精品解析：四川省南充市九师联盟2026-2027学年高三上学期10月学业评估联考数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算求解. 【详解】. 3. 已知平面向量、不共线，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为平面向量、不共线，， 因为，所以存在，使得，即， 所以，解得，． 4. 已知抛物线C：的焦点为，准线为，若点在上，则到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为点在C上， 所以，解得， 所以F到直线l的距离为2． 5. 2026年8月22日~26日，第二届世界人形机器人运动会在国家速滑馆“冰丝带”举行，某机器人运动队有4名操作员和4名人形机器人（每名操作员固定控制1名人形机器人），赛后此机器人运动队排成一排拍照留念，则每名操作员都与其控制的人形机器人站在一起的排法共有（ ） A. 24种 B. 120种 C. 384种 D. 786种 【答案】C 【解析】 【详解】先将每名操作员与其控制的人形机器人捆绑，然后进行全排列， 所以每名操作员都与其控制的人形机器人站在一起的排法共有种． 6. 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，将射线绕着原点按逆时针方向旋转角得到射线，若射线经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件根据三角函数定义可得，，利用两角差正切公式求结论. 【详解】因为，， 所以． 7. 近年来，新能源汽车特别是电动汽车销量快速增长，充电基础设施仍存在布局不够完善、结构不够合理、服务不够均衡、运营不够规范等问题．为进一步构建高质量充电基础设施体系，某市计划在2026年新建设3万个新能源汽车充电桩，后面每年新建设的充电桩数量比上一年增加25%，按照这样的发展趋势，若从2026年起，到年，该市新建设的充电桩数量之和在42万个与48万个之间（含42万个和48万个），则（ ） （参考数据：，） A. 2031 B. 2032 C. 2033 D. 2034 【答案】B 【解析】 【分析】从2026年起，每年新建设的充电桩数量构成数列，则数列是首项为3，公比为1.25的等比数列，利用等比数列的前项和公式可得，结合对数运算求解即可. 【详解】从2026年起，每年新建设的充电桩数量构成数列（单位：万个）， 则数列是首项为3，公比为1.25的等比数列， 设数列的前n项和为，则， 令，则， 即，所以， ， ，因为，所以， 所以从2026年起，到2032年，该市新建设的充电桩数量之和在42万个与48万个之间，即． 8. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由及正弦定理， 得，即， 由余弦定理，得， 即，即， 由正弦定理，得， 又， 即， 所以． 因为，，所以，或，解得或（舍）， 因为，，，所以，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，是上一点，且，则（ ） A. 的短轴长为4 B. 的离心率为 C. 的周长为 D. 的面积为2 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，设椭圆E的长轴长，短轴长，焦距分别是2a，2b，2c， 由E：，得，， 所以，，， 所以E的短轴长为4，故A正确； 对于B，离心率，故B错误； 对于C， 由椭圆的定义，得， 又， 所以的周长为，故C正确； 对于D， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 的面积为，故D错误. 10. 已知函数，且存在，，使得，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上的值域为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先用降幂公式、二倍角公式与辅助角公式把 化为正弦型函数，再逐项判断：A 看最小正周期，B 由 的范围求相位的范围，C、D 利用 的两解关于直线 对称. 【详解】. 对于 A， 的最小正周期 ，A 错误. 对于 B，当 时，. 因为 ，，，所以 在 上的值域为 ，B 正确. 对于 C，令 ，当 时，. 的图象在区间 内关于直线 对称，方程 恰有两解 ，，且 . 又 ，，所以 ，解得 ，C 正确. 对于 D，由 得 ，结合 与 知 . 此时 ，又 ，所以 ，D 正确. 11. 已知函数，的定义域均为，且，．若直线是图象的一条对称轴，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称 C. 4是的一个周期 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据题意条件相互转换求得函数的周期，再利用周期，对称的性质逐项求解即可. 【详解】对于C选项，由得， 代入得， 又因为的图像关于直线对称，则，于是， 令，得到即 可得，所以的周期为4. 从而的周期也为4. 对于B选项，由，令换为，得， 结合对称轴得， 于是，所以图像关于对称. 对于D选项，由，及得， 由对称性且得，于是. 因此一个周期内的和为， 又，所以. 对于A选项，，， 若关于对称，则，矛盾. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆锥的高为3，母线长为4，则该圆锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为圆锥的高为3，母线长为4， 所以圆锥的底面圆半径为， 该圆锥的体积为． 13. 已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先对恒成立不等式进行参变分离，变形为在上恒成立，转化为求函数在区间上的最大值，只要大于等于这个最大值即可. 【详解】由不等式对恒成立，得对恒成立， 令，，则， 令，，则，恒成立， 所以在上单调递减， 当时，，即，所以在上单调递增， 当时，，即，所以在上单调递减. 所以， 因此，即的取值范围是． 14. 已知，，都是正数，且随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】使用分布列的性质得出及的范围，再使用基本不等式求解. 【详解】由随机变量X的分布列的性质及，得，，所以，， 又a，b，c都是正数，所以， ， ，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市为了解本市旅游服务情况，在游客中随机抽取500名游客进行调研，将得到的评分（满分100分，60分及60分以上为及格）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）从这500名游客中随机抽取1人，求此游客的评分不低于80分的概率； （2）该市为了改善旅游消费体验、提升旅游市场服务质量，采取专项整治行动．为了解专项整治行动的效果，在专项整治行动后采取同样的调研方法，得到的数据和列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 500 专项整治行动后 100 500 合计 1000 补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，试问：评分是否及格与专项整治行动有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）0.3 （2） 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 200 300 500 专项整治行动后 100 400 500 合计 300 700 1000 有关． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图先求出值，进而求得游客的评分不低于80分的概率. （2）根据独立性检验原理先计算出，进而得出结论. 【小问1详解】 由题意，得，解得． 因为，， 所以从这500名游客中随机抽取1人，则此游客的评分不低于80分的概率为． 【小问2详解】 列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 200 300 500 专项整治行动后 100 400 500 合计 300 700 1000 统计假设：评分是否及格与专项整治行动无关． 由题意得， 由查表可得， 因为，所以统计假设不成立， 根据小概率值的独立性检验，可以认为评分是否及格与专项整治行动有关． 16. 在各项都是正数的数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，所以． 所以． 因为，所以，． 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式因式分解，两边约去正数，构造新数列求通项； （2）对进行裂项，利用裂项相消法，求出前n项和，再利用放缩证明不等式. 【小问1详解】 由， 得， 又，所以． 又，所以数列是首项为6，公差为4的等差数列． 所以，即． 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． （1）证明：平面； （2）是棱上一点，若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明：因为，所以，． 因为四边形ABCD是菱形，所以． 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，，，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理逆定理可得，再根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，分别表示出平面与平面的法向量，设，再根据两平面所成角的正弦值为建立等量关系，求出的值即可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记，过点作，则平面， 因为平面，所以，， 即，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示． 设，因为底面是菱形，，所以，， ，，，，． 设，则，即． ，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，，所以是平面的一个法向量． 又，，设平面的法向量为， 则，即， 令，得，，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则，所以， 又，所以， 解得（舍）或，所以． 18. 已知函数． （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点、，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明：因为函数有两个极值点、， 所以有两个不同的正根， 所以且，，解得． ， 令，，则， 令，，则恒成立， 所以在单调递增， 又，， 所以，使得，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值． 即 ， 因为，所以，所以，即． 【解析】 【分析】（1）代入的值计算得到切点纵坐标，对求导后代入得到切线斜率，最后用点斜式写出切线方程； （2）因为函数在上单调递增，所以其导函数在上恒大于等于，对导函数整理后将问题转化为含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数求解的范围。 （3）函数有两个极值点说明导函数对应的二次方程在上有两个不等正根，利用韦达定理得到和与的关系，将转化为关于的函数，再结合的取值范围证明该函数值大. 【小问1详解】 由，得，则， 的导函数，故， 所以函数的图象在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 函数的定义域为， 由，得， 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立． 令，，则， 令，得． 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，即． 所以，即实数的取值范围是． 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线C：的一条渐近线为，且的焦距为6，动直线l：交于，两点，其中为定值且． （1）求的方程； （2）若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积； （3）是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或． 理由如下： 设，， 联立方程得，， 所以，． 假设定点在以线段AB为直径的圆上，则， 又，， 所以， 即， 所以， ， 整理得， 该式对任意m恒成立，所以各项系数必须全部等于0，得， 若，则，方程无解，所以，， 当，时，，解得（舍）或； 当，时，，解得（舍）或． 综上所述，或． 【解析】 【分析】（1）利用双曲线渐近线斜率与焦距，联立关系式，求出直接写出双曲线方程； （2）由直线与圆相切，用点到直线距离求出参数m；联立直线双曲线，韦达定理算弦长，再求原点到直线距离，用求面积； （3）设定点，直径圆条件转化向量数量积，代入韦达整理为关于m的多项式，令各次项系数为0，解方程组求n. 【小问1详解】 因为双曲线C的渐近线为，所以由题意知，即， 由C的焦距为6，得，即，故， 所以，， 所以C的方程为． 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为， 因为直线l与圆相切， 所以，解得（舍）或， 所以l的方程为，即． 设，，联立方程得， 所以，． 所以． 又原点O到l的距离， 所以的面积为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量、不共线，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线C：的焦点为，准线为，若点在上，则到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 2026年8月22日~26日，第二届世界人形机器人运动会在国家速滑馆“冰丝带”举行，某机器人运动队有4名操作员和4名人形机器人（每名操作员固定控制1名人形机器人），赛后此机器人运动队排成一排拍照留念，则每名操作员都与其控制的人形机器人站在一起的排法共有（ ） A. 24种 B. 120种 C. 384种 D. 786种 6. 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，将射线绕着原点按逆时针方向旋转角得到射线，若射线经过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 近年来，新能源汽车特别是电动汽车销量快速增长，充电基础设施仍存在布局不够完善、结构不够合理、服务不够均衡、运营不够规范等问题．为进一步构建高质量充电基础设施体系，某市计划在2026年新建设3万个新能源汽车充电桩，后面每年新建设的充电桩数量比上一年增加25%，按照这样的发展趋势，若从2026年起，到年，该市新建设的充电桩数量之和在42万个与48万个之间（含42万个和48万个），则（ ） （参考数据：，） A. 2031 B. 2032 C. 2033 D. 2034 8. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，是上一点，且，则（ ） A. 的短轴长为4 B. 的离心率为 C. 的周长为 D. 的面积为2 10. 已知函数，且存在，，使得，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上的值域为 C. D. 11. 已知函数，的定义域均为，且，．若直线是图象的一条对称轴，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称 C. 4是的一个周期 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆锥的高为3，母线长为4，则该圆锥的体积为______． 13. 已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是______． 14. 已知，，都是正数，且随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 若，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市为了解本市旅游服务情况，在游客中随机抽取500名游客进行调研，将得到的评分（满分100分，60分及60分以上为及格）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）从这500名游客中随机抽取1人，求此游客的评分不低于80分的概率； （2）该市为了改善旅游消费体验、提升旅游市场服务质量，采取专项整治行动．为了解专项整治行动的效果，在专项整治行动后采取同样的调研方法，得到的数据和列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 500 专项整治行动后 100 500 合计 1000 补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，试问：评分是否及格与专项整治行动有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 在各项都是正数的数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． （1）证明：平面； （2）是棱上一点，若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 18. 已知函数． （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点、，证明：． 19. 已知双曲线C：的一条渐近线为，且的焦距为6，动直线l：交于，两点，其中为定值且． （1）求的方程； （2）若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积； （3）是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $