8.6 抛物线及其性质（2大考点+6大题型）（讲义+精练）-2027届高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线核心考点，涵盖定义、标准方程、几何性质及轨迹方程、距离最值等六大题型，按“课标要求—主干知识—核心题型—真题精练”逻辑架构，通过知识点梳理、方法总结与真题训练，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 资料以“定义优先”为策略，如焦半径问题结合定义推导公式，距离最值问题用参数法转化，培养学生数学思维与几何直观。设置典例精讲、变式训练、分层精练三级梯度，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

8.6 抛物线及其性质 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一、抛物线的定义 3 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 3 03 探究核心题型 4 题型一：抛物线的定义与方程 4 题型二：抛物线的轨迹方程 5 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 6 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 6 题型五：焦半径问题 7 题型六：抛物线的性质 8 04 课时精练 (真题、模拟题) 10 1、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程. 2、掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3、了解抛物线的简单应用. 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 题型一：抛物线的定义与方程 【典例1-1】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）若抛物线的准线为直线，且被圆：所截得的弦长为，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高三·北京通州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求抛物线的标准方程的步骤为： （1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： （2）根据题目条件列出P的方程 （3）解方程求出P，即得标准方程 【变式1-1】（2026·山西晋中·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-2】（2026·四川雅安·二模）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知抛物线，直线与抛物线交于两点（点在点上方），直线交抛物线于两点（点在点上方），直线与直线交于点，交点的纵坐标为，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：抛物线的轨迹方程 【典例2-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知动点的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 【典例2-2】动圆M与定圆相外切，且与直线相切，则动圆的圆心满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 【变式2-1】已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【变式2-2】若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【变式2-3】已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 【典例3-1】已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D． 【典例3-2】设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【方法技巧与总结】 抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。 【变式3-1】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式3-2】已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 【典例4-1】过焦点为F的抛物线上一点A作其准线的垂线，垂足为B，直线BF与抛物线相交于C、D两点，当时，三角形ABF的面积为___________． 【典例4-2】已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交E于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，若，且三角形的面积等于，则p的值等于______. 【方法技巧与总结】 解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比。 【变式4-1】已知点，抛物线的焦点为，准线为l，线段交抛物线于点．过作的垂线，垂足为，若，则三角形的面积__________． 【变式4-2】（2026·江苏·一模）已知拋物线，的焦点分别为，一条平行于轴的直线分别与交于两点．若，则四边形的周长为______． 【变式4-3】（2026·高三·湖南·开学考试）已知为抛物线上一点，以为圆心，为半径作得圆．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最小值是________． 题型五：焦半径问题 【典例5-1】（2026·安徽安庆·三模）已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则______． 【典例5-2】（2026·江西宜春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 【方法技巧与总结】 （1）． （2）． （3）． 【变式5-1】（2026·山西运城·模拟预测）如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，，则实数的值为__________. 【变式5-2】（2026·山东德州·二模）已知抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则的长度为__________. 【变式5-3】（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线C：（）的焦点为，点都在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，.若，则__________. 【变式5-4】（2026·重庆渝中·二模）已知直线与抛物线（）交于，两点，，两点均在轴上方，为抛物线的焦点，若，且是锐角，则直线的斜率的取值范围是______． 题型六：抛物线的性质 【典例6-1】（多选题）（2026·湖南岳阳·三模）已知点，直线，动点到的垂线为PQ，Q为垂足，且满足，记动点的轨迹为，下列说法正确的有（    ） A．E的方程为 B．若，则的最小值为4 C．过作斜率为的直线交于A，B两点，则 D．上存在两点关于直线对称 【典例6-2】（多选题）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则周长的最小值为11 C．若三点共线，且，则 D．若直线过，且，则 【方法技巧与总结】 在处理抛物线的考题的时候，要更加注意定义优先原则，考察频率更高，很多问题用上抛物线定义可以简化计算． 【变式6-1】（多选题）（2026·陕西商洛·模拟预测）已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为 D．为钝角 【变式6-2】（多选题）（2026·河南南阳·一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，若△AMF为等边三角形，则（　　） A．直线AB的斜率为 B． C．△AMF的周长为12 D．B，O，M三点共线 【变式6-3】（多选题）（2026·湖南·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为.过F的直线与C交于A，B两点，连接并延长与准线相交于点P，与x轴交于Q点，准线与y轴交于点G，则（    ） A． B．为锐角 C． D． 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线的准线与x轴交于点P，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则（   ） A．12 B． C．6 D．8 2．（2026·贵州毕节·三模）已知点P是抛物线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．. B． C． D． 3．（2026·河北衡水·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点是上异于原点的一点，，则（    ） A． B．4 C．5 D．8 4．（2026·湖南邵阳·三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 6．（2026·湖南衡阳·二模）已知抛物线上的点到抛物线焦点F的距离为5，则（   ） A．4 B．3 C．2 D． 7．（2026·陕西渭南·二模）若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B．8 C．10 D． 8．（多选题）（2026·安徽·模拟预测）在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是（   ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为 D．双曲线的离心率为 9．（多选题）（2026·河北张家口·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点（A在第一象限），与l交于点M，过点A，B分别作l的垂线，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A．若（O为原点），则 B．以线段MF为直径的圆恒过l与x轴的交点 C．若，则直线AB的斜率为 D．原点O到直线的距离与到直线AB的距离之比为定值 10．（多选题）（2026·河南·三模）已知抛物线，过抛物线C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则（   ） A． B．以线段AB为直径的圆与直线相切 C． D．的取值范围是 11．（多选题）（2026·河南濮阳·模拟预测）如图，抛物线的焦点为，的准线为，过点的直线与相交于，两点（在第一象限），直线与轴交于点，且，的中点为，分别过，，，作的垂线，垂足分别为，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若直线的斜率为1，则四边形的面积为 C．若，则四边形的周长为36 D．若，则在上存在点，使得 12．（2026·安徽·模拟预测）已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角为______________． 13．（2026·山西·二模）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，线段与交于点，且，，则________.（用，表示）. 14．（2026·贵州贵阳·二模）已知平面上两定点，，若动点P满足，则P到抛物线的焦点F的最小距离为______． 15．（2026·上海黄浦·二模）已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 16．（2026·西藏林芝·二模）设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)当最小时，求直线的方程； (3)设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 17．（2026·河北衡水·模拟预测）已知抛物线（）的焦点为，过点的直线与交于两点，且 (1)求的方程； (2)已知为轴上的点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，当直线的斜率为时，求点的坐标． 18．（2026·山东青岛·二模）设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，在第一象限，点为的重心，与轴的交点分别为.当的斜率为时，到的距离为. (1)求的方程； (2)若的面积与的面积之比为，求的方程. 19．（2026·陕西榆林·模拟预测）设抛物线的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上位于第一象限的一个动点，当时，的面积为． (1)求抛物线的标准方程； (2)斜率为负的直线交直线于点，判断是否存在点，使得平分，若存在，求；若不存在，说明理由． 20．（2026·重庆·模拟预测）已知抛物线上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)过的直线交于，两点，直线，的斜率分别为和，证明：为定值； (3)在直线上任取一点，过点分别作曲线的两条切线，切点分别为和，设的面积为，求的最小值. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6 抛物线及其性质 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一、抛物线的定义 3 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 3 03 探究核心题型 4 题型一：抛物线的定义与方程 4 题型二：抛物线的轨迹方程 7 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 9 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 12 题型五：焦半径问题 17 题型六：抛物线的性质 21 04 课时精练 (真题、模拟题) 27 1、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程. 2、掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3、了解抛物线的简单应用. 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 题型一：抛物线的定义与方程 【典例1-1】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）若抛物线的准线为直线，且被圆：所截得的弦长为，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线的准线l方程为， 圆的圆心为原点，半径为1，所以圆心到直线的距离为， 所以，故，即抛物线的准线方程为， 所以抛物线的方程为. 【典例1-2】（2026·高三·北京通州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的焦点为，准线，则. 因为是的垂直平分线，所以，设. 则，代入抛物线方程可得：，即. 又因为. 所以，. 因此抛物线方程为. 故选：C 【方法技巧与总结】 求抛物线的标准方程的步骤为： （1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： （2）根据题目条件列出P的方程 （3）解方程求出P，即得标准方程 【变式1-1】（2026·山西晋中·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】如下图： 由题可知，设，且， 则两式相减得， 则直线的方程为， 因为中点的纵坐标为2，得， 由抛物线的定义可知， 即， 解得或， 故的方程为或. 【变式1-2】（2026·四川雅安·二模）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线的定义结合题意可得， 所以抛物线的方程为. 【变式1-3】已知抛物线，直线与抛物线交于两点（点在点上方），直线交抛物线于两点（点在点上方），直线与直线交于点，交点的纵坐标为，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意联立， 可得，同理可得， 记中点为的中点为，则， 又为中线，为中线，， 所以三点共线，可得， 所以，即． 所以抛物线的方程为， 故选：D． 题型二：抛物线的轨迹方程 【典例2-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知动点的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 【答案】C 【解析】等式变形成， 因此该等式表示动点到原点的距离等于到它直线的距离， 而直线不过原点，所以动点M的轨迹是抛物线. 故选：C 【典例2-2】动圆M与定圆相外切，且与直线相切，则动圆的圆心满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设M点坐标为（x，y），C（﹣2，0），动圆的半径为r， 则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r，d=r ∴|MC|﹣d=2，即：﹣（2﹣x）=2， 化简得： y2＋12x－12＝0． ∴动圆圆心轨迹方程为y2＋12x－12＝0． 故选B． 【方法技巧与总结】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 【变式2-1】已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【答案】D 【解析】设，由题意可得， 即， 当时，则有，化简得； 当时，则有，化简得； 综上，当时，点的轨迹方程为； 当时，点的轨迹方程为. 【变式2-2】若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为点在直线的右侧，且点P到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点P到的距离与它到直线的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， 所以，故点P的轨迹方程为． 【变式2-3】已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为， 设，则由动点满足， 故选：A 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 【典例3-1】已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】如图，构造函数 则该函数可表示点到直线和点的距离之和的倍. 构造抛物线，过点作直线的垂线，交抛物线于点， 此时直线方程为：，即， 联立，易得， 于是当点重合于点或时，取得最小值. 从而的最小值为4， 故选：A. 【典例3-2】设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由抛物线C的方程，知其焦点为，准线方程为， 所以， 的最小值，即的最小值， 如图， ，当且仅当与抛物线交于，即三点共线时等号成立， 而的最小值为点到直线：的距离， 所以的最小值为. 故选：C. 【方法技巧与总结】 抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。 【变式3-1】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【解析】抛物线的焦点为，准线， 点在抛物线的内部，因为点是抛物线上一点， 所以等于点到准线的距离，过点向准线作垂线，交抛物线于点，即当点移动到时，取最小值，即， 则点到直线的距离， 故选：B． 【变式3-2】已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】抛物线的焦点为，准线为， 圆的圆心为，半径， 过点P作PB垂直准线l，垂足为点B， 由抛物线的定义可知， 则 ， 当且仅当B，P，A三点共线时，等号成立， 综上所述，的最小值为5，故C正确． 故选：C． 【变式3-3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 【变式3-4】（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心为，半径为1， 则，若求的最小值，则应三点共线， 且，则. 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 【典例4-1】过焦点为F的抛物线上一点A作其准线的垂线，垂足为B，直线BF与抛物线相交于C、D两点，当时，三角形ABF的面积为___________． 【答案】 【解析】 过点做垂直准线于点，过点做垂直准线于点， 设准线与轴交于点，做出图像如图所示， 由抛物线的定义可得，，， 因为，则点为中点，为的中位线， 即，所以，由可得， ，且抛物线，则， 则，则点的横坐标为，将代入抛物线方程， 可得，即，又，则直线的斜率为， 由点斜式可得直线方程为，联立， 解得，即，则点的纵坐标为， 代入抛物线方程可得其横坐标为，则， 所以. 故答案为： 【典例4-2】已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交E于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，若，且三角形的面积等于，则p的值等于______. 【答案】 【解析】如图所示，作,垂足为M，则, 由抛物线的定义可知， 则，故 则，结合题意知，故, 则，则， 所以直线的斜率为，而，则直线的方程为， 设，联立方程组，整理得， 所以，所以，则， 所以的面积为，解得. 故答案为： 【方法技巧与总结】 解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比。 【变式4-1】已知点，抛物线的焦点为，准线为l，线段交抛物线于点．过作的垂线，垂足为，若，则三角形的面积__________． 【答案】 【解析】由抛物线的定义可知，，，再由直角三角形的性质可知，点为的中点，利用中点坐标公式求出点的坐标，代入抛物线方程求出的值，根据 即可算出结果．如图所示： ， 由抛物线的定义可知，，， 又， 由直角三角形的性质可知，点为的中点， ，， 把点，代入抛物线方程：得，，解得， ，， ， 故答案为：． 【变式4-2】（2026·江苏·一模）已知拋物线，的焦点分别为，一条平行于轴的直线分别与交于两点．若，则四边形的周长为______． 【答案】12 【解析】设，则，将坐标分别代入， 可得，即，所以， 由焦半径公式可得，， 由可得，即，所以， 所以， 又，则， ， 所以四边形的周长为. 故答案为： 【变式4-3】（2026·高三·湖南·开学考试）已知为抛物线上一点，以为圆心，为半径作得圆．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最小值是________． 【答案】/ 【解析】因为是圆心，半径为1，所以， 如图，设点，连接， 因为是圆的两条切线，所以， 由勾股定理得， 由两点间距离公式得， 因为为抛物线上一点，所以， 故， 当时，此时取得最小值，最小值为， 则，故，即，同理， 而， 故当圆心为或时，四边形周长最小，最小为. 故答案为：. 题型五：焦半径问题 【典例5-1】（2026·安徽安庆·三模）已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则______． 【答案】/ 【解析】 ，设，， 由抛物线的焦半径公式得，， 因为，所以，即， 由题意知，直线的斜率不为，设直线的方程为， 由，得， ，根据韦达定理有， 又因为，所以， 由，得， 因为抛物线关于轴对称，所以不妨设点在第一象限， 则，所以，， 所以， 所以． 【典例5-2】（2026·江西宜春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 【答案】 【解析】由已知得，设， 所以，根据焦半径公式得，解得， 代入得，解得， 所以直线的斜率为． 【方法技巧与总结】 （1）． （2）． （3）． 【变式5-1】（2026·山西运城·模拟预测）如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，，则实数的值为__________. 【答案】18 【解析】如图，作出抛物线和圆在点处的公共切线，同时过作射线轴， 则有，由抛物线的光学性质，可得， ， 且， 又，代入得，解得. 【变式5-2】（2026·山东德州·二模）已知抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则的长度为__________. 【答案】 【解析】由抛物线的对称性，不妨设在第一象限. 因为，故即，故抛物线的方程为. 因为，故直线的倾斜角为，故， 由可得，故或, 因为，故，故，所以. 【变式5-3】（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线C：（）的焦点为，点都在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，.若，则__________. 【答案】 【解析】分别过两点作准线的垂线，垂足分别为，如下图所示： 设，易知, 又因为，所以可得， 由抛物线定义可得，所以； 因为，所以可得， 即可得，即，所以， 解得. 【变式5-4】（2026·重庆渝中·二模）已知直线与抛物线（）交于，两点，，两点均在轴上方，为抛物线的焦点，若，且是锐角，则直线的斜率的取值范围是______． 【答案】 【解析】过作垂直准线于，过作垂直准线于，过作于点， 由抛物线定义可得，，令， 则，故，则， 由是锐角，则， 所以， 则直线的斜率， 所以直线的斜率的取值范围为． 题型六：抛物线的性质 【典例6-1】（多选题）（2026·湖南岳阳·三模）已知点，直线，动点到的垂线为PQ，Q为垂足，且满足，记动点的轨迹为，下列说法正确的有（    ） A．E的方程为 B．若，则的最小值为4 C．过作斜率为的直线交于A，B两点，则 D．上存在两点关于直线对称 【答案】ABC 【解析】设，则 由条件得，整理得，A正确； 根据抛物线的定义，等于点到准线的距离（记为）， 因此，当时取等，B正确； 过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，联立方程 得，解得，则，C正确； 联立方程得，因为，所以与相切， 故上不存在两点关于直线对称，D错误． 【典例6-2】（多选题）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则周长的最小值为11 C．若三点共线，且，则 D．若直线过，且，则 【答案】BCD 【解析】抛物线的焦点为， 由题意得，解得. 对于A：如图，设点在第一象限，由，得. 在中，因为，则， 所以，故A错误； 对于B：抛物线的焦点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为. 的周长为， 当三点共线时，的周长取最小值， 最小值为，故B正确； 对于C：设直线的方程为，显然直线与抛物线必相交， 联立方程，消去得， 则. 则. 可得，解得. 所以 ，故C正确； 对于D：设过点的直线的方程为， 联立方程，消去得， 则，解得，可得. 将，代入得，即，解得或. 当时，，此时与重合，舍去； 当时，，则， 可得， 因为，则. 又因为，则， 所以. 可得. 所以，故D正确. 【方法技巧与总结】 在处理抛物线的考题的时候，要更加注意定义优先原则，考察频率更高，很多问题用上抛物线定义可以简化计算． 【变式6-1】（多选题）（2026·陕西商洛·模拟预测）已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为 D．为钝角 【答案】BD 【解析】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，所以A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为， 由，消去得，则，， 所以，， 所以， 又，则，所以没有最大值，故C错误， 对于D，由选项C知，，则为钝角，故D正确． 【变式6-2】（多选题）（2026·河南南阳·一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，若△AMF为等边三角形，则（　　） A．直线AB的斜率为 B． C．△AMF的周长为12 D．B，O，M三点共线 【答案】BCD 【解析】对于A：已知为等边三角形，结合轴，，可得 ， 因此直线的倾斜角为或，斜率。选项A仅给出斜率为，不全面，A错误； 对于B：设，由为等边三角形，得，， 因此，结合 ，代入等式， 解得（舍去），直线过，方程为， 联立整理得，由韦达定理得， 已知，故，因此，B正确； 对于C：由推导得 的边长为，因此周长为 ，C正确； 对于D：分两种情况验证共线： 若，则，，所以，，，三点共线； 若，则，，同理可得，三点共线. 因此D正确. 【变式6-3】（多选题）（2026·湖南·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为.过F的直线与C交于A，B两点，连接并延长与准线相交于点P，与x轴交于Q点，准线与y轴交于点G，则（    ） A． B．为锐角 C． D． 【答案】ACD 【解析】设直线的方程为，联立抛物线C：， 消去y，得，于是， 由，解得，所以. 对于选项A，根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离， 从而有，选项A正确； 对于选项B，因为，所以， 从而， 则必定为钝角，选项B错误； 对于选项C，由，，所以为的中位线， 从而，又，从而，选项C正确； 对于选项D，过点B作准线的垂线，垂足为H，则， 所以，从而，选项D正确. 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线的准线与x轴交于点P，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则（   ） A．12 B． C．6 D．8 【答案】A 【解析】设直线方程为，， 那么 ，， 由于，， 则， 即， 化简得，即， 把，代入化简得， 则，又， 所以，解得 ， 所以 . 2．（2026·贵州毕节·三模）已知点P是抛物线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．. B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 3．（2026·河北衡水·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点是上异于原点的一点，，则（    ） A． B．4 C．5 D．8 【答案】B 【解析】不妨设点在第一象限，，则，，， 由抛物线的定义可得， 因为， 所以，化简可得， 解得，即， 所以. 4．（2026·湖南邵阳·三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】点到抛物线焦点的距离为4，，. 5．（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】由题意得，即，焦点坐标为 ，因此. 因为，所以. 设 ， 因为点A在E上，则. 代入抛物线方程得 ，因此. 6．（2026·湖南衡阳·二模）已知抛物线上的点到抛物线焦点F的距离为5，则（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】A 【解析】由抛物线的定义可得，点P到抛物线焦点F的距离等于点P到准线的距离， 抛物线的准线方程为， 所以，解得. 7．（2026·陕西渭南·二模）若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B．8 C．10 D． 【答案】C 【解析】由题意可知，抛物线的准线为，设， 则根据抛物线的定义可知. 因为直线与抛物线交于，两点， 所以联立方程可得，化简得. 根据韦达定理得，所以. 8．（多选题）（2026·安徽·模拟预测）在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是（   ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为 D．双曲线的离心率为 【答案】ABC 【解析】对于A，底面半径为，圆锥高．为的中点，所以截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，故A正确； 对于B，如图1，在圆锥的轴截面中，作于点，则，， 所以椭圆的长轴长，故B正确； 对于C，如图2，设抛物线与底面圆的一个交点为，以为原点，为轴，在平面中建立平面直角坐标系如图2， 则，，所以，设抛物线方程为，则，解得， 则抛物线的焦点到准线的距离为，故C正确； 对于D，如图3，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点到底面的距离相等， 且在轴上，则，双曲线与底面圆的一个交点为， 设双曲线方程为，则，将代入双曲线方程得，解得，所以， 故双曲线的离心率为，故D错误． 9．（多选题）（2026·河北张家口·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点（A在第一象限），与l交于点M，过点A，B分别作l的垂线，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A．若（O为原点），则 B．以线段MF为直径的圆恒过l与x轴的交点 C．若，则直线AB的斜率为 D．原点O到直线的距离与到直线AB的距离之比为定值 【答案】BC 【解析】对于选项A，由题得，则， 由抛物线的定义得， 因为，所以，则， 所以，所以，故A错误； 对于选项B，设准线l与x轴的交点为D，则， 所以点D在以线段MF为直径的圆上，故B正确； 对于选项C，由题意知直线AB的斜率存在且不为0， 设直线， 由，可得，且， 设，，则，则， 联立，得， 则，， 所以，解得，则， 所以，解得，故C正确； 对于选项D，原点O到直线的距离为， 到直线的距离为， 则比值为，不是定值，故D错误. 10．（多选题）（2026·河南·三模）已知抛物线，过抛物线C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则（   ） A． B．以线段AB为直径的圆与直线相切 C． D．的取值范围是 【答案】ABD 【解析】由题意知，焦点为，准线方程为，焦点到准线的距离为， 设过焦点F的直线l的方程为，A，B两点坐标分别为，. 选项，由抛物线焦点弦的性质可得，焦点弦长， 当直线垂直于轴时，弦长最短，此时，所以， 当直线斜率存在时，，因此，正确； 选项，设中点坐标为，则圆的半径， 又，所以中点到准线的距离， 则圆心到准线的距离等于半径，所以圆与直线相切，正确； 选项，由抛物线的定义可得，， 联立，代入化简得，，则，， 又，， 所以， 错误； 选项，由圆的弦长，表示圆心到轴的距离，则， 因为，， 所以，则， 令，则，设， 则， 又因为，所以，所以在上单调递减， 因此当时，取最大值为，即的最大值为， 所以的最大值为， 又当时，，所以，即， 因此，的取值范围是，正确. 11．（多选题）（2026·河南濮阳·模拟预测）如图，抛物线的焦点为，的准线为，过点的直线与相交于，两点（在第一象限），直线与轴交于点，且，的中点为，分别过，，，作的垂线，垂足分别为，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若直线的斜率为1，则四边形的面积为 C．若，则四边形的周长为36 D．若，则在上存在点，使得 【答案】AB 【解析】由题可知，设，则， 对于A，， 而，所以，A正确； 对于B，直线的斜率为1时，直线的方程为， 所以，， 联立，解得或， 即,故 ，， 于是，， 所以四边形的面积为，B正确； 对于C，设直线，令，得，所以， 联立，化简得，所以， 所以， 因为，所以， 又，在第一象限，所以， 所以，， 则，， 所以四边形的周长为，C错误； 对于D，由C选项可知，， 假设存在点，使得，则劣弧所对圆心角为，且圆心在的垂直平分线上， 又的垂直平分线方程为：，即， 设圆心，则， 因为，解得，所以， 所以圆的方程为， 将抛物线方程代入得， 该方程无解，所以在上不存在点，使得，D错误. 12．（2026·安徽·模拟预测）已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角为______________． 【答案】或. 【解析】   抛物线的准线为，设直线的倾斜角为， 过M向抛物线的准线作垂线交准线于，由抛物线的几何性质得，所以的纵坐标为， 又因为M是抛物线上的一点，所以，所以， 所以，或. 13．（2026·山西·二模）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，线段与交于点，且，，则________.（用，表示）. 【答案】 【解析】如图，设准线与轴交于点，过点作于点， 由抛物线的定义得，且， ，即，得. 14．（2026·贵州贵阳·二模）已知平面上两定点，，若动点P满足，则P到抛物线的焦点F的最小距离为______． 【答案】 【解析】设点，由可得， 两边平方，得，即， 故点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 因抛物线的焦点为，则， 根据圆的几何性质可知， P到抛物线的焦点F的最小距离为. 15．（2026·上海黄浦·二模）已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 【答案】 【解析】由题意可知：抛物线的焦点为， 设，， 联立方程，消去可得， 则，解得，可得， 又因为，则， 即，可得，可得， 所以双曲线的离心率为. 16．（2026·西藏林芝·二模）设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)当最小时，求直线的方程； (3)设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 【解析】（1）由抛物线的定义可得，解得2. 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可知抛物线的焦点， 设直线的方程为，，. 联立直线与抛物线的方程， 可得. 所以，. 根据抛物线的定义，，， 又因为，所以. . 根据基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当且时等号成立. 联立，解得或 当，时，； 当，时，. 所以直线的方程为，即. （3）已知，，则直线的方程为，直线的方程为. 令，可得，. 根据圆的性质，若点在以为直径的圆上，则. 所以. 又因为，所以， 代入上式可得. 由（2）可知，代入上式可得，即， 解得或. 所以以为直径的圆经过轴上的两个定点和. 17．（2026·河北衡水·模拟预测）已知抛物线（）的焦点为，过点的直线与交于两点，且 (1)求的方程； (2)已知为轴上的点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，当直线的斜率为时，求点的坐标． 【解析】（1）抛物线的焦点为，即， 因为，所以， 因为，所以，解得， 因此C的方程为. （2）如下图所示，设，，，，， 直线EA的方程为， 联立可得，代入可得， 因为，所以，同理可得， 所以直线MN的斜率为， 即， 设直线的方程为，联立可得，代入可得， 则，所以， 所以点的坐标为. 18．（2026·山东青岛·二模）设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，在第一象限，点为的重心，与轴的交点分别为.当的斜率为时，到的距离为. (1)求的方程； (2)若的面积与的面积之比为，求的方程. 【解析】（1）抛物线的焦点， 直线斜率为，时，方程为， 到的距离：，结合， 解得，故的方程为； （2）设直线，联立， 得:， 设，韦达定理:，， 已知为的重心，由重心坐标公式： 代入， 解得：， 即， 与面积比，化简得:， 解得,故直线的方程为. 19．（2026·陕西榆林·模拟预测）设抛物线的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上位于第一象限的一个动点，当时，的面积为． (1)求抛物线的标准方程； (2)斜率为负的直线交直线于点，判断是否存在点，使得平分，若存在，求；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为抛物线，所以， 设，由抛物线的定义可知， 已知，，则，解得， 将代入抛物线方程，得，因为，所以， 所以，已知的面积为，因为， 又因为，解得，所以抛物线方程为：. （2） 设，，，设直线斜率为， 又因为直线过点，所以直线方程为：， 因为为直线交直线的交点， 令，则，所以， 因为平分，所以有：， ，，，代入上式有：， 因为在抛物线上，所以，又因为， 将，代入，有：， 整理有：，解得：. 20．（2026·重庆·模拟预测）已知抛物线上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)过的直线交于，两点，直线，的斜率分别为和，证明：为定值； (3)在直线上任取一点，过点分别作曲线的两条切线，切点分别为和，设的面积为，求的最小值. 【解析】（1）由题意得抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，故，解得， 点到焦点的距离为2，则有，即，解得， 因此抛物线的方程为. （2）略 （3） 设，，由，求导得， 则抛物线在点处切线方程为：， 在点处的切线方程为：， 整理得，和， 依题意，将代入上述方程，得，， 因此直线的方程为， 由，整理得， 易知，，， ， 点到直线的距离为， ， 当且仅当时，取得最小值4. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $