浙江省台州市书生中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

台州市书生中学2026学年第一学期第一次月考 高二数学试题参考答案2026.10 1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.C 7.A 8.D 9.BD 10.AB 11.BCD 2号 B（足] 14.22 6.由x+(m-1)y-m=0,得x-y+(y-1)m=0,所以直线l恒过点P(1,1) 【解析】点M关于动直线l的对称点为N,则直线l是线段MN的垂直平分线，所以PN=PM 设N(,),则V(x-1)P+(y-1=√(0-1)+(1-1=1， 所以点N的轨迹是以P(1,1)为圆心，半径为r=1的圆， 轨迹方程为(c-1)2+(y-1)2=1. ①OM=(0,1),ON=(x,y),则OM·ON=y: 由圆的方程(c-1)2+(y-1)?=1可知，y的范围为[0,2]， 所以O☑.O的取值范围是[0,2]，①正确 ②当ON=√5时，即x2+y=5,表示以原点为圆心，以√5为半径的圆， 7 P 【解析】建立如图所求的直角坐标系， 得3.0，C0.3则直线BC方程为中g=8,且A4BC的重心为C0-9中2,0-9中2》 3 即G1,1),设P(a,0),P关于直线BC的对称点为P(x,y), +2++0=3 则2 2 {8(-10= 3,解得=3。，则3,3-a, (y=3-a’ 易知P关于y轴的对称点为P(-a,0), 根据光线反射原理知乃，Q,R,乃四点共线，且|PQ=PQ,PR=PR, 所以百线Q的方降为g=-号1g-儿即g=含品e+d小百战过01，以 所以1=3二a(1+a),解得a=1或a=0(舍去)， 3+a 所以P1,0),B(3,2),P(-1,0), 所以|BP=√(3+1)2+(2-0)2=2W5, 所以△PQR的周长为PQ+|QR+RP|=PQ+|QRl+RP=PP=2W5 故选：A. 8 【解析】建系：设A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,1),M(1,1,t),其中t∈[0,1]， 设P(x,y,1),A=(c,y,1),平面MBD内两个向量：BD=(-1,1,1),B=(0,1,t). 由AP1平面BD,即有正.丽十y+1=0,解得y=-,=1-,即P1-,-t,1.所 AP.BM=y+t=0 以APp-V1-+(-+正-V2x-2t+2-1V2(t-+,te0.山，放APe[5v2 11. 【解析】设B(,h）,P(,,对于A,d=d=1即为+b+c=1=a+bg+c 故aD1+ √a2+b √a2+b by1+c=√a+b=ac2+by2+c,所以直线PP的方程为：ac+by+c-a+b=0,因为 √a2+b≠0，直线PP与直线l平行，故A正确： 对于B,设直线1：c十y=0,取B(W2,0),P(-√2,0)，则d1=1,d山=-1，但=0，此时直线 PP与直线l不垂直，故B错误： 此时d1+d3=0也成立，故C错误； 对于D.仍取直线1+y=0.取R(-22.A1.-1.此时山=号=0.杰=号=0，故4≤ 0成立，此时PP与直线l重合，故D错误.故选：BCD 14. 【解析】两条直线方程分别为(m+3)x+my=m(m+3),(m+4)x+(m+1)y=(m+1)(m+4) 因此p_mm+1),m+3)(m+ 3 3 点A,P,B共线，且B,D在同一竖直线上.三角形PAD可分成以BD为公共底边的两个三角形 PBD和ABD.由BD=1,得 ao号e小B0=m+mg+）=mg 6 由面积为100，得m(m+=100,即mm+尘=600，(m+22=604. 6 因为242<604<25且m>0,所以24<m+2<25,即22<m<23, 故m的整数部分为22. 15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，且PA=AB. (1)证明：AB⊥平面PAD: (2)求直线PD与平面PAC所成角的大小. 【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD, 所以PA⊥AB,由底面ABCD是正方形，可得AB⊥AD, 又PA∩AD=A,且PA,ADC平面PAD, 根据线面垂直的判定定理，可得AB⊥平面PAD.......5分 (2)设PA=AB=1,以A为原点，分别以AB、AD、AP的方向为x、少z轴正方向建立空间直 角坐标系， 则A(0,0,0),P(0,0,1),D(0,1,0),C(1,1,0),PD=(0,1,-1),AP=(0,0,1),AC=(1,1,0), 设平面PAC的法向量为元=(，y,z),则：{ A护=0，即{=0 元.AC=0 x+y=0 令x=1,得y=-1,z=0,即平面PAC的一个法向量为元=(1，-1,0)， p元 设直线PD与平面PAC所成角为U,则sinU= P:成 因为P⑦.=10×1+1×(-1)+(-1)×0=1，P⑦=√0+12+(-1y=√2，=√1+(-1+0 =√2， 所以sind= k5=分，又0e[o号引所以0- √2X√2 6 ......13分 16.(15分)直角三角形ABC的斜边BC在x轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是(2,4). (1)设直线AB的斜率为k(k≠0)，试求点C和点B的坐标（用k表示）： (2)试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标 【解析】(1)因为直线AB的斜率为k(k≠0)，直角顶点A的坐标是(2,4) 所以直线AB的方程为y-4=k(x-2),即y=k(c-2)+4. 令g=0,则e=2青，所以2是0 因为AB⊥AC,所以直线AC的斜率为太， 那么直线AC的方程为)-4=名(e-2), 令y=0,则x=4h+2,所以C(4+2,0).(6分) 2)由（①知，B2-老0C+2,0) 所以直角三角形ABC的面积为2BC×4=2BC=2(+2-2+专)=8k+卡) 由图可知>0，所以根据基本不等式的性质得k+是≥2√~无=2， 当且仅当k=名，即k=1时，等号成立，此时直角三角形ABC的面积取最小值为S×2=16, 此时点C的坐标为C(6,0).(15分) 17.(15分)为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向 2√2km处设立观测点A,在平台O的正东方向12m处设立观测点B,规定经过O、A、B三点的 圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立 平面直角坐标系. (1)试写出A,B的坐标，并求两个观测点A,B之间的距离： (2)某日，经观测发现，在该平台O正南10kmC处，有一艘轮船正以每小时8√7km的速度沿北偏 东5°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由：如果 进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？ 【解析】【详解】(1)由题意得A(-2,2),B(12,0),(2分) .AB=√14+22=10W2km:(3分) (2)设圆的方程为x2+y+Dx+Dy+F=0, (F=0 因为该圆经过O,A,B三点，∴.{-2D+2E+8=0,(6分) B 144+12D=0 D=-12 解得{E=-16,所以该圆的方程为：x2+y2-12x-16y=0, F=0 化成标准方程为：(x-6)2+（y-8)2=100.(9分) 设轮船航线所在的直线为l,则直线1的方程为：y=x-10, 圆心(6,8)到直线：-y-10=0的距离d=6-8一10l=6√2<r=10,所以直线1与圆相交， √2 即轮船会驶入安全预警区.(11分) 直线1与圆截得的弦长为L=2√100-(6W2)=4w7km,(13分) 行驶时长=立==0.5小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.(15分) U87 18.(17分)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AE⊥CD,AB=AE=1,CD=3,把三角形DAE沿 着AE翻折，得到如图所示的四棱锥D-ABCE,记二面角D-AE-C的平面角为60°. (1)求点D到底面ABCE的距离： (2)设M是侧棱DC上一动点，是否存在点M,使得D-BE-M的余弦值为V2I,若存在，求 兴的值 【解析】答案：(1D0=5 2 D 2兴-291 3 A 解析：(1)因为翻折前AE⊥CD,所以翻折后CE⊥AE,ED⊥AE, 由二面角的定义可知，二面角D-AE-C的平面角=∠CED=60°， 由CE⊥AE,ED⊥AE,DE∩CE=E,DE,CEC平面CDE,∴.AE⊥平面CDE, 又：AEc平面ABCE,故平面DCE⊥平面ABCE, 外D 在平面DCE内，过点D作DO⊥CE,垂足为O, 又平面DCE∩平面ABCE=CE,故DO⊥平面ABCE, :DO即为点D到平面ABCE的距离， 在△D0E中，∠CED=60,DE=1,放D0=.7分 A (2)由(1)知，如图建立空间直角坐标系， 故D0.0,)0,051,号，0c0,号，0，设M0,y, 设=c.0≤≤1，即0y2-9)=0号-9)即M0号91-0小 设平面DBE法向量为元=(c1,y1,z1), 励-(，号)i-11,0.{n-0.即+9=0， 死·i=0 (01+y1=0 令委=1，得1名号，即=1,19》 设面85的法向量元=8的，小.团-(0号+分夏1-心)应-11,0叭， 宽。3t+-0,令相-1学+ EBR=0 (x2十y2=0 1-, 1- 4+3 :D-B那-M的余弦值为牙，os元， 2十1-1 √21 Vx1V2+3 7 (1-2 解翔1=2管，即2-21 DC 3 15分 19. 【解析】(1)由题意，过点H(-2,1)且斜率为-1的直线方程为x+y+1=0, 又圆O(0,0)到该直线的距离为 川-2 √12+12 所以该直线被圆0截得的弦长为2-(2丁=压，解得=1,2分剂】 所以圆O的方程为x2+y=4,圆心坐标为O(0,0),半径为2， 当过点H(-2,1)的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为x=一2： 当切线斜率存在时，设切线方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0 由2+出=2，解得k=是则切线方程为3-+10=0， √2+1 所以过点H的圆O的切线方程为x=-2或3x-y+10=0.(6分) (2)①设点P(c,y),则x2+y=4,|PA=√x-a+(y-2,|PBl=√(x-m+(y-1, 因为PA=,PA=m2PE,所以(c-a+(y-2=n[c-mj+- PBI 又x2+y2=4,化简得2ax+4y-a2-8=2mm2x+2ny-m2n2-5n2, 2a=2mn2 因为P为圆O上任意一点，所以{4=2n2 ,(8分) a2+8=mm2+5m2 n=√2 又m>0,n>0,解得{a=2,所以常数n=√2.(9分】 (m=1 ②由①知a=2,m=1,所以圆C1:x2+y2=1,E(2,-t),F(t,1), 曼哈顿距离：d(E,F)=|t2-2|+|t+11. 因为直线1过瓜，与圆交于M,且M为的中点，设Ne,,则生，号)》 由M在圆+y=1上.得（巴空+（号月=1(+2+g-=41分） 又N在圆上：x2+y=1,两式相减得4c-2ty+t+1=0. 因为直线4x-2ty+t+1=0与圆C1有两个交点，分别为M,N, 故圆心到该直线的距离小于1，所以+1山<1， √16+4t2 整理得t+-2t-15<0,解得t2<5,所以-√5<t<5, 令f(t)=|t2-2+|t+1I,在(-√5,5)上分段求值域：(14分) 当te(-5,-√2]，f(t)=-t-3,在(-5，-√2]上单调递减，所以此时值域[W2-1,2+5): 当t∈(-√2，-1]，f(t)=1-t-t,在(-√2，-1]上单调递增，所以此时值域为(2-1,1： 当t(-1,v2,f=-++3,=号时取最大值是，值域为1,8]： 当te(W2,√5)，f(t)=t+t-1,在(W2,√5)上单调递增，值域为(W2+1,4+√5)： 综上所述，d(E,F)∈[2-1,4+5).(17分)台州市书生中学2026学年第一学期第一次月考 高二数学试题 命题人： 2026.10 (本卷满分：150分考试时间：120分钟) 一、选择题：共8小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.直线c=tan75°的倾斜角为 () A0° B.75° C.90° D.不存在 2.己知平面α的一个法向量为元=(4，-2，m),直线l的一个方向向量为d=(-1,-3,2),若l∥a, 则m= () A-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知点A(2,3),B(4,9),若以线段AB为直径作圆，则该圆的标准方程为 A（x+3)P+(y+6)2=40 B.(x+3)2+(y+6)2=10 C.(c-3)2+（y-6)2=40 D.(x-3)2+(y-6)2=10 4如左下图，已知四棱锥P-ABCD,P四=士PC,若A=,A心-，A正=在，则B亟等于（) A-3a+16+38 B.-5a-16+5 4 4 4 4 4 4 c点a+16-5e D. 3a-16-3 4 4 4 4 B A B D 5.如右上图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AA1=2,BC=2W5,AB=4,D是AB的中点， 则直线AC1与直线DB所成角的余弦值 () A语 B.3 4 D.3 2 6.若点M(0,1)关于动直线l:c+(m-1)y-m=0(m∈)的对称点为N,O为坐标原点.给出下面 3个结论：①OM·ON的取值范围是[0,2]：②当ON=√5时，符合条件的点N有且只有一个；③ 当OW取到最大值时，m=√2.其中正确结论的个数为 () A0 B.1 C.2 D.3 7.在等腰直角△ABC中，AB=AC=3,点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC, CA边反射后又回到点P,若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长等于 () A 2v5 B.2W7 C.32 D.42 8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1CD1上， 且AP⊥平面MBD1,则线段AP长度的取值范围为 D A[1,√2 B.[1,√3] efv 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知圆O1:x2+y2+2x-3=0与圆O2:x2+y2-2则-1=0，则 ( A点(1，-1)在圆O2内 B.两圆相交，公共弦的方程为x十y-1=0 C.圆O1与圆O,有三条公切线 D.圆O1平分圆O3的周长 10.己知直线l1:(a十1)c+3y+a=0,直线l1:ax-2y+1=0,下列结论正确的是 A直线1恒过点(-1，号) B.对于任意的a∈R,直线l1的斜率都存在 C.若l1⊥l2,则a=2 D.若4/l,则a=-5 2 11.定义点P(m,0)到直线l:am+by+c=0(a2+b≠0)的有向距离为d=ao+bh+ .已知点P,P √a2+b 到直线l的有向距离分别是d,d2,以下结论不正确的是 A.若d1=d=1,则直线PP与直线l平行 B.若d1=1,d2=-1,则直线P乃与直线l垂直 C.若d1+d3=0,则直线PP与直线l垂直 D.若dd≤0，则直线PP与直线l相交 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在空间直角坐标系Oxy2中，已知向量PA=(1,2,0),PB=(0,2,3),PC=(k,1,3).若点C在平 面PAB内.则实数k的值为 13.若直线l:c-y-3k=0与曲线C:√1-x2=y-1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 14.设实数m>0.直线l过点A(m,0)和B(0,m+3),直线l2过点C(m+1,0)和D(0,m+4),设 两直线交于点P.若三角形PAD面积为100，则实数m的整数部分为一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，且PA=AB. (1)证明：AB⊥平面PAD: P (2)求直线PD与平面PAC所成角的大小. B 16.(15分)直角三角形ABC的斜边BC在c轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是(2,4) (1)设直线AB的斜率为k(k≠0)，试求点C和点B的坐标（用k表示）： (2)试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标， 17.(15分)为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向 2√2km处设立观测点A,在平台O的正东方向12km处设立观测点B,规定经过O、A、B三点的 圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立 平面直角坐标系. (1)试写出A,B的坐标，并求两个观测点A,B之间的距离： (2)某日，经观测发现，在该平台O正南10kmC处，有一艘轮船正以每小时8√7km的速度沿北偏 东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由：如果 进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？ 18.(17分)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AE⊥CD,AB=AE=1,CD=3,把三角形DAE沿 着AE翻折，得到如图所示的四棱锥D-ABCE,记二面角D-AE-C的平面角为60°. (1)求点D到底面ABCE的距离： (2)设M是侧棱DC上一动点，是否存在点M,使得D-BE-M的余弦值为V2I,若存在，求 7 兴的值 D B 19.(17分)已知过点H(-2,1)且斜率为-1的直线被圆O:x2+y=2截得的弦长为√14 (1)求过点H的圆O的切线方程： 2)已知两个定点Aa,2),Bm,1,其中a∈R,m>0.P为圆0上任意一点，PA=nn为常数】 PB ①求常数n的值： ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼.闵可夫斯基首先提出来 的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若C(x1,1), D(r2,y),则C,D两点的“曼哈顿距离”为d(C,D)=c2-c+|y一h,若过点E(a,-t)作直线 l与圆C1:x2+y=m交于M、N两点，且M点恰好是线段NE的中点，又己知点F(t,1),求d(E, F)的取值范围」