(-oo,-11U[-2,+∞) 5.已知集合A={(x,y)y=x+1},B={(x,y)川x2+y2=3},则A∩B的子集个数为 A.0 B.2 C.4 D.8 6.深海发光生物单次发光释放的光能E(单位：焦耳)与发光强度等级T之间的关系为1gE= 2.7十0.9T,则发光强度为10级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为5级的发 光生物单次发光释放的光能的（参考数据：√/10≈3.16） A.316倍 B.31600倍 C.3160倍 D.316000倍 7.设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且f(x)>f'(x),则当x∈(a,b)时，必有 A.f(a)f(b) B.f(b)>f(a) C.f(b)>f(x) D.f(a)>ef(x) 8.log2x+log2y一log2(x3y+xy3+4)的最大值为 A-号 R-8 C.-2 D.-3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知集合A={x|一1<2x-1<3},若a∈A,a十1氏A,则a的值可以是 B.1 c D.2 【高三数学第1页（共4页）】 10.定义两个正数a,b的运算：a⑧b=2ab a十6b,a田b=a十 2,则 A.⑧b ≤1 a⊕b 2 B.286-a田b a C(任-x)⊕x的最小值为0 D.当a⑧6=2时，a①(2b)的最小值为3+2区 2 11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x十4)为奇函数，f(2)=一2，且对任意x1,x2∈[0， 4],当x1≠x2时，(x1一x2)[f(x1)一f(x2)]>0恒成立，则 A.f(x)的图象关于点(4,0)对称 B.f(18)=-2 C.f(x)在[12,16]上单调递增 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(162)<-4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.曲线y=6x十1一lnx在点(1,7)处的切线方程为▲ 13.已知定义域为[一4,0]的函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)= f(-x)+()广的零点个数为 2x十3，x≤0， 14.已知函数f(x)= 若x2=x1十a≠x1,且f(x1)= 21n x,x>0, f(x2),则a的取值范围是▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x一1)=3x+1. (1)求f(x)的解析式； (2)将f(x)的图象向右平移Q个单位长度后得到奇函数g(x)的图象，求g(a). 【高三数学第2页（共4页）】 16.(15分) 已知集合A={x|2x2-5x-3≤0}，B={x|m<x<2m+7}. (1)当m=1时，求AUB: (2)若(CRA)UB=R,求m的取值范围. 17.(15分) 已知函数f(x)=e2r-2ax. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)的最小值为g(a),求g(a)的最大值. 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知函数f(x)=(log2√x-2)(2alog2x+2) (1)若a=0,求f(x)在[1,2]上的值域： (2)若fx)≤0对x∈[，16]恒成立，求a的取值范围， (3)讨论f(x)在[2，十∞)上的零点个数 19.(17分) 已知函数f(x)=2a.x3-3a.x2-6e'(x-2). (1)当a=0时，证明：f(x)≤6e (2)已知f(x)有三个极值点，记为x1,x2,x3 (i)求a的取值范围； (i)证明：(x1十x2十x3-3)(x1x2x3-1)<0. 【高三数学第4页（共4页）】高三数学参考答案 1.D存在量词命题的否定是全称量词命题. 2.C由图可知f(x)在[a,b]上单调递减，所以f(a)>f(0)>f(b). 3.A设f(x)=x“,若f(一1)=(-1)°=1，则a可以为偶数，所以“f(x)=x2”是“f(x)的图 象经过点（一1,1）”的充分不必要条件 4.A由。1，得元十0，则十得1≤x<一2，所以不等式27十1 2x+1≠0， ≥1的解集为[-1，-2)】： 5.C由点(0,0)到直线y=x十1的距离d=二<3可知，直线y=x十1与圆x2+y2=3有两 √2 个交点，则A∩B的元素个数为2，故A∩B的子集个数为4. 6.B设发光强度为10级的深海发光生物单次发光释放的光能为E1,发光强度为5级的深海 E一 发光生物单次发光释放的光能为E则gE一1gE0.9X10-5)=4.5,则方 1045=104X100.5≈31600. 7.D令g)=f2则gx)=1f.因为f)>x)所以gx)<0,g e 是减函数，则当x∈(a,b)时，g(a)>g(x)>g(b),则f(a)>e-xf(x),f(b)<e-rf(x). 8.By0.log:x log:y -loga ('y+zy4)-log xy log2 x2+y2+4 -(+y+)因为r+y+>2y+≥28=4，当且 xy 仅当x=y=2时：等号成立所以1g(x+y+)≥og4=1og2= 2 所以-1g(+y+号)≤-号故所求最大值为- 5 0<a<2, 9.BCA={x|-1<2x-1<3}={x|0<x<2.因为a∈A,a+14A,所以 解得1 a+1>2, ≤a<2.故选BC. 10.AD 62ab 2 a田6a+6‘a+b-(a十b).因为a>0,b>0,所以(a十b)2≥4ab>0,当且仅当a 4ab 2 =6时，等号成立，则，ab ab 1 a+b衣红即光，A正确.®1⊕6型 【高三数学·参考答案第1页（共5页）】 不正)用 x2>0, 2(x-）2C不正确，由a③%=2，可得，。=1，则日+1则a®(20)=20 1 2 =(日+)a+26)=(3+0+)≥3+2.当且仅当a=1+2h=2时，等 2 2 号成立，D正确. 11.ABD由f(x十4)为奇函数，得f(x+4)=-f(-x+4),得f(x+4)+f(-x十4)=0，所 以f(x)的图象关于点(4,0)对称，A正确.由f(x)是偶函数，得f(x+4)=f(一x一4)，则 f(-x-4)=-f(-x+4),得f(x-4)=-f(x+4),得f(x+4)=-f(x+12),所以 f(x一4)=f(x十12)，所以f(x)的周期为16，f(18)=f(2)=一2，B正确.由题意得f(x) 在[0,4幻上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在[一4,0]上单调递减.又f(x)的周 期为16，所以f(x)在[12,16]上单调递减，C错误.易得f(1)+f(2)+f(3)+…+f(16) =0,因为f(x)的周期为16，所以f(1)+f(2)+f(3)+…十f(162)=10[f(1)十f(2)+ f(3)+…+f(16)]+f(1)+f(2)=f(1)+f(2)<2f(2)=一4，D正确 12.y=5x十2因为y=6-,所以y'1=1=5,则曲线y=6x十1-1nx在点(1,7)处的切线 方程为y-7=5(x-1),即y=5.x+2. 13.3令g(x)=0,得-f(-x)=(2）广，函数h(x)=-f(-x)的图 象与f(x)的图象关于原点对称.如图，易得h(x)的图象与函数y =(2)广的图象有3个公共点，所以g(x)的零点个数为3. 14.(-o,-]U[号，+∞)当x<0时，f(x)为增函数，当x>0 时，f(x)也为增函数.因为x2=x1十a≠x1,所以a≠0，x2一x1=a. 若a>0,则x2>x1,因为f(x1)=f(x2),所以x1≤0，x2>0. 作出f(x)的大致图象，如图所示，设A(x1,y1),B(x2y2)(x1≤0< ,直线AB的方程为y=4≤3，则z1-号，=e,AB1 x:-1=e-23.令gu)=e-≤3，则g')= 2 2,当1<0时，g'()<0,当0<1≤3时，g'()>0,则g(t)在(-∞，0)上单调递减，在(0,3] 上单调递增，所以g)=g0)=5则。≥》 若a<0,则：<1同理可得a<一 【高三数学·参考答案第2页（共5页）】 综上a的取值范围是(-0，-]U[号+)， 15.解：(1)（方法一）因为f(x-1)=3x十1=3(x-1)十4，…3分 所以f(x)=3x十4. …6分 (方法二)令t=x一1，则x=t十1，… …2分 得f(x-1)=f(t)=3(t十1)十1=3t十4，…5分 所以f(x)=3x十4.… …6分 (2)由题意得g(x)=3(c-子a)+4=3x十4-a.… …9分 因为g(x)是奇函数，所以g(一x)=一3x十4一a=一g(x)=一3x-4十a,得a=4.… 11分 故g(x)=3x,g(4)=3X4=12.…13分 [备注]还可以这样求a:因为g(x)是奇函数，所以g(0)=4-a=0,得a=4. 16.解：(1)由2x2-5x-3=(2x十1)(x-3)≤0，得-2≤x≤3，…3分 得A={x-<x≤3. … …4分 当m=1时，B={x1<x<9,所以AUB={x-2<<9。 …6分 (2)由1)得A={xx<-2或x>3. 8分 当B=必时，(CRA)UB≠R. …9分 m<2m+7, 1 当B≠时，m<-2· …12分 (2m+7>3, 解得一2<m<-2故m的取值范围是(-2，-2)】 15分 17.解：(1)由题意得f(x)的定义域为R,f'(x)=2e2-2a. …1分 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在R上单调递增.…3分 当a>0时，令f(x)>0,得x>2na,令f(x)<0,得x<2na,…5分 则f(x)在(2na,十o∞)上单调递增，在(-o,na)上单调递减。 …7分 (2)当a≤0时，f(x)在R上单调递增，f(x)没有最小值. ……8分 当a>0时，g(a)=f(x)mn=f(2lna）=a-alna.… 10分 g(a)=-lna,令g'(a)>0,得0<a<1,令g'(a)<0,得a>1,…12分 则g(a)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减.…14分 【高三数学·参考答案第3页（共5页）】 故g(a)的最大值为g(1)=1.…15分 18.解：(1)当a=0时，易得f(x)=log2x一4是增函数，…1分 所以f(x)m=f(1)=-4,f(x)nx=f(2)=-3,… ……3分 故f(x)在[1,2]上的值域为[一4，一3].…4分 (2)f(x)=(logzz-2)(2alog:r+2)=(log2x-4)(alog:x+D). 令1=1ogx,由x∈[}，16]，得1[-2,4，得1-4∈[-6.0].…5分 由f(x)≤0，得(t-4)(at十1)≤0，得at十1≥0.…7分 设函数g)=a1+1,1[-2,4],要使ge)≥0恒成立，则g（一2)=-2a+1>0, g(4)=4a+1≥0， …9分 得-长<，即a的取值范围为[-子，] …10分 (3)令m=log2x,由x∈[2，十o∞)，得m∈[1，+∞)，设函数h(m)=(m-4)(am+1),则 f(x)在[2，十o∞)上的零点个数等于h(m)在[1，十o∞)上的零点个数.…11分 当a≥0时，am十1>0，令h(m)=0,得m=4,所以h(m)在[1，+∞)上的零点个数为1. …12分 当a<0时，令h(m)=0,得m=4或m=- 13分 a ①当-1，即a<-1时，h(m)在[1，十o)上的零点个数为1.…14分 ②当一=4，即a=一时，hm)在[1，十o)上的零点个数为1.…15分 ③当-1且-≠4，即-1<a<0且a≠-}时，h(m)在[1，+)上的零点个数为2 …16分 综上，当a<-1或a=-或a≥0时，f(x)在[2，+∞)上的零点个数为1： 当-1≤a<0且a≠-时，f(.x)在[2，十∞)上的零点个数为2.…17分 19.(1)证明：当a=0时，f(x)=-6e(x-2),则f'(x)=-6(x-1)e.…1分 令f'(x)<0,得x>1,f(x)在(1，十∞)上单调递减，令f'(x)>0,得x<1,f(x)在(-∞， 1)上单调递增，…2分 所以f(x)≤f(1)=6e,即f(x)≤6e.… …3分 (2)(i)解：由f'(x)=6ax2-6ax-6e(x-1)=6(x-1)(ax-e)=0,得x=1或ax= e,… …5分 因为f(x)有三个极值点，所以f'(x)有三个异号零点， 所以关于x的方程a.x=e有两个不等于1的解.… …6分 【高三数学·参考答案第4页（共5页）】 易知x=0不是方程ax=e的解，设g()=则g'(x)=a-DC 令g'(x)<0,得x<0或0<x<1,g(x)在(-∞，0)，(0,1)上单调递减，令g'(x)>0,得x >1,g(x)在(1，十0∞)上单调递增.…7分 当x>0时，g(x)m=g(1)=e,若x0,则g(x)→十∞，若x→十∞，则g(x)→十∞.… …8分 当x<0时，g(x)<0,若x→一∞，则g(x)→0，若x→0，则g(x)→一∞.…9分 所以a>e,即a的取值范围是(e,十∞).…10分 (i)证明：不妨设x1<x2<x3. 由(i)知，当a>e时，f(x)有三个极值点，且1为其中一个极值点，则0<x1<x2=1<x3, …11分 且a.x1=e1,a.x3=e3,等式两边取对数并整理得，x1一lnx1=lna,x3一lnx3=lna. 设h(x)=x一lnx,则h(x1)=h(x3)=lna,…12分 则'(x)=1一1=二1，则h(x)在(0,1)上单调递减，在1，十)上单调递增， 先证x1十x3>2,即证x3>2-x1,因为2-x1>1,且h(x)在(1，+∞)上单调递增，所以只 需证h(x3)>h(2一x1),即证h(x1)>h(2-x1).…13分 令F(x)=h(x)-h(2-x),0<x<1, 则F'(x)=h'(x)+h'(2-x)=x-1+1-x=-2(x-1)2 2-xx(2-)<0, 则F(x)在(0,1)上单调递减，所以F(x)>F(1)=0,则h(x)>h(2-x),则x1十x3>2,则 x1十x2十-3>0.…14分 再证x1<1,即证<，因为0<名<1，且人(x)在(0,1)上单调递减，所以只需证 ha)>h(),即证h(x,)>h(): …15分 令cx)=h)-h(3）x>1,则G)=x)+b'()=+与=() >0,则G(x)在(1，十∞)上单调递增，所以G(x)>G(1)=0,则h(x)>h(),则x1x< 1,所以x1x2x3<1.… 16分 故(x1十x2十x3-3)(x1x2x3-1)<0. …17分 【高三数学·参考答案第5页（共5页）】