精品解析：山东枣庄市滕州市育才中学2026-2027学年九年级一学期第一次检测数学试卷

九年级第一学期第一次单元质量检测 数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A  2. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这个四边形是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故测量方案正确的是：A． 3. 如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 4. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 5. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，计算各选项的根的判别式判断． 【详解】解：A选项，方程中，，有实数根； B选项，方程中，，有实数根； C选项，将方程整理为，，有实数根； D选项，方程中，，没有实数根． 6. 如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质可得，由等边对等角可得，利用三角形外角性质可得，结合，即可求出. 【详解】解： 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 7. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+，因此此题根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， 故选：C． 8. 如图，四边形是菱形，对角线 交于点 是边的中点，过点作，点为垂足，若，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，证出四边形是矩形，得到即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ，，， 在中，， 又是边的中点， ， ，，， ，，， 四边形为矩形， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 9. 已知方程的解是，，则另一个方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 通过变量代换，将新方程转化为已知方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则新方程化为， ∵方程的解为，， ∴或， 解得或， ∴新方程的解为，． 故选：B． 10. 如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】通过证明可得；通过证明可得，进而证得垂直平分，推出；利用直角三角形斜边中线性质及外角性质可证及；最后统计错误结论的个数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 在中，，是的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有4个，错误的结论有0个． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将一元二次方程转化为，确定出m和n的值即可求解． 【详解】解：方程， 移项得， 配方得， 即， 所以，， 则． 故答案为：． 12. 已知α，β是一元二次方程的两根，则的值是____． 【答案】0 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求出和 ，并利用 α 满足方程进行化简． 本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，方程的解，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ α, β 是方程 的两根， ∴． ∴ ，即 ． ∴ ． 故答案为：0． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，和相交于点，为线段上一点，连接，取的中点，连接，若平分，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【详解】由三角形中位线的性质得，，即得，进而得到，即得到，得到，再根据勾股定理解答即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点是的中点 ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在中，已知顶点，，，将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质求出点，根据题意容易判断点每旋转次为一循环，因此旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点旋转，写出对应的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴，轴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点每旋转次为一循环， ∵， ∴旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点旋转， ∴第次旋转结束时，点的坐标为． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用平方相等则两式相等或互为相反数，因式分解法解一元二次方程； （2）运用公式法求解一元二次方程； （3）使用配方法求解一元二次方程； （4）先移项，提取公因式，因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： 或 解得： 解得： 所以方程的解为，． 【小问2详解】 解： ，，， ∴ 所以方程的解为，． 【小问3详解】 解： ， 所以方程的解为，． 【小问4详解】 解： 或 解得：或 所以方程的解为，． 17. 如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理，可得，结合已知可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由矩形的性质，可得，由勾股定理可得，即可得的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得到，，再由已知条件和完全平方公式的变形得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴ 解得：，（舍去） ∴． 19. 如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于两点，作直线，分别交于点．在上取点，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：由题意，得是线段的垂直平分线， ∴，． 又∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，得是线段的垂直平分线，可知，，根据可证四边形是菱形； （2）计算，设，则，，进一步利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， ∴． 20. 草莓是姜屯镇张园村的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤；若每斤降低1元，则可多售出40斤． （1）依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： （2）现有长60cm，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高： （3）某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润能达到1320元？如果能，请计算出每斤草莓的定价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）草莓产量的年平均增长率为 （2）纸盒的高为 （3）不能；理由： 若设每斤草莓降价元，则每斤草莓获利元，每天可售出斤，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴A商铺的日利润不能达到1320元． 【解析】 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可； （3）若设每斤草莓降价元，由题意得每斤草莓获利元，每天可售出斤，根据日利润为1320元列方程，判断方程是否有解即可． 【小问1详解】 解：设草莓产量的年平均增长率为，由题意得： ， 解得，（舍去）， 答：草莓产量的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设此时纸盒的高为， ， 解得，（舍去）， 答：此时纸盒的高为； 【小问3详解】 略 21. 如图，在正方形中，点在边上，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）设，则，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 证明：正方形， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：正方形， ，， ，， 设，则， 在中，， ， ，（舍去） ． 22. 阅读与思考 下面是小亮同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 例解方程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得，即． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． 下面是小明用“平均数法”解方程的过程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得． 直接开平方并整理，得，． 任务： （1）上述过程中的，，，表示的数分别为________，________，________，________； （2）请用“平均数法”解方程：． 【答案】（1）5，2，， （2） 【解析】 【分析】本题为新定义问题，考查了一元二次方程的解法等知识． （1）根据“平均数法”解一元二次方程即可求解； （2）根据“平均数法”解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：解方程解方程的过程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得． 直接开平方并整理，得，． 故答案为：5，2，，； 【小问2详解】 原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得，即． 直接开平方并整理，得． 23. 如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒． （1）求边上高的长度； （2）连接，，当为何值时，四边形为菱形； （3）作于，于，当为何值时，四边形为正方形． 【答案】（1）； （2）当t为时，四边形为菱形； （3）当t为或时，四边形为正方形． 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得出．再解，即可求出的长度； （2）先证明四边形为平行四边形，则当时，四边形为菱形．根据列出方程，解方程即可； （3）先证明四边形为矩形，则当时，四边形为正方形．根据列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴． 在中， ， ∴， 由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 解：∵点M、N分别以A、C为起点，/秒的速度沿边运动，设点M、N运动的时间为t秒， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形． ∵，， ∴， ∴， 解得． 所以当t为时，四边形为菱形； 【小问3详解】 解：∵于P，于Q，， ∴四边形为矩形， ∴当时，四边形为正方形． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或． 所以当t为或秒时，四边形为正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、菱形的判定、正方形的判定，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一学期第一次单元质量检测 数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 3. 如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（ ） A. 10 B. C. D. 4. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是菱形，对角线 交于点 是边的中点，过点作，点为垂足，若，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知方程的解是，，则另一个方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则_____． 12. 已知α，β是一元二次方程的两根，则的值是____． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，则的长为___． 14. 如图，在矩形中，和相交于点，为线段上一点，连接，取的中点，连接，若平分，，，则的长为______． 15. 如图，在中，已知顶点，，，将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 18. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 19. 如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于两点，作直线，分别交于点．在上取点，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 20. 草莓是姜屯镇张园村的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤；若每斤降低1元，则可多售出40斤． （1）依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： （2）现有长60cm，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高： （3）某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润能达到1320元？如果能，请计算出每斤草莓的定价；若不能，请说明理由． 21. 如图，在正方形中，点在边上，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 阅读与思考 下面是小亮同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 例解方程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得，即． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． 下面是小明用“平均数法”解方程的过程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得． 直接开平方并整理，得，． 任务： （1）上述过程中的，，，表示的数分别为________，________，________，________； （2）请用“平均数法”解方程：． 23. 如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒． （1）求边上高的长度； （2）连接，，当为何值时，四边形为菱形； （3）作于，于，当为何值时，四边形为正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $