6.1 数列的概念讲义（6大题型归纳）-2027届高三数学一轮复习

6.1　数列的概念 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、数列及其有关概念 3 知识点二、数列的分类 3 知识点三、数列的两种常用的表示方法 3 常用二级结论 3 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 7 题型一：数列递推问题 7 题型二：数列单调性问题 8 题型三：数列最值问题 9 题型四：数列周期性问题 10 题型五：数列恒成立问题 11 题型六：数列规律问题 11 05 课后拓展精练 14 知识点一、数列及其有关概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 知识点二、数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三、数列的两种常用的表示方法 1、如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2、通项公式：数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 3、递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示. 常用二级结论 1、已知与的关系式，记为，它可由阶差公式直接求出通项，但要注意验证与两种情况能否统一，具体分三步进行： (1)时，由，求的值； (2)时，由，求得的表达式； (3)检验的值是否满足（2）中的表达式． ①若满足，则合写； ②若不满足，则写成分段函数的形式：． 1．（2026年高考北京卷数学高考真题））已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026年高考天津卷数学高考真题））已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 3．（2025年高考天津卷数学真题）数列的前n项和，则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 4．（2023年北京高考数学真题）已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 5．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ） A． B． C． D． 7．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024年上海春季高考练习数学试题），任意，满足，求有序数列有_____对. 题型一：数列递推问题 【典例1-1】（2026·高三·河北沧州·阶段检测）斐波那契数列在螺旋星系，叶脉生长等自然模型中经常出现，斐波那契数列满足，，设，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高三·山东青岛·开学考试）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（    ） A．4949 B．4950 C．5049 D．5050 【变式1-1】（2026·河南·一模）一个商人初始持有2枚硬币，每天他都能使持有的硬币数量翻倍，且在每天结束时上缴1枚硬币的税收，那么第8天结束后商人手上持有的硬币数量为（） A．129 B．256 C．257 D．512 【变式1-2】韩城司马迁祠内有一座4层仿古灯塔，顶层悬挂2盏宫灯，且每下一层灯数是上一层的平方加1，问整座塔共悬挂多少盏灯（    ） A．710 B．711 C．712 D．713 【变式1-3】如图，正方形的边长为4，分别取正方形各边的四等分点，作第2个正方形，然后分别取正方形各边的四等分点，作第3个正方形，依此方法继续下去．设第个正方形的边长为，阴影部分中第个直角三角形的面积为（例如：，，…），则下列说法错误的是（   ）    A． B． C．使得成立的正整数的最大值为3 D．如果作图过程可以一直继续下去，那么阴影部分面积之和将趋近3 【解题总结】 列举法 题型二：数列单调性问题 【典例2-1】设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·河北·三模）在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 解决数列的单调性问题的3种方法 作差比较法 根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列 作商比较法 根据与1的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断 题型三：数列最值问题 【典例3-1】数列是递增的整数数列，且，，则当取得最大值时，的最小值为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 【典例3-2】若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-1】（2026·山东日照·模拟预测）已知数列满足，，则的最大项为（     ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【变式3-2】（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-3】已知正项数列满足，当最大时，的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解题总结】 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项． （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为． 题型四：数列周期性问题 【典例4-1】已知数列满足，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【典例4-2】（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，，则______． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，．记，如，即，，即，，即，…，以此类推．设数列的前n项和为，则________    【变式4-2】若数列中，，则________． 【变式4-3】已知数列满足，，则________． 【解题总结】 特殊值法、列举法找规律 题型五：数列恒成立问题 【典例5-1】已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则实数的范围为_____. 【典例5-2】在数列和中，，，且不等式对任意恒成立，则的取值范围为________． 【变式5-1】已知正项数列的前n项和为，，且满足，若对恒成立，则的取值范围是 ________. 【变式5-2】将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度之和为；再将余下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度之和为.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，记数列表示第次操作后余下的区间段长度之和. （i）__________； （ii）若，都有恒成立，则实数的取值范围是__________.（区间段长度是指数轴上一个区间的两个端点之间的距离，如的区间段长度为）. 【变式5-3】已知数列的前项和，若实数满足对恒成立，则实数的取值范围是______. 【解题总结】 分离参数，转化为最值问题． 题型六：数列规律问题 【典例6-1】观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为_________. 【典例6-2】如图，这是一个正六边形的序列： 则第个图形的边数为________． 【变式6-1】（2026·河南周口·模拟预测）将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余，逆序排列法.步骤是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到商小于1为止；最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来.例如，将十进制数5转化成二进制数：，即十进制数5转化成二进制数为101；十进制数13转化成二进制数：，即十进制数13转化成二进制数为1101.记为十进制中正整数的二进制表示中数字1的个数，例如，则__________. 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系上有一动点，每次平行坐标轴移动一个单位．设动点从点出发，向左移动一个单位到达，向下移动一个单位到达，再向下移动一个单位到达，接着向右移动一个单位到达，再向右移动一个单位到达，又向上移动一个单位到达依次进行得到一个逆时针螺旋线．问的坐标为_____． 【变式6-3】如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的面积依次记为，则＝______． 【解题总结】 列举法 1．（2026·高三·北京顺义·阶段检测）已知数列满足（），有下列说法 ①若为常数列则当且仅当； ②若则数列单调递增； ③若则且； ④对于，均不存在使恒成立． 其中正确的个数是（    ） A． B．2 C．3 D．4 2．（2026·高三·北京西城·阶段检测）记数列的前项的乘积为，当且时，（为常数），若对任意且，均有，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的关于三角垛的求和都与高阶等差数列有关．如图就是一个三角垛，最顶层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高三·安徽·开学考试）各项均为正数的数列满足，（，），则（    ） A．5 B．25 C． D．24 5．（2026·湖南永州·一模）已知数列的前项和为，若，，则（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 6．（2026·高三·天津和平·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，则的值为（     ） A．9 B．21 C．45 D．93 7．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 8．（2026·高三·湖北·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·高三·湖北孝感·开学考试）已知一元二次方程的两个根为和，若数列满足（），则（    ） A．11 B．18 C．29 D．47 10．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程 都有两个相等的实根，若 ，则满足条件的不同实数的个数为（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高三·重庆九龙坡·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A． B．若，则；若，则 C．数列单调递增，单调递减 D．存在正整数， 12．（多选题）已知数列的通项为，则下列表述正确的有（   ） A．最大项为0 B．最大项不存在 C．最小项为 D．最小项为 13．（多选题）（2026·高三·湖北黄石·开学考试）下列表达式中，满足数列是单调递减的有（    ）． A． B． C． D． 14．（多选题）（2026·高三·广东广州·阶段检测）已知正项数列满足：，（），其中为前n项和，则（    ） A． B． C． D． 15．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知数列满足：，，，记数列的前项和为.若，则正整数的最大值为__________. 16．（2026·高三·北京西城·阶段检测）已知数列满足，，，给出下列四个结论： ①当时，为递增数列； ②存在，使得为常数列； ③当时，为递减数列； ④存在无穷多个数列满足如下性质：存在正整数N，使得当时任意两项均不等且当时各项均相等． 其中正确结论的序号是__________． 17．（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前项和，若，，使得，则实数的最小值为_________． 18．（2026·高三·四川绵阳·开学考试）已知数列的通项公式为，则数列最大的项的值为_________. 19．（2026·云南昆明·模拟预测）已知数列中，，，若对任意的，都有，则的取值范围是________． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1　数列的概念 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、数列及其有关概念 3 知识点二、数列的分类 3 知识点三、数列的两种常用的表示方法 3 常用二级结论 3 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 15 题型一：数列递推问题 15 题型二：数列单调性问题 18 题型三：数列最值问题 20 题型四：数列周期性问题 23 题型五：数列恒成立问题 25 题型六：数列规律问题 29 05 课后拓展精练 32 知识点一、数列及其有关概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 知识点二、数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三、数列的两种常用的表示方法 1、如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2、通项公式：数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 3、递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示. 常用二级结论 1、已知与的关系式，记为，它可由阶差公式直接求出通项，但要注意验证与两种情况能否统一，具体分三步进行： (1)时，由，求的值； (2)时，由，求得的表达式； (3)检验的值是否满足（2）中的表达式． ①若满足，则合写； ②若不满足，则写成分段函数的形式：． 1．（2026年高考北京卷数学高考真题））已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意， ，是无穷数列， 验证充分性： 当存在常数，使时， ，， 显然成立， 验证必要性： 当，时，此时满足, 假设存在常数，使成立， 当时，，， 此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数， ∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立， ∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件. 2．（2026年高考天津卷数学高考真题））已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 【答案】C 【解析】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 3．（2025年高考天津卷数学真题）数列的前n项和，则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【解析】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 4．（2023年北京高考数学真题）已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 【答案】B 【解析】法1：因为，故， 对于A ，若，可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立， 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故， 故为减数列，注意 故，结合， 所以，故，故， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，故恒成立仅对部分成立， 故A不成立. 对于B，若可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故，故为增数列， 若，则恒成立，故B正确. 对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为减数列， 又，结合可得：，所以， 若，若存在常数，使得恒成立， 则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误. 对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为增数列， 又，结合可得：，所以， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误. 故选：B. 法2：因为， 令，则， 令，得或； 令，得； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 令，则，即，解得或或， 注意到，， 所以结合的单调性可知在和上，在和上， 对于A，因为，则， 当时，，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：，即， 因为在上，所以，则为递减数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故， 所以在上单调递增，故， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故A错误； 对于B，因为， 当时，，， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 又当时，，即， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 此时，取，满足题意，故B正确； 对于C，因为，则， 注意到当时，，， 猜想当时，， 当与时，与满足， 假设当时，， 当时，所以， 综上：， 易知，则，故， 所以， 因为在上，所以，则为递减数列， 假设存在常数，使得恒成立， 记，取，其中， 则， 故，所以，即， 所以，故不恒成立，故C错误； 对于D，因为， 当时，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，故， 所以， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故D错误. 故选：B. 5．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，易得，依次类推可得 由题意，，即， ∴， 即，，，…，， 累加可得，即， ∴，即，, 又， ∴，，，…，， 累加可得， ∴， 即，∴，即； 综上：． 故选：B． 6．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】[方法一]:常规解法 因为， 所以，，得到， 同理，可得， 又因为， 故，； 以此类推，可得，，故A错误； ，故B错误； ，得，故C错误； ，得，故D正确. [方法二]：特值法 不妨设则 故D正确. 7．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，． 由 ，即 根据累加法可得，，当时， 则，当且仅当时等号成立， ， 由累乘法可得，且， 则，当且仅当时取等号， 由裂项求和法得： 所以，即． 故选：A． 8．（2024年上海春季高考练习数学试题），任意，满足，求有序数列有_____对. 【答案】48 【解析】由题意知， 满足， 不妨设， 则必有， 若，解得； 若，解得， 由此可知此时有2种情况， 结合任意，共有对， 故答案为：48 题型一：数列递推问题 【典例1-1】（2026·高三·河北沧州·阶段检测）斐波那契数列在螺旋星系，叶脉生长等自然模型中经常出现，斐波那契数列满足，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知斐波那契数列满足，，变形可得. 即，，，，，， 设所求和为， 得 代入，得，故. 【典例1-2】（2026·高三·山东青岛·开学考试）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（    ） A．4949 B．4950 C．5049 D．5050 【答案】D 【解析】设第层球的个数为，． 由题意可知，． 当时，第层比第层多个球，即． 所以 ． 当时，，满足上式． 故第层球的个数为，． 所以当时，． 【变式1-1】（2026·河南·一模）一个商人初始持有2枚硬币，每天他都能使持有的硬币数量翻倍，且在每天结束时上缴1枚硬币的税收，那么第8天结束后商人手上持有的硬币数量为（） A．129 B．256 C．257 D．512 【答案】C 【解析】设第天结束时商人持有的硬币数为，初始状态为. 由已知可得则， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 通项为：，即， 当时，. 【变式1-2】韩城司马迁祠内有一座4层仿古灯塔，顶层悬挂2盏宫灯，且每下一层灯数是上一层的平方加1，问整座塔共悬挂多少盏灯（    ） A．710 B．711 C．712 D．713 【答案】A 【解析】依题意，不妨取该灯塔的顶层灯数为， 因从顶层向下数，第二层起每层灯数是上一层的平方加1， 故从第二层起各层灯数构成的数列满足， 则第二层灯数为；第三层灯数为； 第四层灯数为. 故整座塔共悬挂的灯有（盏）. 【变式1-3】如图，正方形的边长为4，分别取正方形各边的四等分点，作第2个正方形，然后分别取正方形各边的四等分点，作第3个正方形，依此方法继续下去．设第个正方形的边长为，阴影部分中第个直角三角形的面积为（例如：，，…），则下列说法错误的是（   ）    A． B． C．使得成立的正整数的最大值为3 D．如果作图过程可以一直继续下去，那么阴影部分面积之和将趋近3 【答案】D 【解析】由题意可得，， ， ，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即； 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为随着的增大而减小， 而，， 所以使得成立的正整数的最大值为3，故C正确； 对于D，设数列的前项和为， 则， 当时，，故， 如果作图过程可以一直继续下去，那么阴影部分面积之和将趋近4，故D错误. 故选：D 【解题总结】 列举法 题型二：数列单调性问题 【典例2-1】设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 又数列为递增数列，得，解得.即：. 【典例2-2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数列为递增数列， ， 所以对恒成立， 化简整理得，对恒成立， 由二次函数性质知当时，有最小值，即， 所以，故实数的取值范围是. 【变式2-1】已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，数列单调递减，， 所以，即，解得. 【变式2-2】（2026·河北·三模）在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 由题知恒成立，当时，即，得. 讨论单调性，若是递增数列，则函数随增大而增大. 已知为正且随n增大而增大，则随n增大而减小，故需，即. 综上，实数k的取值范围是. 【变式2-3】若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列为单调递增数列，且，， ，，即， 因为是关于n的单调递增函数，当时， 取得最小值．所以， 所以， 则． 【解题总结】 解决数列的单调性问题的3种方法 作差比较法 根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列 作商比较法 根据与1的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断 题型三：数列最值问题 【典例3-1】数列是递增的整数数列，且，，则当取得最大值时，的最小值为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【解析】记. 因为是递增的整数数列，所以， 从而. 于是，即. 因为，而，所以的最大值为. 此时是数列的最大项. 若，则各项都不超过且严格递增， 它们的和最大只能取到，不可能等于. 若，取数列，它严格递增， 且各项之和为，符合题意. 所以的最小值为. 【典例3-2】若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】设数列的通项为 ，，求数列最大项可通过作商法比较相邻项的大小. 相邻项的比值为， 令 ，整理不等式得， 解二次不等式得正根约为，则. 当 时，，数列递增；当 时，，数列递减， 从而，因此最大项为第项，即 . 【变式3-1】（2026·山东日照·模拟预测）已知数列满足，，则的最大项为（     ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】B 【解析】已知递推关系， 因此， 所以， 令，则， 是一个公差为1的等差数列，首项， 所以， 因此，原数列的通项公式为， 因此， 当，即时，，数列递增； 当，即时，，数列递减， 因此，数列在时取得最大值. 【变式3-2】（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】由题意得，，又因为， 所以， 解得，又因为，所以． 【变式3-3】已知正项数列满足，当最大时，的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】正项数列中，，令，显然， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此当时，数列递增，当时，数列递减， 而，且， 则，当最大时，的值为5. 【解题总结】 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项． （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为． 题型四：数列周期性问题 【典例4-1】已知数列满足，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，，，，,， 则数列的周期为， 故. 【典例4-2】（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，，则______． 【答案】4 【解析】由题意得， 由于递推关系是相邻两项的关系， 所以数列是周期为3的周期数列， 故. 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，．记，如，即，，即，，即，…，以此类推．设数列的前n项和为，则________    【答案】45 【解析】观察数列可知： 第0层，中心：1个点，； 第1层，8个点，起点为，这8个点都关于坐标轴对称，可知这一层和为0； 第2层，16个点，起点为，同理关于坐标轴对称，这一层和为0； …… 第k层，8k个点，起点坐标为，和为0； 则前m层（含第0层）总点数： ； 则当时，总点数为； 故 则第23层的起点；则； 故． 【变式4-2】若数列中，，则________． 【答案】 【解析】由题意得：，，， ，， 所以，所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 【变式4-3】已知数列满足，，则________． 【答案】 【解析】由得， 因为， 所以 所以数列的周期为4， 故 【解题总结】 特殊值法、列举法找规律 题型五：数列恒成立问题 【典例5-1】已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则实数的范围为_____. 【答案】 【解析】由题意可得当时，，解得， 当时，可得，作差得， 化简得，变形得， 因为，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列， 可得，解得， 已知不等式，代入得，化简得， 要使不等式成立，即成立， 设，当不等式成立时，即， 即，得，解得， 因为，所以，可得， 可知成立，只需成立，解得， 即实数的范围为. 故答案为：. 【典例5-2】在数列和中，，，且不等式对任意恒成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】设， 则． 易得函数为增函数． 由，，得，， 所以，故的取值范围为． 故答案为： 【变式5-1】已知正项数列的前n项和为，，且满足，若对恒成立，则的取值范围是 ________. 【答案】 【解析】正项数列的前n项和为，，且满足， 可得，两式相减可得：， 化为，可得， 所以数列是等差数列，首项为1，公差为1， 所以，因为，即恒成立， 所以令， 由，可得， 时，数列是递减数列，时，数列是递增数列， 时，取得最大值， 所以即的取值范围是， 故答案为：. 【变式5-2】将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度之和为；再将余下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度之和为.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，记数列表示第次操作后余下的区间段长度之和. （i）__________； （ii）若，都有恒成立，则实数的取值范围是__________.（区间段长度是指数轴上一个区间的两个端点之间的距离，如的区间段长度为）. 【答案】 【解析】（i）由题意可得，，且， 则数列是以为首项，为公比的等比数列，则，故； （ii），都有恒成立，即，都有恒成立， 则， 设，则， 由得， 函数的对称轴为，， 则由得；由得； 即时，时， 所以数列中的最大项为， 则，即， 故实数的取值范围是. 故答案为：； 【变式5-3】已知数列的前项和，若实数满足对恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】当时，， 当时，， 两式相减，得， 当为偶数时，，显然适合， 当为奇数时， ， 所以， 所以当为偶数时，此时数列单调递增，， 而，所以； 当为奇数时，，显然此时数列单调递减， ，而，所以. 因为实数满足对恒成立， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 【解题总结】 分离参数，转化为最值问题． 题型六：数列规律问题 【典例6-1】观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为_________. 【答案】 【解析】第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为. 【典例6-2】如图，这是一个正六边形的序列： 则第个图形的边数为________． 【答案】 【解析】第 1 个图形（1 个正六边形），边数是 ， 第 2 个图形（2 个拼接正六边形），总边数是， 第 3 个图形（3 个拼接正六边形），总边数是 ， 第个图形（n 个拼接正六边形），总边数是. 【变式6-1】（2026·河南周口·模拟预测）将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余，逆序排列法.步骤是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到商小于1为止；最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来.例如，将十进制数5转化成二进制数：，即十进制数5转化成二进制数为101；十进制数13转化成二进制数：，即十进制数13转化成二进制数为1101.记为十进制中正整数的二进制表示中数字1的个数，例如，则__________. 【答案】192 【解析】因为表示成二进制为， 所以表示都可以表示成6为二进制数，不足6位在前面补0， 将表示成6为二进制数是，每个数位出现0和1的次数一样， 所以每个位上出现1的次数为，所以6个数位上共出现次1， 又，所以. 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系上有一动点，每次平行坐标轴移动一个单位．设动点从点出发，向左移动一个单位到达，向下移动一个单位到达，再向下移动一个单位到达，接着向右移动一个单位到达，再向右移动一个单位到达，又向上移动一个单位到达依次进行得到一个逆时针螺旋线．问的坐标为_____． 【答案】 【解析】考虑直线上的点的下标，它们都是偶数的平方数． 由，得的坐标为， 又和横坐标相等，纵坐标相差24个单位，， 因此的坐标为． 故答案为： 【变式6-3】如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的面积依次记为，则＝______． 【答案】/ 【解析】由题意可知，，， ，. 故答案为： 【解题总结】 列举法 1．（2026·高三·北京顺义·阶段检测）已知数列满足（），有下列说法 ①若为常数列则当且仅当； ②若则数列单调递增； ③若则且； ④对于，均不存在使恒成立． 其中正确的个数是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】①常数列满足，代入递推式： ， 解得或， 即常数列可以为，并非只有， 故①错误； ②作差： ， 当时，， 若， 则， 由，对所有，，，数列单调递增， 故②正确； ③逐项计算： ， ， ， ， 当时，，数列单调递增趋向， 不存在常数使得恒成立， 故③错误； ④取，满足， ， 后面所有项，数列为： 取，则对所有，恒成立， 故④错误. 2．（2026·高三·北京西城·阶段检测）记数列的前项的乘积为，当且时，（为常数），若对任意且，均有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对任意且，均有，所以， 所以， 又当且时，，所以，解得， 所以，所以， 又，， 所以. 3．（2026·云南昆明·模拟预测）南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的关于三角垛的求和都与高阶等差数列有关．如图就是一个三角垛，最顶层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，第层的球数是前个正整数的和， 可得. . . 4．（2026·高三·安徽·开学考试）各项均为正数的数列满足，（，），则（    ） A．5 B．25 C． D．24 【答案】A 【解析】题意知是首项为，公差为3的等差数列， 因为，所以，即， 当时，， 又因为各项均为正数，则. 5．（2026·湖南永州·一模）已知数列的前项和为，若，，则（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【解析】因为，所以， 作差可得，即， 又，代入可得， 所以数列从第二项起为公比是2的等比数列， 所以. 6．（2026·高三·天津和平·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，则的值为（     ） A．9 B．21 C．45 D．93 【答案】C 【解析】因为，所以当时，， 则，化简得到， 所以是公比的等比数列， 当时，，即，得到， 所以. 7．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】由题意，对任意，有，因此， 所以，所以数列是周期为4的周期数列， 代入初始值计算得：， 因为，所以； ，因此，因此． 8．（2026·高三·湖北·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，所以， 当时，， 所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 9．（2026·高三·湖北孝感·开学考试）已知一元二次方程的两个根为和，若数列满足（），则（    ） A．11 B．18 C．29 D．47 【答案】B 【解析】由根与系数的关系得，， 则， 又，， 所以，，， 即. 10．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程 都有两个相等的实根，若 ，则满足条件的不同实数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可得，即(*)， 记满足(*)式的不同实数的个数为， 将看成自变量，看成参数，则为与的交点个数， 当时，有一个交点，即有一个根； 当时，有2个交点，即有两个不同的根和，且， 当时，有2个交点，即有两个不同的根和， 由，则或，即； 则或或，即； 同理可得，，，... 通过观察可得，则，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为，即，， 所以满足(*)式的不同实数的个数为， 故满足条件的不同实数的个数为． 11．（多选题）（2026·高三·重庆九龙坡·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A． B．若，则；若，则 C．数列单调递增，单调递减 D．存在正整数， 【答案】ABC 【解析】对于A，由题意得，， 则，，，故A正确， 对于B，当时，，假定当时，， 当时，，则对于正整数，得到， 令，解得（负根舍去）， 可得满足，且，则， 而，可得，得到 ，即， 当时，得到，即， 此时，可得，得到， 当时，得到，即， 此时，可得，得到，故B正确， 对于C，由题意得，可得， 而， 当时，得到，此时， 当时，得到，此时， 当时，，假定当时，， 当时，由B中结论得，， 则对于正整数，得到，即， 由已知结论得，即，则数列单调递增， 当时，，假定当时，， 当时，由B中结论得， 则对于正整数，得到，即， 由已知结论得，即，则单调递减，故C正确， 对于D，由题意得，则， 则， 由已知得数列单调递增，，令， 构造，而恒成立， 则在上单调递增，当时，， 可得，即，故D错误. 12．（多选题）已知数列的通项为，则下列表述正确的有（   ） A．最大项为0 B．最大项不存在 C．最小项为 D．最小项为 【答案】AD 【解析】由题意得， 当时，，∴， 则的最大项为，故A正确，B错误； 因， ， ， 即， 由 ， 可知当时，，即； 当时，，即； 即的最小项为．即C错误，D正确. 13．（多选题）（2026·高三·湖北黄石·开学考试）下列表达式中，满足数列是单调递减的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，， 由于时，，所以数列单调递增，A错误； 对于B，， 因为时，，即，所以数列单调递减，B正确； 对于C，由不等式得，可知数列单调递减，C正确； 对于D， 所以， ， 所以数列单调递减，D正确. 14．（多选题）（2026·高三·广东广州·阶段检测）已知正项数列满足：，（），其中为前n项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题设有，故，解得，故. ，将代入题中已知条件可得，，其中， 将等式两边同时乘以并化简可推出， 而，故，故B正确. ，即，故A错误. 数列是以1为首项，2为公差的等差数列. . 由， 利用分子有理化可化简得.C错误，D正确. 15．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知数列满足：，，，记数列的前项和为.若，则正整数的最大值为__________. 【答案】 【解析】已知当时，，即， 令，则，所以. 因此数列是公差为的等差数列， 又，，则首项，所以. 因此①，用替换得②， 得，， 所以，，，，， 上述式子累加得： ， 所以. 再由得， 当为奇数时，设，则，， 即，，，，， 累乘得：，得. 又由，得. 所以， 因为，所以正整数的最大值为. 16．（2026·高三·北京西城·阶段检测）已知数列满足，，，给出下列四个结论： ①当时，为递增数列； ②存在，使得为常数列； ③当时，为递减数列； ④存在无穷多个数列满足如下性质：存在正整数N，使得当时任意两项均不等且当时各项均相等． 其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【解析】①当时，．若，则，且．由归纳法可知，对任意正整数，都有，所以为递增数列，①正确． ②若为常数列，设其各项均为，则，即，所以或．取，则对任意正整数均成立，且，所以②正确． ③当时，由，依次得到，，． 由递推式得，所以不是递减数列，③错误． ④任取正整数，令．由递推关系和余弦二倍角公式可得． 当时，角随严格增大且属于，因此，前项任意两项均不相等． 而，并且，所以当时各项均等于．不同的正整数对应不同的，因此存在无穷多个满足题设性质的数列，④正确． 所以正确结论为①②④． 17．（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前项和，若，，使得，则实数的最小值为_________． 【答案】/ 【解析】当时，， 当时，， 经检验，当时也适合. 所以 即奇数项递减趋向，偶数项递增趋向， 所以数列的最大值为，最小值为，数列中的项都在区间内， 由题意：存在，全部落在区间，则区间长度至少等于最大值与最小值的差， 所以. 18．（2026·高三·四川绵阳·开学考试）已知数列的通项公式为，则数列最大的项的值为_________. 【答案】 【解析】， 当时，， 当时，， 当时，分母，数列递减， 所以在处最大，最大项为. 19．（2026·云南昆明·模拟预测）已知数列中，，，若对任意的，都有，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为，则，即是以为首项，为公比的等比数列， 则，得且， 将代入条件得，， 因为单调递增， 当为偶数时，； 当为奇数时，，即， 综上的取值范围是． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $