浙江省金华市四校联考2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

四校联考参考答案 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B A D B C CD ABD 题号 11 答案 ACD 二、填空题： 511 12.x2+y2=4 13 3’6 14.2W2+1 三、解答题 15.详解：(1)将正弦定理，口 b sinA sinB sinC 云代入已知条件sin2B+sin2C-sin2A=V3 sinBsinC, 得b2+c2-a2=V3bc.(2分) 由余弦定理得coA=B+2-d=3c-V ,(4分)因为A∈(0，)，(5分)所以A=工.(6分) 2bc 2bc 2 6 (2)由cosC=3V27 14 可得sinC=l- 3v2i2 ,(7分) 14 14 又sinB=si (5n-c=sin 5π nc-x32+5x7-21,(9分 5π cosC-cos 6 6 6 Γ2142147 则e=bsinc 4xV分 4-23 2员-兮.1分)枚aC的面积S=sinA- *4x29x12 3x2=3 .13分) sinB 16.详解：1)令4()=3x+13,其图象开口肉向下、对称轴为x-名，又y=g,在定义域上单调 递增， 故f(x)在[1,3]上单调递减等价于u(x)在[1,3]上单调递减且u(x)>0恒成立.(3分) 则g≤1，且4)=洲-14>0，解符片<m≤6，放m的取值花围为 (6分) (2)令t=2,由x∈[1,3]得t∈[2,8]，(8分) 则g(x)=-2+81-12=(U-4)2+4,当1=4，即x=2时，g(x)取最大值4.(10分) 条件“对任意x,x32∈[1,3都有f(x)≥g(x2)等价于f(x)≥4对一切x∈[l,3]成立， 即1og2（-3x2+mx+13)24=log216,则-3x2+mx+13≥16，(12分) 即m≥3x+3对一切x∈[L,3]成立根据对勾函数的性质可知h(x)=3x+3在[L,3]上单调递增， 1 故h(x)≤h(3)=10,所以m≥10，即m的取值范围为10，+o).(15分) 17.详解：(1)设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子， 设事件A=“从这五个粽子中随机挑选出两个粽子，两个粽子风味不同”，由题意得， 样本空间为2={1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}， A={1,3),(1,4),1,5),(2,3)(2,4),(2,5)},所以n(2)=10,n()=6, 根据古典概型的计算公式，得P(4)=”A_3. n(@)5·(4分) (2)设事件B=“从包含一个咸粽子和两个甜粽子的三个粽子中随机挑选出一个粽子，是咸粽子”， 则P(-= 事件C=“参加活动的顾容带走5个粽子”，根据题意可得P(C)=P(4B)=P(④P(B)-亏×35 3x1-1 所以参加活动的顾容成功领取五个棕子的概率为；·(9分) (3)事件M=“甲带走5个粽子”，事件N=“乙带走5个粽子”，事件H=“恰有一人带走五个粽子”， 根据题意可得，P(M)=P(M=P(C)=;,因为H=MNUMN, 由己知M,N相互独立，所以M,N相互独立，M,N也相互独立， 所t以P(H)=P(INUMN）=P(MN）+P(MN)-P(M)P(w)+P(M)P(N)=4xt+x4-8 =5×5+5×525 故甲、乙两人恰有一人带走五个棕子的概率为 25(15分) 18.详解：(1)证明：记CD的中点为E,连结AE, 因为AB1CD,CE=CD=1=4B,所以四边形ABCE是平行四边形，则4E=1, 因为AB⊥BC,所以平行四边形ABCE是矩形，则AE⊥AB, 因为PA⊥平面ABCD,AE,ABC平面ABCD,所以PA⊥AE,PA⊥AB,则PA,AE,AB两两垂直，(2分) 故以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(0,0,0),B(01,0),E(22,0,0,D(22,-1,0,C221,0,P(0,0,2), 因为N为Pm的中点，所以N22则-（5,2月 设平面PBC的一个法向量为m=（x,y,z）,而BP=(0,-1,2),BC=(22,0,0), 则mC222=0,令2=1，则m=02刃。 则 所以Nm=)×2+1=0,则MNLm,又AN立平面PBC,所以ANI/平面PBC.C5分 2 (2)设平面PAD的一个法向量为n=(a,b,c),而AP=(0,0,2),AD=(2√2，-1,0)， AP.n=2c=0 所以 令a=1,则n=(1,22,0), AD.i=2√2a-b=0 设平面PCD的一个法向量为4=y,s,),而CD=(0,-2,0),PC=(2W2,l,-2), CD.=-2s=0 所以 PC.=2N2r+g-21=0'令r=1,则i=L,0),记平面PMD与平面PCD夹角为a,则0<a< 似=a或利月一马T国D与有0夹有的冷装51分y 9 (3)依题意，不妨设AM=k(0≤k≤2)，则M=(0,0,k),CM=（-22,-1,k): 又由(2)得平面PAD的一个法向量为n=(L,2√2,0)，记直线CM与平面PAD所成角为B, 所以sinB=cosi,CM= m.CM-22-2245 -C☑+88+1+=15，解得k=1(负值舍去)， 所以M(0,0,1),则MP=(0,0,1),而由(2)得平面PCD的一个法向量为i=L,0,√2)： 所以点M到平面PCD的距离为 Mp.d=6.（17分) dV1+23 1及详解：D易知圆4：(x-+(+-的圆心为4(-)，半径为 2 因为点P为圆A的件随点，所以P4+S-PA- 可得PA=√6，因此点P的轨迹是以A为圆心，√6为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为(x-1)+(y+1)=6.(3分) (2)(i)易知圆B:(x+2)2+y-2)=3的圆心为B(-2,2),半径为V5, 因为点P为圆B的伴随点”，所以PB+V3=3PB-V3), 可得PB=2W3,因此点P的轨迹是以B为圆心，25为半径的圆， 所以点P所在曲线的方程为(x+2)+(y-2)=12: 可得点P为圆(x-)+(y+1)=6与圆(x+2)2+(y-2)2=12的交点： 因为P,Q均为圆“A-B”的“共生点”， 所以直线PQ的方程即为圆(x-1)+(y+1)=6与圆(x+2)+(y-2)=12的公共弦所在直线，两圆方程相 3 减可得x-y=0,因此直线PQ的方程为x-y=0.(8分) (ii)存在点W为(0,0)或(4,0)或(1,0)时，WJWK取定值，理由如下： 易知直线P9与圆(x-)2+(y+1=6和圆(x+2)2+y-22=12的交点为(2，V2),(-V2,-2): 因此线段P9的中点为(0,0)，且PQ=4,因此圆H的方程为x2+y2=4: 依题意直线1的斜率存在，设其方程为y=k(x-),k≠0，J(:,片)，K(x,),如下图： 联立〈 =(-,整理可得(2+1)x2-22x+-4=0,10分) x2+y2=4 --4=1-5 wJ外，wK=Va-x}+V(a-x'+y片=Va2-2a+x+Va2-2a,++y月 =va2-2x+4Va-2am,+4=a2+4}°-2a(d2+4)(x+x)+4a2xx -a+-24e2t-,c-如er k2+1 1a-2y'(a2+4到+4a2+4a(@+4-20r k2+1 令4aa2+4)-20a2=0,解得a=0或a=4或a=1(13分) 易知a=0时，WJWK取定值为4，a=4时，WJWK取定值为12， 当a=1时，WJWK取定值为3；综上知，存在x轴上的定点W,使得WJWK为定值， 当点W的坐标为(0,0)时，WJWK取定值为4；当点W的坐标为(4,0)时，WJ:WK取定值为12： 当点W的坐标为(1,0)时，WJWK取定值为3：(17分) 4 绝密★考试结束前 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．样本数据2，16，14，8，20的中位数为（ ） A．8 B．9 C．14 D．18 2．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ） A．1 B． C． D． 4．下列直线中，斜率为，且经过第一象限的是（ ） A． B． C． D． 5．“牟合方盖”是指同一正方体分别从纵、横两方向所作的两个内切圆柱的公共部分组成的几何体，研究发现：牟合方盖的体积与对应正方体的内切球的体积满足，若某正方体对应的牟合方盖体积是，则该正方体的棱长是（ ） A．2 B． C．4 D． 6．已知圆：与圆：（）的公共弦所在的直线与直线：平行，则两平行线间的距离为（ ） A． B． C． D． 7．斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，，侧棱，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．在中，已知，．记点的运动轨迹为曲线，的外接圆与曲线交于、两点．当取最大值时，（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若复数满足，则的最小值为 10．下列结论正确的是（ ） A．若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B．直线被圆所截得的最短弦长为 C．若圆上有3个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 11．在四棱锥中，，，，点，分别满足，，，．平面与棱交于，，则以下结论正确的是（ ） A．若，则 B．，， C．若，则 D．若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．圆关于直线：的对称圆的标准方程为__________． 13．若函数（）在上无最小值，则的取值范围为__________． 14．已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，若为坐标原点，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 16．（15分）已知函数． （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）设，若对于，，恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分）某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． （1）在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； （2）求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； （3）有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 19．（17分）定义：是圆上一动点，是圆外一点，记的最大值为，的最小值为，若，则称为圆的“伴随点”；若同时是圆和圆的“伴随点”，则称为圆“”的“共生点”．已知圆：，为圆的“伴随点”． （1）求点所在曲线的方程； （2）已知圆：，，均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线与圆交于、两点，是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $