精品解析：黑龙江省九师联盟2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数（约占30%）；导数、三角函数与三角恒等变换、解三角形、向量、复数（约占70%）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算求解. 【详解】. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】，， ， 所以. 3. 已知向量，，若，共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 若，共线，则，得， 所以. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解不等式确定集合，再求交集. 【详解】根据题意， 由，得，即， 所以，即或，又， 所以 . 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，则 6. 已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数在上递增，指数函数在 上递增，左段在处的函数值右段在处的函数值. 【详解】，开口向下，对称轴为， 因为在递增，所以对称轴,解得, 因为单调递增，所以， 因为在上单调递增， 所以, 解得,即， 则实数的取值范围是，即实数的取值范围是，即. 7. 某无人机执行巡航任务，其电池能耗率R（单位：W）与飞行高度h（单位：）、飞行速度v（单位：）满足关系式：，若该无人机巡航时以匀速飞行，记，，则当高度由提升到时，提升前与提升后能耗率的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由飞行速度，代入： ， 因此能耗率公式简化为：  当： ， 当： ， 对​化简： ，​ 对化简： ，​ 因此能耗率的比值为： . 8. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】为锐角三角形，结合正弦定理和余弦定理可得，同时求出，得到答案 【详解】，由正弦定理得， 故， 又因为，所以， 两边同除以得， 由正弦定理得， 又， 所以， 即，， 因为为锐角三角形，所以， 又因为，所以， 故，则， 因为，解得，故， 又在上单调递减，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D错误. 10. 已知函数，且存在，，使得，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上的值域为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先用降幂公式、二倍角公式与辅助角公式把 化为正弦型函数，再逐项判断：A 看最小正周期，B 由 的范围求相位的范围，C、D 利用 的两解关于直线 对称. 【详解】. 对于 A， 的最小正周期 ，A 错误. 对于 B，当 时，. 因为 ，，，所以 在 上的值域为 ，B 正确. 对于 C，令 ，当 时，. 的图象在区间 内关于直线 对称，方程 恰有两解 ，，且 . 又 ，，所以 ，解得 ，C 正确. 对于 D，由 得 ，结合 与 知 . 此时 ，又 ，所以 ，D 正确. 11. 已知函数，的定义域均为，且，．若直线是图象的一条对称轴，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称 C. 4是的一个周期 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据题意条件相互转换求得函数的周期，再利用周期，对称的性质逐项求解即可. 【详解】对于C选项，由得， 代入得， 又因为的图像关于直线对称，则，于是， 令，得到即 可得，所以的周期为4. 从而的周期也为4. 对于B选项，由，令换为，得， 结合对称轴得， 于是，所以图像关于对称. 对于D选项，由，及得， 由对称性且得，于是. 因此一个周期内的和为， 又，所以. 对于A选项，，， 若关于对称，则，矛盾. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是偶函数，则实数的值为__________． 【答案】0 【解析】 【详解】∵函数是偶函数，定义域分析可得为，且， ∴ 对任意恒成立, ∴ ，即对任意恒成立, ∴ . 13. 已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，构造函数，利用导数求出函数的单调性及最值，根据恒成立问题即可求解. 【详解】对恒成立， 令，，， 所以在上单调递减，且，所以， 所以. 14. 在中，D为边的中点，若，则的最小值为__________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】由题意可得，平方后可得，即可得，将转化为，利用基本不等式，即可求解. 【详解】在中，D为边的中点，记 ，，， 则，则， 则， 即， 由于，故，即，即， 由正弦定理得，而 ，，，故， 当且仅当时取等号，此时结合可知，满足 与 均成立，即三角形存在， 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，且． （1）求、、； （2）若的平分线与交于点，且，求的周长． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）设，，，由余弦定理可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值； （2）设的面积为，由结合三角形的面积公式可求得的值，即可得出的周长. 【小问1详解】 设，，，故由余弦定理， 可得． 因为，所以． 由，可得，解得． 因为，所以． 【小问2详解】 设的面积为，则． 因为平分，所以． 又因为， 即， 化简得，解得， 所以的周长为． 16. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求的单调递减区间； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式求得简化函数，再由函数的平移得到函数解析式，由三角函数的性质得到函数的单调区间； （2）求出函数在区间上的值域，然后借助二次函数的单调区间，求得函数的值域. 【小问1详解】 ， 所以. 令， 所以， 所以的单调递减区间. 【小问2详解】 当时，， 所以，当，即时，取最大值， 当，即时，取最小值， 所以. 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最大值为，最小值为. 所以函数. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，在上既有最小值也有最大值，求实数m的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，对分三种情况进行讨论，得到函数单调性； （2）在（1）的基础上，得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到不等关系，得到答案 【小问1详解】 由， 得， 若，则，则在上单调递增； 若，令得或，令得， 则在，上单调递增，在上单调递减； 当时，令得或，令得， 则在，上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 而，，，， 因为在上既有最小值也有最大值，则，且， 故，实数m的取值范围是. 18. 已知函数，的定义域都为，为偶函数，为奇函数，且． （1）求与的解析式； （2）若，求的值； （3）若，，求实数的取值范围． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性，用替换原方程联立解出； （2）由得到，平方求出，进一步算出；方法一利用立方和公式整体代换求； 方法二通过两式相乘展开、整体代换求出，最后代入求值； （3）代入解析式化简不等式，换元结合基本不等式求分式最大值，得到的取值范围. 【小问1详解】 因为为偶函数，为奇函数，所以，． 因为①，所以，即②． 由①②，得，． 【小问2详解】 因为，所以． 因为，所以． 因为，，所以． 方法一：． 方法二：因为，所以， 所以，即． 【小问3详解】 因为在上恒成立，所以在上恒成立． 因为，所以在上恒成立． 令，则， 所以， 当且仅当即时，等号成立，即． 所以，即实数的取值范围是． 19. 已知函数． （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）若，求的极值； （3）若函数有两个极值点，证明：． 【答案】（1） （2）极大值，极小值. （3）函数定义域为， 导数， 由题意可知方程在存在两个实根， 即是方程的两根，则， 解得. ， ， 令函数， 则，令函数 ， 则，所以函数单调递增， 当时，，当时，， 所以一定存在使得，即 故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以函数， 又因为，且函数在上单调递减，所以. 【解析】 【分析】（1）代入得到函数解析式，求得导函数，然后得到切点坐标和斜率，由点斜式写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求导数，由导数求得函数的单调区间，即可求得函数的极值； （3）由题意可知函数的导数在定义域内存在两个实根，由韦达定理得到关系式，然后建立不等式组求得参数的取值范围，然后结合韦达定理的结果化简，构造函数，有函数的导数求得函数的单调性，求得函数的极值，再构造函数，通过函数的单调性即可得证. 【小问1详解】 当时，，则导数， 则，且， 所以函数的图象在处的切线方程，即. 【小问2详解】 当时，，函数的定义域为 ， 则导数. 令，则，即，解得或， 所以当时，导数，函数单调递增； 当时，导数，函数单调递减； 当时，导数，函数单调递增； 所以函数在处取极大值， 在处取极小值. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数（约占30%）；导数、三角函数与三角恒等变换、解三角形、向量、复数（约占70%）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，共线，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某无人机执行巡航任务，其电池能耗率R（单位：W）与飞行高度h（单位：）、飞行速度v（单位：）满足关系式：，若该无人机巡航时以匀速飞行，记，，则当高度由提升到时，提升前与提升后能耗率的比值为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，且存在，，使得，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上的值域为 C. D. 11. 已知函数，的定义域均为，且，．若直线是图象的一条对称轴，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称 C. 4是的一个周期 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是偶函数，则实数的值为__________． 13. 已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________． 14. 在中，D为边的中点，若，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，且． （1）求、、； （2）若的平分线与交于点，且，求的周长． 16. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求的单调递减区间； （2）求函数在上的值域． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，在上既有最小值也有最大值，求实数m的取值范围． 18. 已知函数，的定义域都为，为偶函数，为奇函数，且． （1）求与的解析式； （2）若，求的值； （3）若，，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）若，求的极值； （3）若函数有两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $