祖冲之与圆周率专题训练--2026-2027学年统编版七年级历史上册

统编版·人教最新版《中国历史》七年级上册（2026年秋） 七年级上册祖冲之与圆周率 专题训练 专题复习　贯通第四单元 （本卷共 14 小题，满分 100 分，建议用时 45 分钟） 一、方法指导 圆周率，是圆的周长与直径之比，为一个固定不变的数。我国古代很早便涉及这一数值，早期多用「周三径一」之法，即以为圆周三倍于直径，这一近似过于粗略，用于实测与工程误差甚大。随着天文历法与营造、计量之学的发展，人们愈发需要更精确的圆周率。自汉以来，不少学者致力于此，至三国两晋，推算之法渐精。及至南朝，江南地区虽处政权更迭之世，然相对北方略为安定，士人得以潜心算学，加上汉代以来数学典籍的累积与注疏之风的盛行，为一位大数学家的出现准备了条件。祖冲之便是在这样的学术脉络中，把圆周率的推算推到了前所未有的精度。 在祖冲之之前，最杰出的推算来自三国时的刘徽。刘徽注《九章算术》，创「割圆术」：从圆内接正六边形起，不断倍增边数，使多边形渐与圆周相合，所谓「割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣」。他算到圆内接正一百九十二边形，得出圆周率约为三点一四一六，已相当精确。刘徽之法，是用有限的多边形去逼近无限的圆周，其思路与现代极限思想相通。然而要计算到更精确的小数位，意味着要做极其繁重的开方与乘除运算，稍有不慎便谬以千里。刘徽的成就指明了道路，也留下了继续向前的巨大计算量。祖冲之所承的，正是这一套割圆之法，而他把它推到了人力笔算所能达到的极致。 祖冲之（公元四二九年至五〇〇年），字文远，范阳遒人，世居江南，历宋、齐两朝。他沿刘徽割圆术，将圆内接正多边形的边数一再倍增，一直算到两万四千五百七十六边形，求得圆周率在三点一四一五九二六与三点一四一五九二七之间，即以今日写法，精确到小数点后第七位。这一成果，直到近千年以后才被中亚与欧洲的学者超越。祖冲之还给出圆周率的分数近似：约率为七分之二十二（约三点一四），密率为一百一十三分之三百五十五（约三点一四一五九二九），其中密率这一组分数，以极简之数逼近圆周率的精度极高，被视为古代分数近似的巅峰。一家之内，既得小数之确，又得分数之便，足见其功力之深。 祖冲之的本领不只在算学。他通晓天文历法，认为当时通行的历法不够精密，遂撰《大明历》，首次把岁差引入历法推算，使节气的测定更合天象；又改进闰法，提出三百九十一年设一百四十四个闰月，比旧法更准。在机械制作上，他亦颇有巧思：曾重造指南车，使车行而木人手指常指南；又造水碓磨，借水力舂米磨粉；还造「千里船」，据载日行百余里。其子祖暅之亦精算学，父子一同测算出球体体积的公式，即「幂势既同，则积不容异」的祖暅原理，与西方后来所说的同原理相通。可见祖氏一门，是算、历、机三艺兼通，而非只攻一端。 论祖冲之之学，当见其三层价值。其一在精度：把圆周率算到第七位小数，是当时世界的最高水平，代表着笔算时代推算的极限，其密率更是数百年间无人能及的佳构。其二在方法：他所依的割圆术，是把「无限」化为「有限」、以「多」逼「圆」的思路，与后世数学的极限、积分思想暗合，说明我国古代算学不仅有实用之算，也有精微之理。其三在精神：在政权频更、世务扰攘的南朝，他仍能淡泊名利、穷年累月地做海量运算，这种一丝不苟、追求精密的态度，正是科学得以进步的命脉。局限亦须明言：其著作《缀术》因过于深奥，唐以后渐失传；其历法算学多服务于天文与朝廷典礼，与百姓日用尚有距离。合而观之：祖冲之是我国古代算学的一座高峰，其名与圆周率同垂不朽。 二、单项选择（10 小题，每题 3 分，满 30 分） 1．圆周率是指 A．圆的半径与直径的比值 B．圆的面积与周长的比值 C．圆的周长与直径的比值 D．正方形的边长与对角线的比值 2．三国时创立割圆术、为祖冲之奠定基础的数学家是 A．刘徽 B．张衡 C．华佗 D．蔡伦 3．祖冲之将圆周率精确到小数点后第几位 A．第一位 B．第三位 C．第七位 D．第十位 4．祖冲之给出的圆周率分数近似中，被称为「密率」的是 A．一百一十三分之三百五十五 B．七分之二十二 C．十分之三 D．二十五分之八 5．祖冲之之子祖暅之在几何上的贡献是 A．发明地动仪 B．提出球体体积的祖暅原理（幂势既同，则积不容异） C．撰写《伤寒杂病论》 D．编制《九章算术》 6．祖冲之在历法上的贡献是 A．制定太初历 B．编制授时历 C．创制浑天仪 D．撰《大明历》，首次把岁差引入历法 7．下列各项中，属于祖冲之机械制造成就的是 A．发明造纸术 B．重造指南车、造水碓磨与千里船 C．改进活字印刷 D．铸造司母戊鼎 8．刘徽割圆术的基本思路是 A．直接用周三径一计算 B．以方田之术测圆 C．用算筹摆出圆周 D．用圆内接正多边形边数倍增来逼近圆周 9．祖冲之的圆周率成果领先世界大约 A．近千年 B．几十年 C．数年 D．三个月 10．关于祖冲之《缀术》的命运，正确的是 A．在宋代被重新发现并补全 B．至今完整保存在敦煌卷子中 C．因过于深奥，唐以后渐失传 D．被收入《永乐大典》而完好无缺 三、材料解析题（共 4 小题，第 11 题 16 分，第 12—14 题各 18 分，共 70 分） 第11题　阅读下列材料，结合所学内容回答。 　　材料一　刘徽《九章算术注》曰：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。徽割圆从六觚（六边形）开始，倍增边数，算至正一百九十二觚，得圆周率约三点一四一六。 　　材料二　《隋书》载：祖冲之更开密法，以圆率三乘（算）至正二万四千五百七十六边形，得数在三点一四一五九二六与三点一四一五九二七之间；又设约率七分之二十二、密率一百一十三分之三百五十五。 　　（1）根据材料一，说明刘徽割圆术的基本思路及其所得圆周率。 　　（2）根据材料二，指出祖冲之在圆周率上取得了哪些突破。 　　（3）综合上述材料，谈谈从刘徽到祖冲之体现了怎样的治学精神。 第12题　阅读下列材料，结合所学内容回答。 　　材料三　祖冲之《驳议》曰：今之历法，冬至每岁微差，积久则节气渐错。冲之以为，当依岁差之法，更立新历，使日月之躔、寒暑之候，各得其正。 　　材料四　《南齐书》载：冲之又造指南车，圆转不穷，而司方如一；又造水碓磨，借水之力以舂且磨；又作千里船，于新亭江试之，日行百余里。 　　（1）根据材料三，指出祖冲之认为旧历法有何弊病，他提出了什么办法。 　　（2）根据材料四，列举祖冲之在机械制造上的三项成就。 　　（3）综合上述材料，评价祖冲之作为科学家的特点。 第13题　阅读下列材料，结合所学内容回答。 　　材料五　唐人论算学曰：国子监立算学，以《九章》《缀术》等十部算经为业。然《缀术》深奥，学者多畏，传习者稀，后世渐亡其书。 　　材料六　今人考古发现：祖暅之承父法，以「幂势既同，则积不容异」求球体体积，其理与后世所称同原理相合，足证我国古代几何之高。 　　（1）根据材料五，说明《缀术》在唐代的地位及其后来的命运。 　　（2）根据材料六，指出祖暅之在几何上的贡献及其意义。 　　（3）综合上述材料，谈谈对待古代科技遗产应有的态度。 参考答案与评分说明 二、单项选择题 　　第1题 C；第2题 A；第3题 C；第4题 A；第5题 B；第6题 D；第7题 B；第8题 D；第9题 A；第10题 C 三、材料解析题 第11题 　　（1）思路与结果可分两层看。思路层：材料一所说「割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣」说明，刘徽的办法是不断把圆的内接多边形边数加倍，每割一次，多边形就更贴近圆周一圈，所缺的面积就更小；到多到不能再分时，多边形便与圆合成一体，误差趋近于无。这是一种以「多」逼「圆」、化无限为有限的妙想。结果层：所说「从六觚开始，倍增边数，算至正一百九十二觚」说明，他从正六边形起，每一次边数乘二，一直算到一百九十二边；所说「得圆周率约三点一四一六」说明，这一长串繁重运算的终点，是一个精确到小数点后三位的数值。两层合起来，刘徽既给了方法，又给了结果，其法之要在于「逼」字——用一步步的细分去逼近那个不可直接测量的圆。 　　（2）突破可从小数与分数两端说。小数端：材料二所说「算至正二万四千五百七十六边形，得数在三点一四一五九二六与三点一四一五九二七之间」说明，祖冲之把边数推向两万四千余边，把圆周率卡在第七位小数之内，精度远迈刘徽的第三位。这是笔算时代惊人的工作量。分数端：所说「设约率七分之二十二、密率一百一十三分之三百五十五」说明，他给出了两组分数近似。约率七分之二十二便于日常估算，密率一百一十三分之三百五十五则以极简之数逼近到第六位小数，是分数近似的登峰造极之作。两端合看，祖冲之既把小数推到当时世界的顶点，又把分数用到最简最美，一人而兼精确与便利，故其突破非止一端，而是小数、分数双峰并峙。 　　（3）精神可从承、韧、精三字看。承：材料二所谓「更开密法」，一「更」字点明祖冲之是在刘徽割圆术上的推进，而非另起炉灶；材料一刘徽之法正是他所承之基，说明学问贵在接续前人、拾级而上。韧：从六觚到一百九十二觚，再到两万四千余觚，边数每增一倍，开方乘除之繁便倍增，所需耐心与无误之难可想而知；能把如此海量的笔算一气做到底，靠的是穷年累月的坚韧。精：无论「三点一四一五九二六」的锱铢必较，还是密率取数之巧，都透着对精密的执着。综合而言，从刘徽到祖冲之，是一条「前人开路、后人致远」的治学之路：有方法之传，有岁月之耗，有毫厘之求。这种接力与求精的精神，正是我国古代算学虽无今日器械、却仍能攀上高峰的根由。 第12题 　　（1）弊病与办法可分说。弊病：材料三所说「冬至每岁微差，积久则节气渐错」说明，旧历法把冬至点当作固定不动，其实太阳的位置每年都有极微小的偏移（即岁差），一年差一点，年深日久，节气与天象便对不上，历法也就失准了。这是「积久」二字之患——小差日积，终成大病。办法：所说「当依岁差之法，更立新历」说明，祖冲之主张把岁差纳入历法推算，重订一部新历（即《大明历》），使「日月之躔、寒暑之候，各得其正」，也就是让历法重新贴合真实的天象循环。要之，他看出了旧法「不变」与天象「微动」之间的矛盾，而用「引岁差」这一招来化解，体现了不从成说、唯天象是据的科学态度。 　　（2）三项成就可从材料三、四逐项数来。其一是指南车：材料四所说「造指南车，圆转不穷，而司方如一」说明，他重制的指南车无论怎么转弯，木人所指始终朝南，是一具巧妙的定向机械。其二是水碓磨：所说「造水碓磨，借水之力以舂且磨」说明，他利用水力同时完成舂米与磨粉，是实用的水力机械。其三是千里船：所说「作千里船，于新亭江试之，日行百余里」说明，他造的船在江中试航，一天能走百余里，速度可观。三项之中，一者关乎辨向，二者关乎民生，三者关乎舟楫，足见其巧思不局限于书斋算筹，而能落到器物之用。材料四以「造」「作」等字，正写出这位科学家动手制作的实绩。 　　（3）特点宜从通、疑、用三字看。通：材料三是历、三是算，材料四是机，三艺兼通，说明他不是只守一经的学究，而是能把天文、数学、机械打通来做，这是大科学家的气象。疑：材料三不满旧历「每岁微差」之积弊，敢于立新说，说明他不盲从成法，肯以实测校旧说，此乃科学最可贵之处。用：材料四的指南车、水碓磨、千里船，皆可见诸实用，说明他的学问不徒为纸上之精，而能成器物之利。综合而言，祖冲之的特点在「以算为本、以天为据、以器为用」：本于算学之精，据于天象之实，用于机械之巧。也正因如此，他才能既算出世界领先的圆周率，又订出更准的历法、造出灵巧的器具，成为我国科学史上难得的通才。 第13题 　　（1）地位与命运须分说。地位：材料五所说「国子监立算学，以《九章》《缀术》等十部算经为业」说明，唐代官学把《缀术》列为十部算经之一，是钦定的算学课本，地位甚高，非私门杂书可比。命运：所说「《缀术》深奥，学者多畏，传习者稀」说明，正因其过于精深，肯学、能学的人越来越少；所说「后世渐亡其书」说明，传习既稀，钞本日少，到后来竟至失传。一高一低之间，恰成反差：它被列为官学正经，却因难懂而无人能传，终致亡佚。材料五以「畏」「稀」「亡」三字递降，写出一部奇书从尊崇到湮灭的悲剧，也提醒我们：学问再高，若不能通俗相传，亦难逃失坠。 　　（2）贡献与意义可分两层。贡献：材料六所说「祖暅之承父法，以『幂势既同，则积不容异』求球体体积」说明，他继承了祖冲之的方法，用「两个立体若在等高处截面积恒相等，则体积相等」这一原理来推算球体积，这便是有名的祖暅原理。意义：所说「其理与后世所称同原理相合」说明，西方直到很久以后才有人提出相同的原理，而我国祖氏父子早已先得此理。这证明我国古代几何并非只重算法实用，也有「以截面论体积」的精微之理，其水平足以与后世相通。材料六用「足证」二字，正点出这一发现的世界性意义——它说明中国古人也能抽象出普适的几何定理，而非仅会算账造物。 　　（3）态度可从珍、传、用三面看。珍：材料五《缀术》虽亡，其曾入十部算经，足见价值；材料六祖暅原理与后世相通，更证我国古代科技自有高峰，故对先人遗产当存珍爱、整理之心，不可因年代远而轻之。传：材料五「学者多畏，传习者稀，后世渐亡」的教训说明，再好的学问若只束之高阁、不事普及，终将湮灭；故对待遗产，既要保护原典，也要用今人能懂的语言加以阐释流传。用：材料六之理可启今日教学，说明古法仍有活用的价值。综合而言，正确的态度是：以考古与文献并重去发掘之，以通俗与严谨并重去传承之，以古今相通的眼光去发扬之。材料五的亡与材料六的证，一反一正，正好教我们既要惜其易失，也要信其有光。 复习备考提示 ·　圆周率乃圆周长与直径之比；古初用「周三径一」过于粗略，难以满足天文、营造之需。 ·　三国刘徽创割圆术，算到正一百九十二边形得约三点一四一六，为祖冲之指明道路。 ·　祖冲之算得圆周率在三点一四一五九二六与三点一四一五九二七之间，精确到小数点后第七位，并给出约率与密率。 ·　祖冲之撰《大明历》首引岁差，又造指南车、水碓磨、千里船；其子祖暅之提出球体体积之祖暅原理。 学科网（北京）股份有限公司 $