精品解析：四川省成都市第七中学2026-2027学年高三上学期10月小练习数学试题

数学10月小练习 （时间：120分钟 满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知，所以对应的点为，位于第一象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，再根据集合的交集运算求解即可. 【详解】，即，解得， 所以集合， 所以. 3. 若且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由且，得， 故. 4. 设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将代入双曲线方程得， 解得， 所以的渐近线方程为 5. 已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，， 则，即， 所以. 6. 为了迎接成都西博城人工智能展，主办方将6名安检人员平均分成3组，到3个不同场馆服务，若每组去一个场馆，且每个场馆都有人服务，则甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 18种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分组分配的求法求出6人分3组，再分配到3个不同的场馆的分配种数，减去甲乙在同一个馆服务的情况即可求解. 【详解】将6名安检人员平均分成3组，到3个不同场馆服务， 共有种方案， 甲、乙在同一个场馆服务的分配方案有种方案， 所以甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有种方案. 7. 已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为1和2，该棱台的高为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据台体体积公式求得正确答案. 【详解】设该棱台上、下底面的面积分别为、. 因为底面是有一个内角为的菱形，其面积等于边长的平方乘以该内角的正弦值， 所以上底面，下底面. 由棱台的体积公式，其中， 所以. 8. 已知函数，（其中）.对于不相等的实数，，设，，如下说法中正确的为（ ） A. 对于任意不相等的实数，，都有 B. 对于任意的a及任意不相等的实数，，都有 C. 对于任意的a，存在不相等的实数，，使得 D. 对于任意的a，存在不相等的实数，，使得 【答案】C 【解析】 【分析】运用指数函数的单调性及函数单调性的定义即可判断A；由二次函数的单调性及函数单调性的定义即可判断B；通过函数，求出导数判断单调性，即可判断C；通过函数，求出导数的最小值，进而分析判断D. 【详解】对于A，由指数函数的单调性可得在上单调递增， 即有，故A错误； 对于B，由二次函数的单调性可得在上单调递减， 在上单调递增，则不恒成立，故B错误； 对于C，若，可得， 即， 设，则， 而， 设，则， 所以函数为增函数， 当时，，时，， 因此存在，使得， 则时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则存在不相等的实数，，使得成立，故C正确； 对于D，若，可得， 即， 设，则， 而， 设，则， 令，得，令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则在时取得最小值， 最小值为关于的代数式，当此代数式大于0时，， 此时为增函数，因此不存在不相等的实数，，使得，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）． A. 圆C的圆心坐标为 B. 直线l与圆C相交 C. 圆与圆C相切 D. 圆C上存在4个点到直线l的距离为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将圆方程化为标准式可判断选项正误；对于B，比较圆心到直线距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，比较两个圆心之间的距离与两圆半径之和与半径之差大小可判断选项正误；对于D，利用到直线的距离为1的直线与圆的位置关系可判断选项正误. 【详解】因为，所以， 圆C的圆心坐标为，故A正确； 圆心C到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交，故B正确； 圆与圆C两圆心距离， 两圆半径之和为，半径之差为， 因为，故两圆相交，故C错误； 因为圆心C到直线的距离为，所以， 圆C上存在4个点到直线l的距离为1，故D正确. 故选：ABD. 10. 若数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 若数列是递增数列，数列可能不是递增数列 B. 数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数 C. 若是等差数列（公差），，则是的充分不必要条件 D. 若是等比数列，则（，）的充要条件是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数列递增定义、等差与等比数列前项和性质，通过举反例和逻辑推导逐一判断命题真假. 【详解】若数列是递增数列，当数列时，是递减数列，故A正确； 数列是递增数列不能推出数列的各项均为正数， 例如：0，1，2，3， ，故B不正确； 不能推出 例如：，，1，3，故C不正确； 等比数列，，乘积为 0，说明至少某个，且. 等比求和 ，所以公比， 此时，即； 反过来，若，则，所以，时乘积为 0，D正确. 11. 已知的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，当点的横坐标为时，直线的斜率等于，则（ ） A. B. 是定值 C. 任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于 D. 可能是直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，由重心坐标公式得，，结合直线斜率求出，可判断A，利用抛物线的定义求得，判断B，求出三点横坐标后判断C，再求出三点纵坐标，计算边长的平方，判断D. 【详解】A，设，焦点为，， 因为焦点是的重心，所以，， 所以，，又，，， 所以，所以，A正确； B，由抛物线的定义分别等于三点到准线的距离，而准线方程为， 所以， 所以为定值，B正确； C，由得，即， 又，则， 所以，即， 将其看作关于的一元二次方程， 因为存在，则，解得， 同理，， 当时，，， 此时重合，不能构成三角形，故， 同理，， 综上，任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于.故C正确. D，不妨设，即， ，， 则， 因为，， 所以， 由C可知，即， 则，无实数解， 所以不可能是直角三角形.故D错误. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 【答案】3 【解析】 【详解】. 13. 若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】换元，将指数函数零点问题转化为二次方程根的分布问题，利用二次函数判别式、对称轴、端点函数值，列出不等式组即可求解. 【详解】因为函数在区间上有两个不同的零点， 令，因为，则，则原函数等价为， 即在内有两个不同的根， 则，解得：. 14. 已知球M的直径，是球M球面上的三点，是等边三角形，且，则三棱锥的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设三角形ABC截面小圆的圆心为O，根据条件作出对应的直观图，求出棱锥的高和底面边长，计算出锥体的体积即可． 【详解】球心为设三角形截面小圆的圆心为， ∵是等边三角形， ∴在面的投影是等边的重心（此时四心合一）， 是直径， ， ， ，， 是等边的重心，， ∴等边的高 ， 三棱锥的体积 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的图象的对称轴方程； （2）求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和辅助角公式将函数化为的形式，通过正弦函数的对称轴计算的对称轴方程； （2）由（1）可计算整体的范围，根据正弦函数图象的性质计算值域． 【小问1详解】 ． 令，整理得， 所以函数的图象的对称轴方程为． 【小问2详解】 由（1）得， 由于，所以， 则，所以， ∴函数的值域为． 16. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N. （1）在直观图中标出点F，G，H，并证明：直线平面BDH； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）连结BD，设O为BD的中点. 因为M，N分别是BC，GH的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以OMNH是平行四边形，从而， 又平面BDH，平面BDH， 所以平面BDH. （2） 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行. （2）根据二面角的概念构造二面角的平面角，利用三角形的边角关系求二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连结AC，过M作于P. 过P作于K，连结KM， 因为，且KM，平面PKM，所以平面PKM， 又因为平面PKM，从而. 所以是二面角的平面角. 设，则，， 在中，. 在中，. 所以. 即二面角的正弦值为. 17. 成都某玩具厂对一批熊猫玩具进行抽样质检，每次抽检1件玩具，至多抽检n次（整数），当且仅当抽到1件次品或n件玩具均为正品时，停止抽检.已知每件玩具是次品的概率为，各件玩具是否为次品相互独立.记X为停止抽检时抽检的玩具件数. （1）当，时，求质检员停止抽检时抽检的玩具件数小于3的概率； （2）当时，质检员停止抽检时抽检的玩具件数为3的概率，求p； （3）当时，记停止抽检时抽检的玩具件数大于2k的概率为，停止抽检时抽检的玩具件数大于k的概率为，证明：. 【答案】（1） （2） （3）当时，说明前k次均未抽到次品，则，，说明前2k次均未抽到次品，则， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）首先明确包含和两个互斥事件，所以分别计算两个事件的概率再求和，用到独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式； （2）首先明确的含义是前2次抽检均为正品，所以根据该事件的概率等于前两次都为正品的概率列方程，求解关于p的一元二次方程后即可； （3）首先明确和的含义，求出相应概率，化简比较大小，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意可知， ， . 【小问2详解】 依题意得. 即，解得或（舍去），所以. 【小问3详解】 略 18. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连接并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接. （1）若点C的坐标为，且， ①求椭圆的方程； ②若斜率存在且不为0的直线l经过点，且与椭圆交于P，Q两点.线段PQ的垂直平分线交x轴于点N，求面积的最大值； （2）若，求椭圆离心率e的值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①将代入椭圆方程中，结合求解，即可得椭圆方程，②联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据弦长公式求解，根据垂直以及中点坐标求解直线方程，进而得坐标，即可根据面积公式得面积的表达式，利用导数求解函数的单调性，即可得面积的最值， （2）联立直线方程和椭圆方程可得点坐标，进而根据对称性得坐标，根据两点斜率公式得斜率，进而根据垂直关系列等量求解. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为2c，则，. ①∵，∴， 又，故， ∵点在椭圆上， ∴，解得， 故所求椭圆的方程为. ②设直线l的方程为，易知m存在且不为0. 将直线方程代入椭圆方程中，整理得：， 设，，由韦达定理可得：，. 的中点M坐标：，， 弦长：， ， 垂直平分线过中点，且斜率为－m（当时）， 的垂直平分线所在的直线方程为：， 令，， ， 因此，的面积表达式为： . 设，则，. 于是， , 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此，当（即，）时，取得最大值： ，因此面积的最大值为. 【小问2详解】 ∵，在直线AB上， ∴直线AB的方程为， 解方程组，得，， ∴点A的坐标为， 又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为， ∵直线的斜率为， 直线AB的斜率为，且， ∴，又， 整理得， 故，因此. 19. 已知函数，，其中且. （1）若，求函数的单调区间； （2）证明：当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线. （3）若函数与的图象恰有三个交点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）曲线在点处的切线：. 曲线在点处的切线：. 要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线， 只需证明当时，存在，，使得和重合. 即只需证明当时，方程组有解， 由①得，代入②，得.③ 因此，只需证明当时，关于的方程③存在实数解. 设函数， 即要证明当时，函数存在零点. 由，可知时，；时，单调递减， 而又由，， 故存在唯一的，且，使得，即. 由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值. 因为，故， 所以 . 下面证明存在实数t，使得. 由（1）可得，当时， ，根据二次函数的性质， 所以存在实数t，使得， 因此，当时，存在，使得. 所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得函数的单调区间. （2）根据公切线的概念，把问题转化成函数存在零点的问题.再利用导数证明，当时，函数存在零点即可. （3）先证当时，函数与图象的交点个数不可能是3个.当时，问题转化为，的零点个数，利用导数分析函数的单调性，利用极大值，极小值的符号可求的取值范围. 【小问1详解】 由已知，，有. 令，解得. 由，可知当x变化时，，的变化情况如下表： 0 － 0 ＋ 极小值 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）当时与最多有两个交点，不符合题意舍去； 证明如下：， 令，则有， 其中函数图象如下， 在单调递增，单调递增， 当时，，，即：，则， 而在上单调递增，所以，即：， 所以由图可知： 当时，两个交点，， 当时一个交点，， 当时，没有交点，，故不符合题意. （ii）下面只需考虑时，与交点的个数即可； 两边取对数得， 令，，则， 由于，令，可得，， 令，所以，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，由图象可得有两个解，，且， 那么在，上单调递增，在上单调递减， 又， ， 把，看成一个整体，由均值不等式可得，， 所以， 当，，所以， 因为，得，所以， 当时，，当时，， 又在，上单调递增，在上单调递减， 则在，，三个区间各有一个零点， 所以曲线与有三个交点， 即：时符合题意，解得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学10月小练习 （时间：120分钟 满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若且，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了迎接成都西博城人工智能展，主办方将6名安检人员平均分成3组，到3个不同场馆服务，若每组去一个场馆，且每个场馆都有人服务，则甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 18种 7. 已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为1和2，该棱台的高为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 7 8. 已知函数，（其中）.对于不相等的实数，，设，，如下说法中正确的为（ ） A. 对于任意不相等的实数，，都有 B. 对于任意的a及任意不相等的实数，，都有 C. 对于任意的a，存在不相等的实数，，使得 D. 对于任意的a，存在不相等的实数，，使得 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）． A. 圆C的圆心坐标为 B. 直线l与圆C相交 C. 圆与圆C相切 D. 圆C上存在4个点到直线l的距离为1 10. 若数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 若数列是递增数列，数列可能不是递增数列 B. 数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数 C. 若是等差数列（公差），，则是的充分不必要条件 D. 若是等比数列，则（，）的充要条件是 11. 已知的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，当点的横坐标为时，直线的斜率等于，则（ ） A. B. 是定值 C. 任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于 D. 可能是直角三角形 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 13. 若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是______. 14. 已知球M的直径，是球M球面上的三点，是等边三角形，且，则三棱锥的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的图象的对称轴方程； （2）求函数在区间上的值域． 16. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N. （1）在直观图中标出点F，G，H，并证明：直线平面BDH； （2）求二面角的正弦值. 17. 成都某玩具厂对一批熊猫玩具进行抽样质检，每次抽检1件玩具，至多抽检n次（整数），当且仅当抽到1件次品或n件玩具均为正品时，停止抽检.已知每件玩具是次品的概率为，各件玩具是否为次品相互独立.记X为停止抽检时抽检的玩具件数. （1）当，时，求质检员停止抽检时抽检的玩具件数小于3的概率； （2）当时，质检员停止抽检时抽检的玩具件数为3的概率，求p； （3）当时，记停止抽检时抽检的玩具件数大于2k的概率为，停止抽检时抽检的玩具件数大于k的概率为，证明：. 18. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连接并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接. （1）若点C的坐标为，且， ①求椭圆的方程； ②若斜率存在且不为0的直线l经过点，且与椭圆交于P，Q两点.线段PQ的垂直平分线交x轴于点N，求面积的最大值； （2）若，求椭圆离心率e的值. 19. 已知函数，，其中且. （1）若，求函数的单调区间； （2）证明：当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线. （3）若函数与的图象恰有三个交点，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $