精品解析：辽宁省大连市第八中学2026-2027学年高三上学期10月阶段测试数学试题

2026-2027学年度上学期高三年级10月份阶段测试 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则 （ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 函数的图象大致为（） A. B. C. D. 5. 已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至多有一个大于2 D. 至少有一个不小于2 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，分别是关于的方程和的根，则（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 1 8. 若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 已知集合，且，则实数为0或3 B. 当时，的最小值是5 C. 不等式解集为或 D. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 10. 函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数图象的对称中心为（） C. D. 不等式的解集为（） 11. 已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 4是的一个周期 C. D. 的图象关于点对称 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为___________． 13. ___________. 14. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 ___________ 四、解答题：本题共5道小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求值； （2）若，求的值． 16. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数．已知三叉戟函数的图象经过点，且满足． （1）求函数的解析式； （2）若，都有恒成立，求实数m的求值范围． 17. 设函数，其中．已知． （1）求； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． （3）若存在，使等式成立，求实数的取值范围； 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值： （2）解不等式； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）若函数在区间内有一个零点，求实数a的取值范围； （2）若，使得对恒成立，求实数b的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期高三年级10月份阶段测试 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 【答案】B 【解析】 【详解】命题“，使”的否定是“”. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， ，所以， 已知，所以. 3. 已知函数，则 （ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，， 所以. 4. 函数的图象大致为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出时函数的单调性和值域，再求出时函数的单调性和值域，从而采用排除法即可得到答案． 【详解】设， 当时，， ∴时，单调递增， 由，得， ， ∴选项C，D错误． 当时，， ∴时，单调递增， 由，得，即， ∴函数图象在轴下方，排除B选项，则选项A符合要求． 故选：A． 5. 已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至多有一个大于2 D. 至少有一个不小于2 【答案】D 【解析】 【分析】将三个代数式求和，结合基本不等式得到总和的最小值，再通过特例排除和反证法判断各选项正误. 【详解】首先计算三个代数式的和： 已知x，y，z均为正数，由基本不等式：对任意正数a，有，当且仅当时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立，对选项逐一判断： 对于A项：当时，三个代数式的值均为2，不满足都大于2，故A错误； 对于B项：若三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，故B错误； 对于C项：取，此时，存在两个数大于2，故C错误； 对于D项：假设三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，因此三个数至少有一个不小于2，故D正确. 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合复合函数单调性、对数函数的定义域来求得 a 的取值范围. 【详解】函数是开口向上的二次函数，其对称轴为； 因为函数在区间上单调递增， 所以内层函数在区间上单调递增且在区间上恒成立 即，即实数的取值范围是. 故选：B. 7. 设，分别是关于的方程和的根，则（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将两个方程分别变形，利用函数互为反函数，图像对称以及垂直条件进行求解。 【详解】方程等价于，因此是函数与直线交点的横坐标； 方程等价于，因此是函数与直线交点的横坐标. 函数与函数互为反函数，图像关于对称， 同时直线与直线互相垂直， 因此两个交点、关于直线对称， 则，即. 8. 若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】易知，所以曲线在点处的切线为， 同理，所以在点处的切线为， 由题意知两条切线重合，所以， 两边同时取以为底的对数得， 则. 二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 已知集合，且，则实数为0或3 B. 当时，的最小值是5 C. 不等式解集为或 D. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，，或，所以或或； 当时，，这与集合的元素互异性矛盾； 当时，，这与集合的元素互异性矛盾； 当时，.所以实数为3，故A错误； 对于B，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5，故B正确； 对于C，，解得或， 所以不等式的解集为或，故C错误； 对于D，当时，不等式为，对任意恒成立； 当时，有，解得； 综上，的取值范围为，故D错误. 10. 函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数图象的对称中心为（） C. D. 不等式的解集为（） 【答案】BCD 【解析】 【详解】由图象知相邻渐近线为和，间距为，故周期，. 时，有，又，解得， 由，得，因此. A选项： 由可知，A选项错误； B选项：正切函数的对称中心为，令，得， 即函数图象的对称中心为，B选项正确. C选项：， ， 故，C选项正确. D选项：当时，；当时，. 不等式等价于，即， 解得，即，D选项正确. 11. 已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 4是的一个周期 C. D. 的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，得到，再结合，求得，再通过赋值代换逐项判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 而，故，故， 又为偶函数，所以，即， 所以，故即， ，所以4是的周期，故B正确. 对A，由两边求导得， 令得，解得，A正确： 对C，由上知，所以， 所以C错误； 对D，因为， 故，故的图象关于对称，因为4是的周期，故的图象关于点对称 故选：ABD 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】由扇形的圆心角与面积求得半径再利用弧长公式即可求弧长. 【详解】设该扇形的弧长为，圆心角为，半径为， 所以由，即，解得， 所以. 故答案为：12. 13. ___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则与性质求解. 【详解】 . 14. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】同构之后令，求导分析最值，然后再换元令，构造函数，求导判断单调性求出最值即可求得的范围. 【详解】因为时，， 所以令，则， 当时，，此时在上单调递增， 时，，此时在上单调递减，易得， 设，则，其中，则. 那么分离参数可得. 令，求导得， 易得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以实数的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5道小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数诱导公式化简解析式，再代入求值即可； （2）以正余弦函数齐次化切法求值即可解决. 【小问1详解】 【小问2详解】 由， 可知． 16. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数．已知三叉戟函数的图象经过点，且满足． （1）求函数的解析式； （2）若，都有恒成立，求实数m的求值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用选定系数法求出函数解析式. （2）等价变形给定恒成立的不等式，分离参数并构造函数，利用基本不等式及不等式性质求出最小值即可. 【小问1详解】 由函数的图象经过点，得， 由，得，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 ，不等式恒成立， 令函数，而当时，，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号，则，解得， 所以实数m的取值范围是. 17. 设函数，其中．已知． （1）求； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． （3）若存在，使等式成立，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式展开 ，合并同类项后通过辅助角公式化简为 ，代入 建立方程，结合 的范围确定 . （2）先根据三角函数图像的横坐标伸缩变换、向左平移变换规则逐步推导，得到 ；再由 的范围求出内层角的取值区间，结合正弦函数的值域求出 的最小值. （3）通过换元 ，将原方程转化为关于 的一元二次方程，分离参数得到 ；结合 的取值范围，利用对勾函数的单调性求出 的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以 , 由题设知，所以，． 故，，又， 所以． 【小问2详解】 由（1）得，所以． 因为，所以， 当即时，取得最小值． 【小问3详解】 由（2）知令， 当时，，则， 即存在，使成立， 即存在，成立， 而函数在单调递减，单调递增， 当，函数在单调递增， ，所以实数m的取值范围为． 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值： （2）解不等式； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义得，代入计算即可求； （2）由（1）得出解析式，结合指数函数性质解不等式即可； （3）借助（2）中解析式求出值域，利用换元法求出的值域，由题意得出，进而得出的取值范围. 【小问1详解】 函数中，， 因为为奇函数， 所以，即， 整理得，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，其定义域为， 由得，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数． （1）若函数在区间内有一个零点，求实数a的取值范围； （2）若，使得对恒成立，求实数b的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）令， 则有两个不相等的实根，， 不妨设，则有， 构造函数，则， 所以在上单调递减，故，得． ，即． 下证， 令，则只要证， 设，则， 故当时， 单调递增，故 ，则． 故，． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据正弦函数的值域得出导函数正负进而得出函数单调性，再应用零点存在定理即可证明零点个数； （2）先化简再构造函数，进而应用导函数得出最值计算求解参数； （3）先根据零点化简再构造函数，应用导数得出函数单调性即可证明不等式. 【小问1详解】 由， 得，令，则， 当时，因为，所以，， 故恒成立，因此在内无零点； 当时，因为，所以，则单调递增， 故，则单调递增，故， 因此，在区间内无零点； 当时，因为，所以，则单调递增， 因为，， 所以存在唯一的使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为，所以，又， 故在区间内只有一个零点，且． 综上，当时，在区间内有一个零点． 【小问2详解】 可整理为， 则，使得，转化为． 因为，所以，则在上单调递增， 故，转化为对恒成立， 即，即对恒成立， 因为当时，，所以． 构造函数，则，故在上单调递增． 又，等价于，则 所以恒成立，转化为． ，令，得， 当时，， 单调递增； 当时，，单调递减． 故，故b的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $